2. $a,b$ 决定了抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴的位置
对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 在 $y$ 轴的 侧，则 $＞0$，在 $y$ 轴的 侧，则 $＜0$，概括地说就是“ ”。

对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 在 $y$ 轴的左侧，则 $ab＞0$，在 $y$ 轴的右侧，则 $ab＜0$，概括地说就是“左同右异”

【分析】
解题时首先明确y轴对应的直线是$x=0$，核心思路是通过对称轴的位置与0的大小关系，结合不等式性质推导$ab$的符号规律：第一步先分析对称轴在y轴左侧时，对称轴数值小于0，列出不等式后变形推导$ab$的符号；第二步同理推导对称轴在y轴右侧时$ab$的符号；最后根据a、b的符号关联总结对应口诀即可。
【解析】
1. y轴对应的直线为$x=0$：
① 若对称轴在$y$轴左侧，即$-\dfrac{b}{2a} ＜ 0$，由于二次项系数$a≠0$，则$a^2＞0$，不等式两边同时乘正数$2a^2$，不等号方向不变，化简得$-ab ＜ 0$，即$ab＞0$，此时$a$与$b$符号相同。
② 若对称轴在$y$轴右侧，即$-\dfrac{b}{2a} ＞ 0$，同理两边乘$2a^2$化简得$-ab＞0$，即$ab＜0$，此时$a$与$b$符号相反。
2. 结合上述规律，$a$、$b$同号时对称轴在y轴左侧，异号时在y轴右侧，可概括为“左同右异”。
【答案】
左；$ab$；右；$ab$；左同右异
【知识点】
二次函数对称轴公式；不等式的基本性质；二次函数图象与系数关系
【点评】
本题考查二次函数对称轴位置和系数$a$、$b$的符号关联，推导逻辑简单，总结得到的“左同右异”是解决二次函数系数判断类问题的常用结论，需要在理解推导过程的基础上熟练记忆应用。
【难度系数】
0.8

3. 抛物线$y=ax^2+bx+c$与y轴的交点是$(0,c)$
(1)当c0时,抛物线与y轴的交点在.
(2)当c0时,抛物线与y轴的交点在;
(3)当c0时,抛物线与y轴的交点在.

(1)当c＞0时,抛物线与y轴的交点在$y$轴正半轴；(2)当c=0时,抛物线与y轴的交点在原点；(3)当c＜0时,抛物线与y轴的交点在$y$轴负半轴，$c$的正负决定交点位置，$c$的大小决定交点到原点的距离，交点在$y$轴上

【分析】
解题时首先明确抛物线与y轴交点的推导方法：y轴上所有点的横坐标均为0，将x=0代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，可得$y=c$，因此抛物线与y轴的交点坐标固定为$(0,c)$。再结合y轴上不同位置点的坐标特征：y轴正半轴上的点纵坐标大于0，原点纵坐标等于0，y轴负半轴上的点纵坐标小于0，即可对应推出不同c的取值对应的交点位置。
【解析】
将$x=0$代入二次函数解析式$y=ax^2+bx+c$，得$y=c$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,c)$：
(1) 当$c＞0$时，交点$(0,c)$的纵坐标为正，因此交点在y轴正半轴；
(2) 当$c=0$时，交点坐标为$(0,0)$，即原点，因此交点在原点；
(3) 当$c＜0$时，交点$(0,c)$的纵坐标为负，因此交点在y轴负半轴。
此外c的正负决定交点在y轴上的位置，c的大小决定交点到原点的距离。
【答案】
(1)＞，y轴正半轴；(2)=，原点；(3)＜，y轴负半轴。c的正负决定交点位置，c的大小决定交点到原点的距离，交点在y轴上。
【知识点】
二次函数与y轴交点规律、y轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念题，主要考查二次函数中常数项c和图象与y轴交点位置的对应关系，牢记抛物线与y轴交点为$(0,c)$，结合y轴点的坐标特征即可快速解题，是学习二次函数图象性质的基础内容。
【难度系数】
0.9

例1 已知二次函数$y=x^2 -2ax +1$,用含$a$的式子写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
解:∵ 二次函数$y=x^2 -2ax +1$,
∴ 其图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$.
当$x=a$时,$y=a^2 -2a^2 +1=-a^2 +1$,
∴ 其图象的顶点坐标为$(a,-a^2 +1)$.
方法点拨 本题考查了二次函数的性质,根据对称轴公式与顶点坐标公式即可求解.
例2 已知二次函数$y=ax^2 +bx +c$,其中自变量
$x$与函数值$y$之间满足下面的对应关系:

①顶点是$(2,4.8)$;②$a＜0$;③$b^2 -4ac＜0$;④当$x=-2$时,$y=-12$;⑤当$x＞1.5$时,$y$随$x$的增大而减小.
以上说法中,正确的是.(填序号)
答案:②④⑤
方法点拨 本题考查二次函数的性质和一元二次方程根的判别式,掌握二次函数的图象与性质和各项系数之间的关系是解题关键.

例1解答
解：∵ 二次函数$y=x^2 -2ax +1$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-2a$，
∴ 其图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2×1}=a$。
将$x=a$代入函数解析式，得$y=a^2 -2a· a +1=-a^2 +1$，
∴ 该二次函数图象的顶点坐标为$(a,\ -a^2 +1)$。
---
例2解答
解：
1. 由表格可知，当$x=-1$和$x=3$时，函数值均为$-1.5$，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，顶点横坐标为1，因此顶点不是$(2,4.8)$，①错误。
2. 由对称轴为直线$x=1$，且$x＞1$时函数值随$x$增大而减小，可知抛物线开口向下，
∴ $a＜0$，②正确。
3. 抛物线开口向下，且存在函数值大于0和小于0的点，说明抛物线与$x$轴有两个不同交点，
∴ 对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等实数根，即$b^2-4ac＞0$，③错误。
4. 二次函数图象关于对称轴直线$x=1$对称，
∴ $x=-2$和$x=4$的函数值相等，已知$x=4$时$y=-12$，因此$x=-2$时$y=-12$，④正确。
5. 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
∴ 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞1.5$时，$y$随$x$的增大而减小，⑤正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②④⑤}$。

【分析】
例1：要求二次函数的对称轴和顶点坐标，回忆二次函数一般式$y=Ax^2+Bx+C$的相关性质，对称轴可直接用公式$x=-\frac{B}{2A}$计算，顶点的横坐标与对称轴横坐标一致，将该值代入函数解析式即可求出顶点纵坐标，进而得到顶点坐标。
例2：要判断给出的5个结论是否正确，首先从表格数据入手，找到函数值相等的两组x、y，利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合对称轴分析函数的开口方向、增减性，结合对称点的函数值相等判断对应x的y值，根据函数值的正负情况判断抛物线与x轴的交点个数，进而确定判别式的符号，逐一验证每个结论即可。
【解析】
例1解答
已知二次函数$y=x^2 -2ax +1$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，
根据对称轴公式，图象的对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}=-\frac{-2a}{2×1}=a$。
将$x=a$代入函数解析式，得$y=a^2 -2a· a +1=-a^2 +1$，
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(a, -a^2 +1)$。
例2解答
1. 由表格可知，$x=-1$和$x=3$时的函数值均为$-1.5$，根据二次函数的对称性，图象的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，顶点横坐标为1，因此顶点不是$(2,4.8)$，故①错误。
2. 已知对称轴为直线$x=1$，观察表格数据，$x=2、3、4$时，x越大y值越小，说明x＞1时y随x增大而减小，可得抛物线开口向下，因此$a＜0$，故②正确。
3. 抛物线开口向下，且表格中存在y=4.8＞0、y=-12＜0的函数值，说明抛物线与x轴有2个不同的交点，对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$，故③错误。
4. 二次函数图象关于对称轴直线$x=1$对称，点$x=-2$关于$x=1$的对称点为$x=1×2 - (-2)=4$，已知$x=4$时$y=-12$，因此$x=-2$时$y=-12$，故④正确。
5. 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞1.5$包含在$x＞1$的范围内，因此$x＞1.5$时$y$随$x$的增大而减小，故⑤正确。
【答案】
例1：对称轴为直线$\boldsymbol{x=a}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(a, -a^2 +1)}$；
例2：$\boldsymbol{②④⑤}$
【知识点】
二次函数对称轴与顶点计算；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
例1属于基础题，直接考查二次函数一般式的相关公式应用，熟记对称轴和顶点坐标的求解方法即可快速解答；例2属于二次函数性质的综合应用题，需要先从表格数据中提取对称轴信息，再结合二次函数的对称性、增减性、判别式等知识逐一判断结论，能有效考查对二次函数性质的理解和运用能力。
【难度系数】
例1：0.9；例2：0.7

如图,已知抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$,顶点为$D$,与$x$轴交于$A(-1,0),B$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)抛物线对应的函数解析式为.
(2)若$M(a,0)$是$x$轴上的一个动点,当$CM+DM$的值最小时,$a=$.

(1) $y=x^2-4x-5$
(2) $\dfrac{5}{7}$

【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知二次项系数a=1，且给出对称轴，先利用对称轴公式求出b的值，再将已知点A的坐标代入解析式即可求出c的值，得到完整的函数解析式。
(2) 求CM+DM的最小值属于x轴上动点到两定点距离和最小的经典问题，可利用轴对称转化线段：作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称性质CM=C'M，因此CM+DM=C'M+DM，根据两点之间线段最短，当C'、M、D三点共线时距离和最小，求出直线C'D与x轴的交点横坐标即为a的值。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=x^2+bx+c$，$a=1$，对称轴为直线$x=2$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：$-\frac{b}{2×1}=2$，解得$b=-4$，
则抛物线解析式为$y=x^2-4x+c$，
将$A(-1,0)$代入解析式得：$(-1)^2 -4×(-1)+c=0$，
即$1+4+c=0$，解得$c=-5$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x-5$。
(2) 先求解点C、D的坐标：
当$x=0$时，$y=0-0-5=-5$，故$C(0,-5)$，
顶点D的横坐标为对称轴$x=2$，代入解析式得：$y=2^2 -4×2 -5=-9$，故$D(2,-9)$，
作点C关于x轴的对称点$C'$，则$C'(0,5)$，
连接$C'D$，与x轴的交点即为所求M点，此时$CM+DM$的值最小。
设直线$C'D$的解析式为$y=kx+m$，将$C'(0,5)$、$D(2,-9)$代入：
代入$C'(0,5)$得$m=5$，
代入$D(2,-9)$得$2k+5=-9$，解得$k=-7$，
因此直线$C'D$的解析式为$y=-7x+5$，
令$y=0$，得$0=-7x+5$，解得$x=\frac{5}{7}$，即$a=\frac{5}{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x-5}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{7}}$
【知识点】
二次函数解析式求解，轴对称最短路径，一次函数解析式求解
【点评】
本题结合二次函数基础性质与最短路径模型，第一问侧重二次函数基本公式的应用，难度较低；第二问需要掌握将军饮马模型的转化思路，通过轴对称将线段和转化为两点之间的线段长度，再结合一次函数知识求解交点，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6