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1. 把二次函数 $y=-x^2+2x+3$ 化为 $y=a(x-h)^2+k$ 的形式，则所得函数解析式为 （
A.$y=(x+1)^2 -4$
B.$y=-(x-1)^2 +4$
C.$y=-(x+1)^2 +2$
D.$y=-(x-1)^2 +2$
B
）A.$y=(x+1)^2 -4$
B.$y=-(x-1)^2 +4$
C.$y=-(x+1)^2 +2$
D.$y=-(x-1)^2 +2$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法变形。思考步骤：①先提取二次项系数，把二次项和一次项放在括号内统一处理；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证代数式的值不变；③将括号内的部分写成完全平方形式，再合并常数项即可得到顶点式。
【解析】
使用配方法对$y=-x^2+2x+3$变形：
1. 提取二次项系数$-1$，将含$x$的项分组：
$y=-(x^2-2x)+3$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$1$，因此括号内加1再减1保证值不变：
$y=-(x^2-2x+1-1)+3$
3. 整理完全平方项，去括号合并常数项：
$y=-[(x-1)^2 -1]+3$
$y=-(x-1)^2 +1 +3$
$y=-(x-1)^2 +4$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数一般式化顶点式 2.配方法 3.完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查配方法的运用，解题时要注意提取负号后括号内各项的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法变形。思考步骤：①先提取二次项系数，把二次项和一次项放在括号内统一处理；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证代数式的值不变；③将括号内的部分写成完全平方形式，再合并常数项即可得到顶点式。
【解析】
使用配方法对$y=-x^2+2x+3$变形：
1. 提取二次项系数$-1$，将含$x$的项分组：
$y=-(x^2-2x)+3$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$1$，因此括号内加1再减1保证值不变：
$y=-(x^2-2x+1-1)+3$
3. 整理完全平方项，去括号合并常数项：
$y=-[(x-1)^2 -1]+3$
$y=-(x-1)^2 +1 +3$
$y=-(x-1)^2 +4$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数一般式化顶点式 2.配方法 3.完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查配方法的运用，解题时要注意提取负号后括号内各项的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 向左平移2个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +5$
B.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$
C.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +3$
D.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3$
D
）A.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +5$
B.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +5$
C.$y=\frac{1}{2}(x-8)^2 +3$
D.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决二次函数平移求解析式的问题，核心思路是利用二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律，为了避免出错，我们可以先将给定的一般式配方为顶点式，再根据平移要求对顶点式中的自变量进行调整，最后化简得到新解析式即可。
【解析】
第一步：将原抛物线的一般式化为顶点式
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x^2 -6x +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x) +21\\&=\frac{1}{2}[(x-6)^2 - 36] +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 +3\end{aligned}$
第二步：根据平移规则求新解析式
抛物线向左平移2个单位长度，遵循“左加右减”的规律，将顶点式中的$x$替换为$x+2$：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}[(x+2)-6]^2 +3\\&=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数配方、二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，解题关键是熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则，先将一般式转化为顶点式再进行平移计算，能有效降低出错率，是二次函数部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数平移求解析式的问题，核心思路是利用二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律，为了避免出错，我们可以先将给定的一般式配方为顶点式，再根据平移要求对顶点式中的自变量进行调整，最后化简得到新解析式即可。
【解析】
第一步：将原抛物线的一般式化为顶点式
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x^2 -6x +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x) +21\\&=\frac{1}{2}[(x-6)^2 - 36] +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 +3\end{aligned}$
第二步：根据平移规则求新解析式
抛物线向左平移2个单位长度，遵循“左加右减”的规律，将顶点式中的$x$替换为$x+2$：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}[(x+2)-6]^2 +3\\&=\frac{1}{2}(x-4)^2 +3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数配方、二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，解题关键是熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则，先将一般式转化为顶点式再进行平移计算，能有效降低出错率，是二次函数部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
3. 当$a＜0$时，抛物线$y=x^2+2ax+1+2a^2$的顶点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. A
解析
【分析】
要判断抛物线顶点所在的象限，需先求出顶点的横、纵坐标，再根据a＜0的条件分别判断两个坐标的正负，即可确定顶点所在象限。解题时可利用二次函数顶点坐标公式，先明确一般式中对应的A、B、C三个系数（注意不要将题目中的参数a与二次项系数混淆），代入公式计算后判断符号即可。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），顶点坐标为$(-\dfrac{B}{2A},\dfrac{4AC-B^2}{4A})$。
本题中抛物线解析式为$y=x^2+2ax+1+2a^2$，对应$A=1$，$B=2a$，$C=1+2a^2$：
1. 计算顶点横坐标：
$x=-\dfrac{B}{2A}=-\dfrac{2a}{2×1}=-a$
已知$a＜0$，因此$-a＞0$，即顶点横坐标为正。
2. 计算顶点纵坐标：
$y=\dfrac{4AC-B^2}{4A}=\dfrac{4×1×(1+2a^2)-(2a)^2}{4×1}$
化简得：
$y=\dfrac{4+8a^2-4a^2}{4}=\dfrac{4+4a^2}{4}=1+a^2$
由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$1+a^2≥1＞0$，即顶点纵坐标为正。
横、纵坐标均为正的点在第一象限，因此顶点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限的坐标特征
3. 平方的非负性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是正确区分二次函数一般式的系数和题目中的参数a，准确计算顶点坐标后，结合不等式性质和平方的非负性判断坐标符号即可得出结论，计算时注意不要因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
要判断抛物线顶点所在的象限，需先求出顶点的横、纵坐标，再根据a＜0的条件分别判断两个坐标的正负，即可确定顶点所在象限。解题时可利用二次函数顶点坐标公式，先明确一般式中对应的A、B、C三个系数（注意不要将题目中的参数a与二次项系数混淆），代入公式计算后判断符号即可。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），顶点坐标为$(-\dfrac{B}{2A},\dfrac{4AC-B^2}{4A})$。
本题中抛物线解析式为$y=x^2+2ax+1+2a^2$，对应$A=1$，$B=2a$，$C=1+2a^2$：
1. 计算顶点横坐标：
$x=-\dfrac{B}{2A}=-\dfrac{2a}{2×1}=-a$
已知$a＜0$，因此$-a＞0$，即顶点横坐标为正。
2. 计算顶点纵坐标：
$y=\dfrac{4AC-B^2}{4A}=\dfrac{4×1×(1+2a^2)-(2a)^2}{4×1}$
化简得：
$y=\dfrac{4+8a^2-4a^2}{4}=\dfrac{4+4a^2}{4}=1+a^2$
由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$1+a^2≥1＞0$，即顶点纵坐标为正。
横、纵坐标均为正的点在第一象限，因此顶点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限的坐标特征
3. 平方的非负性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是正确区分二次函数一般式的系数和题目中的参数a，准确计算顶点坐标后，结合不等式性质和平方的非负性判断坐标符号即可得出结论，计算时注意不要因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
4.如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,则下列结论中,错误的是 (
A.$a＜0$
B.$2a-b=0$
C.与$x$轴另一交点的坐标为$(-1,0)$
D.$a-b+c=0$
B
)A.$a＜0$
B.$2a-b=0$
C.与$x$轴另一交点的坐标为$(-1,0)$
D.$a-b+c=0$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先从抛物线的图象特征入手：①先看开口方向判断a的符号，对应A选项；②结合对称轴x=1，利用对称轴公式推导a与b的数量关系，判断B选项；③利用抛物线的对称性，即抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为(3,0)，可求出另一个交点坐标，判断C选项；④将另一个交点的x值代入函数解析式，即可得到a-b+c的取值，判断D选项，最后找出错误的结论即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项A：由图可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时二次项系数$a＜0$，故A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，不是$2a-b=0$，故B结论错误，符合题意。
3. 分析选项C：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(3,0)$，它到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点到对称轴的距离也为2，横坐标为$1-2=-1$，即另一交点坐标为$(-1,0)$，故C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c=a-b+c$，由C可知$(-1,0)$在抛物线上，即$x=-1$时$y=0$，因此$a-b+c=0$，故D结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，二次函数对称性
【点评】
本题围绕二次函数的图象性质设计考点，解题的核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、交点的相关性质，结合对称性推导相关结论，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
解题时先从抛物线的图象特征入手：①先看开口方向判断a的符号，对应A选项；②结合对称轴x=1，利用对称轴公式推导a与b的数量关系，判断B选项；③利用抛物线的对称性，即抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为(3,0)，可求出另一个交点坐标，判断C选项；④将另一个交点的x值代入函数解析式，即可得到a-b+c的取值，判断D选项，最后找出错误的结论即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项A：由图可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，开口向下时二次项系数$a＜0$，故A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，不是$2a-b=0$，故B结论错误，符合题意。
3. 分析选项C：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(3,0)$，它到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点到对称轴的距离也为2，横坐标为$1-2=-1$，即另一交点坐标为$(-1,0)$，故C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c=a-b+c$，由C可知$(-1,0)$在抛物线上，即$x=-1$时$y=0$，因此$a-b+c=0$，故D结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，二次函数对称性
【点评】
本题围绕二次函数的图象性质设计考点，解题的核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、交点的相关性质，结合对称性推导相关结论，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
5. 已知二次函数$y=-2ax^2+ax-4(a＞0)$图象上三点$A(-1,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
B
）A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
5. B
解析
【分析】
要比较二次函数上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将三点的横坐标代入解析式，求出对应的函数值再比较；二是先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合“开口向下时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越小”的规律比较大小。本题两种方法都适用，可根据自身情况选择更便捷的解法。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知二次函数解析式为$y=-2ax^2+ax-4(a＞0)$，其中二次项系数为$-2a＜0$，因此抛物线开口向下。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数），可得对称轴为：
$x=-\frac{a}{2×(-2a)}=\frac{1}{4}$
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三点到对称轴$x=\frac{1}{4}$的距离：
点$A(-1,y_1)$的距离：$\left|-1-\frac{1}{4}\right|=\frac{5}{4}$
点$B(1,y_2)$的距离：$\left|1-\frac{1}{4}\right|=\frac{3}{4}$
点$C(2,y_3)$的距离：$\left|2-\frac{1}{4}\right|=\frac{7}{4}$
因为$\frac{7}{4}＞\frac{5}{4}＞\frac{3}{4}$，所以对应的函数值大小为$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入解析式：
当$x=-1$时，$y_1=-2a×(-1)^2+a×(-1)-4=-2a-a-4=-3a-4$
当$x=1$时，$y_2=-2a×1^2+a×1-4=-2a+a-4=-a-4$
当$x=2$时，$y_3=-2a×2^2+a×2-4=-8a+2a-4=-6a-4$
已知$a＞0$，因此$-6a＜-3a＜-a$，可得$-6a-4＜-3a-4＜-a-4$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题是二次函数值比较大小的基础题型，两种解题方法都要熟练掌握：代入法思路直接，适合对性质掌握不熟练的同学；距离法计算量小，解题更快，需要准确记忆开口方向与函数值、点到对称轴距离的对应关系。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将三点的横坐标代入解析式，求出对应的函数值再比较；二是先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合“开口向下时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越小”的规律比较大小。本题两种方法都适用，可根据自身情况选择更便捷的解法。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知二次函数解析式为$y=-2ax^2+ax-4(a＞0)$，其中二次项系数为$-2a＜0$，因此抛物线开口向下。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数），可得对称轴为：
$x=-\frac{a}{2×(-2a)}=\frac{1}{4}$
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三点到对称轴$x=\frac{1}{4}$的距离：
点$A(-1,y_1)$的距离：$\left|-1-\frac{1}{4}\right|=\frac{5}{4}$
点$B(1,y_2)$的距离：$\left|1-\frac{1}{4}\right|=\frac{3}{4}$
点$C(2,y_3)$的距离：$\left|2-\frac{1}{4}\right|=\frac{7}{4}$
因为$\frac{7}{4}＞\frac{5}{4}＞\frac{3}{4}$，所以对应的函数值大小为$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入解析式：
当$x=-1$时，$y_1=-2a×(-1)^2+a×(-1)-4=-2a-a-4=-3a-4$
当$x=1$时，$y_2=-2a×1^2+a×1-4=-2a+a-4=-a-4$
当$x=2$时，$y_3=-2a×2^2+a×2-4=-8a+2a-4=-6a-4$
已知$a＞0$，因此$-6a＜-3a＜-a$，可得$-6a-4＜-3a-4＜-a-4$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题是二次函数值比较大小的基础题型，两种解题方法都要熟练掌握：代入法思路直接，适合对性质掌握不熟练的同学；距离法计算量小，解题更快，需要准确记忆开口方向与函数值、点到对称轴距离的对应关系。
【难度系数】
0.7
6. 已知点$A(a,b)$在二次函数$y=-x^2+8$的图象上，则$2a-b$的最小值为（
A.$-8$
B.$8$
C.$-9$
D.$9$
C
）A.$-8$
B.$8$
C.$-9$
D.$9$
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，若点在二次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此可将点A的坐标代入二次函数表达式，得到b与a的数量关系；接下来将所求代数式2a-b中的b用含a的式子替换，即可得到关于a的二次函数；最后利用配方法求该二次函数的最小值即可，注意二次函数开口向上时，顶点处取得最小值。
【解析】
∵点$A(a,b)$在二次函数$y=-x^2+8$的图象上
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$b=-a^2+8$
将$b=-a^2+8$代入$2a-b$得：
$\begin{aligned}2a-b&=2a-(-a^2+8)\\&=a^2+2a-8\end{aligned}$
对$a^2+2a-8$进行配方：
$\begin{aligned}a^2+2a-8&=(a^2+2a+1)-1-8\\&=(a+1)^2-9\end{aligned}$
∵$(a+1)^2≥0$
∴当$a+1=0$即$a=-1$时，$(a+1)^2-9$取得最小值，最小值为$-9$
即$2a-b$的最小值为$-9$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，配方法，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常规应用题型，核心是利用函数图象上点的坐标特征将二元代数式转化为一元二次函数，再通过配方法求最值，解题时要注意去括号的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，若点在二次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此可将点A的坐标代入二次函数表达式，得到b与a的数量关系；接下来将所求代数式2a-b中的b用含a的式子替换，即可得到关于a的二次函数；最后利用配方法求该二次函数的最小值即可，注意二次函数开口向上时，顶点处取得最小值。
【解析】
∵点$A(a,b)$在二次函数$y=-x^2+8$的图象上
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$b=-a^2+8$
将$b=-a^2+8$代入$2a-b$得：
$\begin{aligned}2a-b&=2a-(-a^2+8)\\&=a^2+2a-8\end{aligned}$
对$a^2+2a-8$进行配方：
$\begin{aligned}a^2+2a-8&=(a^2+2a+1)-1-8\\&=(a+1)^2-9\end{aligned}$
∵$(a+1)^2≥0$
∴当$a+1=0$即$a=-1$时，$(a+1)^2-9$取得最小值，最小值为$-9$
即$2a-b$的最小值为$-9$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，配方法，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常规应用题型，核心是利用函数图象上点的坐标特征将二元代数式转化为一元二次函数，再通过配方法求最值，解题时要注意去括号的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，对称轴是直线$x=-2$. 下列结论:①$ab＜0$;②$b^2-4ac＞0$;③$9a-3b+c＜0$;④$b-4a=0$;⑤方程$ax^2+bx=0$的两个根分别为$x_1=0,x_2=-4$. 其中正确的有 (
A.①③④
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤
B
)A.①③④
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤
答案
7. B
解析
【分析】
解决二次函数图象与结论判断类问题，首先从图象提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点坐标，再结合二次函数的系数与图象的关系、判别式的意义、函数值与自变量的对应关系、二次函数和一元二次方程的联系，逐一判断每个结论即可。本题已知抛物线开口向下、对称轴为直线x=-2、过原点，且与x轴另一交点为(-4,0)，可据此逐个分析结论。
【解析】
解：结合图象和已知条件推导如下：
1. 抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-2$，化简得$b=4a$，结合$a＜0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与x轴有$(-4,0)$、$(0,0)$两个交点，与y轴交于原点。
逐一判断结论：
①$ab＜0$：因为$a＜0$，$b=4a＜0$，所以$ab＞0$，①错误；
②$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个不同交点，因此判别式大于0，②正确；
③$9a-3b+c＜0$：当$x=-3$时，函数值$y=9a-3b+c$，由图象可知$x=-3$在两个x轴交点之间，对应y值大于0，即$9a-3b+c＞0$，③错误；
④$b-4a=0$：由对称轴推导得$b=4a$，移项可得$b-4a=0$，④正确；
⑤方程$ax^2+bx=0$：因式分解得$x(ax+b)=0$，根为$x=0$和$x=-\frac{b}{a}$，代入$b=4a$得$x=-\frac{4a}{a}=-4$，即方程两根为$x_1=0,x_2=-4$，⑤正确。
综上，正确结论为②④⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的常考题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是从图象中提取有效信息，灵活运用二次函数的性质完成结论判断，能较好地检验对二次函数相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图象与结论判断类问题，首先从图象提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点坐标，再结合二次函数的系数与图象的关系、判别式的意义、函数值与自变量的对应关系、二次函数和一元二次方程的联系，逐一判断每个结论即可。本题已知抛物线开口向下、对称轴为直线x=-2、过原点，且与x轴另一交点为(-4,0)，可据此逐个分析结论。
【解析】
解：结合图象和已知条件推导如下：
1. 抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-2$，化简得$b=4a$，结合$a＜0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与x轴有$(-4,0)$、$(0,0)$两个交点，与y轴交于原点。
逐一判断结论：
①$ab＜0$：因为$a＜0$，$b=4a＜0$，所以$ab＞0$，①错误；
②$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个不同交点，因此判别式大于0，②正确；
③$9a-3b+c＜0$：当$x=-3$时，函数值$y=9a-3b+c$，由图象可知$x=-3$在两个x轴交点之间，对应y值大于0，即$9a-3b+c＞0$，③错误；
④$b-4a=0$：由对称轴推导得$b=4a$，移项可得$b-4a=0$，④正确；
⑤方程$ax^2+bx=0$：因式分解得$x(ax+b)=0$，根为$x=0$和$x=-\frac{b}{a}$，代入$b=4a$得$x=-\frac{4a}{a}=-4$，即方程两根为$x_1=0,x_2=-4$，⑤正确。
综上，正确结论为②④⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的常考题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是从图象中提取有效信息，灵活运用二次函数的性质完成结论判断，能较好地检验对二次函数相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 在平面直角坐标系中,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(m-2,n)$和点$B(m+6,n)$,其顶点在$x$轴上,则$n$的值为 (
A.4
B.8
C.12
D.16
D
)A.4
B.8
C.12
D.16
答案
8. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据点A、B纵坐标相同，可知两点关于二次函数的对称轴对称，利用两点横坐标可直接求出对称轴；第二步，由顶点在x轴上可知顶点纵坐标为0，结合对称轴可写出二次函数的顶点式；第三步，将点A或点B的坐标代入顶点式，消去参数m即可求出n的值。
【解析】
∵ 二次函数图象过点$A(m-2,n)$和$B(m+6,n)$，两点纵坐标相同
∴ 二次函数的对称轴为直线$x=\frac{(m-2)+(m+6)}{2}=m+2$
又
∵ 二次函数顶点在x轴上，且二次项系数为1
∴ 二次函数的顶点式为$y=(x-(m+2))^2$
将点$A(m-2,n)$代入顶点式得：
$n=(m-2-(m+2))^2=(-4)^2=16$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；二次函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用对称点快速确定对称轴，结合顶点位置简化解析式，避免了求解未知参数b、c的复杂过程，是二次函数对称性的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据点A、B纵坐标相同，可知两点关于二次函数的对称轴对称，利用两点横坐标可直接求出对称轴；第二步，由顶点在x轴上可知顶点纵坐标为0，结合对称轴可写出二次函数的顶点式；第三步，将点A或点B的坐标代入顶点式，消去参数m即可求出n的值。
【解析】
∵ 二次函数图象过点$A(m-2,n)$和$B(m+6,n)$，两点纵坐标相同
∴ 二次函数的对称轴为直线$x=\frac{(m-2)+(m+6)}{2}=m+2$
又
∵ 二次函数顶点在x轴上，且二次项系数为1
∴ 二次函数的顶点式为$y=(x-(m+2))^2$
将点$A(m-2,n)$代入顶点式得：
$n=(m-2-(m+2))^2=(-4)^2=16$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；二次函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用对称点快速确定对称轴，结合顶点位置简化解析式，避免了求解未知参数b、c的复杂过程，是二次函数对称性的典型考法。
【难度系数】
0.7
