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11.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数$y=-\frac{4}{9}(x-1)^2+4$的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为C.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)一个二次函数的图象经过B,C,M(t,4)三点$(t≠1)$,该函数图象与x轴交于一点D,且点$D(3,0)$,求t的值.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)一个二次函数的图象经过B,C,M(t,4)三点$(t≠1)$,该函数图象与x轴交于一点D,且点$D(3,0)$,求t的值.
答案
11. (1)令 $y=0$,则 $-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4=0$,
解得 $x=-2$ 或 $x=4$.
$\because$ 二次函数 $y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧),
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$.
$\because$ 二次函数 $y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$ 图象的顶点为 $C$,
$\therefore C(1,4)$.
(2)由(1)可知,$B(4,0),C(1,4),M(t,4),D(3,0)$,
$\therefore$ 点 $C$ 与点 $M$,点 $B$ 与点 $D$ 关于对称轴对称.
$\therefore$ 这个二次函数图象的对称轴为直线 $x=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{1+t}{2}$.
$\therefore t=6$.
解得 $x=-2$ 或 $x=4$.
$\because$ 二次函数 $y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧),
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$.
$\because$ 二次函数 $y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$ 图象的顶点为 $C$,
$\therefore C(1,4)$.
(2)由(1)可知,$B(4,0),C(1,4),M(t,4),D(3,0)$,
$\therefore$ 点 $C$ 与点 $M$,点 $B$ 与点 $D$ 关于对称轴对称.
$\therefore$ 这个二次函数图象的对称轴为直线 $x=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{1+t}{2}$.
$\therefore t=6$.
解析
【分析】
(1)求二次函数与x轴的交点坐标，可令解析式中y=0，解所得一元二次方程得到交点横坐标，再结合点A在点B左侧的条件确定A、B的坐标；题目给出的二次函数为顶点式，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得到顶点C的坐标。
(2)观察点的坐标特征：点C和点M纵坐标均为4，两点关于所求二次函数的对称轴对称；点B和点D都是该函数与x轴的交点，两点也关于对称轴对称。二次函数对称轴为对称点横坐标的平均值，因此可先通过B、D的坐标求出对称轴，再结合C、M与对称轴的关系列等式求解t的值。
【解析】
(1)令$y=0$，则$-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4=0$，
解得$x=-2$或$x=4$。
$\because$二次函数$y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$的图象与$x$轴交于$A,B$两点，且点$A$在点$B$的左侧，
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$。
$\because$二次函数$y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$为顶点式，顶点为$C$，
$\therefore C$点坐标为$(1,4)$。
(2)由(1)可得$B(4,0),C(1,4)$，结合已知$M(t,4),D(3,0)$，
$\because$纵坐标相同的两点在二次函数图象上关于对称轴对称，二次函数与x轴的两个交点也关于对称轴对称，
$\therefore$点$C$与点$M$、点$B$与点$D$都关于该二次函数的对称轴对称，
$\therefore$对称轴为直线$x=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{1+t}{2}$，
解得$t=6$。
【答案】
(1)$A(-2,0)$，$B(4,0)$，$C(1,4)$；(2)$t=6$
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数的对称性
3.二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标、与坐标轴交点的求解方法，以及利用对称性简化计算的技巧，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1)求二次函数与x轴的交点坐标，可令解析式中y=0，解所得一元二次方程得到交点横坐标，再结合点A在点B左侧的条件确定A、B的坐标；题目给出的二次函数为顶点式，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得到顶点C的坐标。
(2)观察点的坐标特征：点C和点M纵坐标均为4，两点关于所求二次函数的对称轴对称；点B和点D都是该函数与x轴的交点，两点也关于对称轴对称。二次函数对称轴为对称点横坐标的平均值，因此可先通过B、D的坐标求出对称轴，再结合C、M与对称轴的关系列等式求解t的值。
【解析】
(1)令$y=0$，则$-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4=0$，
解得$x=-2$或$x=4$。
$\because$二次函数$y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$的图象与$x$轴交于$A,B$两点，且点$A$在点$B$的左侧，
$\therefore A(-2,0),B(4,0)$。
$\because$二次函数$y=-\dfrac{4}{9}(x-1)^2+4$为顶点式，顶点为$C$，
$\therefore C$点坐标为$(1,4)$。
(2)由(1)可得$B(4,0),C(1,4)$，结合已知$M(t,4),D(3,0)$，
$\because$纵坐标相同的两点在二次函数图象上关于对称轴对称，二次函数与x轴的两个交点也关于对称轴对称，
$\therefore$点$C$与点$M$、点$B$与点$D$都关于该二次函数的对称轴对称，
$\therefore$对称轴为直线$x=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{1+t}{2}$，
解得$t=6$。
【答案】
(1)$A(-2,0)$，$B(4,0)$，$C(1,4)$；(2)$t=6$
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数的对称性
3.二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标、与坐标轴交点的求解方法，以及利用对称性简化计算的技巧，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
12. 将一小球从斜坡 OA 上的点 O 处抛出,球运动的路线可用图中的抛物线表示,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡 OA 所在直线的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x$,若小球到达最高点 P 的坐标为 $(\frac{7}{4},\frac{49}{16})$,解答下列问题:
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)在斜坡 OA 上的点 B 处有一个障碍物,点 B 的横坐标为 $\frac{1}{2}$,障碍物的高度为 2,小球能否飞过这个障碍物?通过计算说明理由.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)在斜坡 OA 上的点 B 处有一个障碍物,点 B 的横坐标为 $\frac{1}{2}$,障碍物的高度为 2,小球能否飞过这个障碍物?通过计算说明理由.
答案
12. (1)$\because P(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$,
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$.
将点 $O(0,0)$ 代入,得 $a=-1$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$.
(2)将 $x_B=\dfrac{1}{2}$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x$,得
$y_B=\dfrac{1}{4}$,$\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}$.
将 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入 $y=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$,得 $y=\dfrac{3}{2}$.
$\because \dfrac{9}{4}＞\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$ 小球不能飞过这个障碍物.
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$.
将点 $O(0,0)$ 代入,得 $a=-1$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$.
(2)将 $x_B=\dfrac{1}{2}$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x$,得
$y_B=\dfrac{1}{4}$,$\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}$.
将 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入 $y=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$,得 $y=\dfrac{3}{2}$.
$\because \dfrac{9}{4}＞\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$ 小球不能飞过这个障碍物.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，求解析式优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），再代入抛物线经过的已知点$O(0,0)$，即可求出参数$a$，得到抛物线的解析式。
(2) 要判断小球能否飞过障碍物，首先求出横坐标为$\frac{1}{2}$时斜坡$OA$上点$B$的纵坐标，障碍物顶端的总高度为点$B$的纵坐标加障碍物高度2；再求出同一横坐标下抛物线对应的纵坐标（即该位置小球的高度），比较两个高度的大小即可：若小球高度大于障碍物顶端高度则能飞过，反之不能。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线的最高点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{49}{16})$，
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$。
$\because$ 抛物线经过原点$O(0,0)$，将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$。
(2) 先求点$B$的纵坐标：将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y_B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
则障碍物顶端的高度为$\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$。
再求$x=\frac{1}{2}$时小球的高度：将$x=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，得：
$y=-(\frac{1}{2}-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}=-\frac{25}{16}+\frac{49}{16}=\frac{3}{2}$。
$\because \frac{9}{4}＞\frac{3}{2}$，$\therefore$ 小球不能飞过这个障碍物。
【答案】
(1) $y=-(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$
(2) 小球不能飞过这个障碍物
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数点坐标特征，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的实际应用题型，核心考查利用顶点式求解二次函数解析式的方法，以及通过比较函数值解决实际问题的能力，解题的关键是明确障碍物高度是斜坡上点的高度与障碍物自身高度之和。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标，求解析式优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），再代入抛物线经过的已知点$O(0,0)$，即可求出参数$a$，得到抛物线的解析式。
(2) 要判断小球能否飞过障碍物，首先求出横坐标为$\frac{1}{2}$时斜坡$OA$上点$B$的纵坐标，障碍物顶端的总高度为点$B$的纵坐标加障碍物高度2；再求出同一横坐标下抛物线对应的纵坐标（即该位置小球的高度），比较两个高度的大小即可：若小球高度大于障碍物顶端高度则能飞过，反之不能。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线的最高点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{49}{16})$，
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$。
$\because$ 抛物线经过原点$O(0,0)$，将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$。
(2) 先求点$B$的纵坐标：将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y_B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
则障碍物顶端的高度为$\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$。
再求$x=\frac{1}{2}$时小球的高度：将$x=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，得：
$y=-(\frac{1}{2}-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}=-\frac{25}{16}+\frac{49}{16}=\frac{3}{2}$。
$\because \frac{9}{4}＞\frac{3}{2}$，$\therefore$ 小球不能飞过这个障碍物。
【答案】
(1) $y=-(x-\frac{7}{4})^2+\frac{49}{16}$
(2) 小球不能飞过这个障碍物
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数点坐标特征，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的实际应用题型，核心考查利用顶点式求解二次函数解析式的方法，以及通过比较函数值解决实际问题的能力，解题的关键是明确障碍物高度是斜坡上点的高度与障碍物自身高度之和。
【难度系数】
0.7
