登录
9. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+a$和二次函数$y=-ax^2+3x+2$的图象可能是（
D
）答案
9. D
解析
【分析】
这是一次函数与二次函数的图象共存判断题，两个函数含有共同参数$a$，解题时需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：先根据$a$的取值分别确定一次函数的斜率、截距特征，再确定二次函数的开口方向、对称轴位置、与$y$轴交点特征，逐一对比选项排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＞0$，图象从左到右上升，截距$a＞0$，与$y$轴交于正半轴；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$：二次项系数$-a＜0$，图象开口向下。
观察选项：A中一次函数下降（斜率为负）不符合特征，C中二次函数开口向上不符合特征，排除A、C。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＜0$，图象从左到右下降，截距$a＜0$，与$y$轴交于负半轴；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$：二次项系数$-a＞0$，图象开口向上；对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a'}=\frac{3}{2a}$（其中二次项系数$a'=-a$），因$a＜0$，故对称轴$x＜0$，即对称轴在$y$轴左侧；常数项为2，因此二次函数与$y$轴交于正半轴。
观察选项：B中二次函数对称轴在$y$轴右侧，不符合特征；D中一次函数下降、与$y$轴交于负半轴，二次函数开口向上、对称轴在$y$轴左侧、与$y$轴交于正半轴，所有特征均匹配。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；函数图象参数判断
【点评】
本题属于函数图象共存类常规题，解题核心是结合共同参数的正负，分别推导两个函数的图象特征验证是否匹配，解题时要注意除了开口方向、斜率、截距外，二次函数的对称轴、与坐标轴交点也是重要的判断依据，避免遗漏细节错选。
【难度系数】
0.6
这是一次函数与二次函数的图象共存判断题，两个函数含有共同参数$a$，解题时需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：先根据$a$的取值分别确定一次函数的斜率、截距特征，再确定二次函数的开口方向、对称轴位置、与$y$轴交点特征，逐一对比选项排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＞0$，图象从左到右上升，截距$a＞0$，与$y$轴交于正半轴；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$：二次项系数$-a＜0$，图象开口向下。
观察选项：A中一次函数下降（斜率为负）不符合特征，C中二次函数开口向上不符合特征，排除A、C。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＜0$，图象从左到右下降，截距$a＜0$，与$y$轴交于负半轴；
二次函数$y=-ax^2+3x+2$：二次项系数$-a＞0$，图象开口向上；对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a'}=\frac{3}{2a}$（其中二次项系数$a'=-a$），因$a＜0$，故对称轴$x＜0$，即对称轴在$y$轴左侧；常数项为2，因此二次函数与$y$轴交于正半轴。
观察选项：B中二次函数对称轴在$y$轴右侧，不符合特征；D中一次函数下降、与$y$轴交于负半轴，二次函数开口向上、对称轴在$y$轴左侧、与$y$轴交于正半轴，所有特征均匹配。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；函数图象参数判断
【点评】
本题属于函数图象共存类常规题，解题核心是结合共同参数的正负，分别推导两个函数的图象特征验证是否匹配，解题时要注意除了开口方向、斜率、截距外，二次函数的对称轴、与坐标轴交点也是重要的判断依据，避免遗漏细节错选。
【难度系数】
0.6
10. 平移二次函数$y=-x^2 + 2mx - m^2 - m +1$（$m$为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$
答案
10. B
解析
【分析】要解决平移最短距离的问题，首先明确平移距离就是原二次函数顶点到原点的距离，解题思路如下：①先用配方法将二次函数化为顶点式，求出顶点坐标；②根据两点间距离公式写出顶点到原点的距离表达式；③通过配方求距离的最小值，即为最短平移距离。
【解析】首先将二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2mx - m^2 - m +1\\&=-(x^2-2mx+m^2) - m +1\\&=-(x-m)^2 + (1 - m)\end{aligned}$
因此二次函数的顶点坐标为$(m, 1 - m)$。
平移的距离等于顶点到原点$(0,0)$的距离，根据两点间距离公式，距离$d$为：
$\begin{aligned}d&=\sqrt{(m-0)^2 + (1 - m - 0)^2}\\&=\sqrt{m^2 + (1 - m)^2}\\&=\sqrt{2m^2 - 2m +1}\end{aligned}$
对根号内的二次式配方求最小值：
$2m^2 - 2m +1 = 2(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$
当$m=\frac{1}{2}$时，根号内的式子取得最小值$\frac{1}{2}$，因此$d$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即最短平移距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】B
【知识点】二次函数顶点式；两点间距离公式；二次函数最值
【点评】本题将二次函数平移、顶点坐标求解和最值计算相结合，解题核心是将平移距离转化为顶点到原点的距离，重点考查配方法的灵活应用，熟练掌握二次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】0.6
【解析】首先将二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2mx - m^2 - m +1\\&=-(x^2-2mx+m^2) - m +1\\&=-(x-m)^2 + (1 - m)\end{aligned}$
因此二次函数的顶点坐标为$(m, 1 - m)$。
平移的距离等于顶点到原点$(0,0)$的距离，根据两点间距离公式，距离$d$为：
$\begin{aligned}d&=\sqrt{(m-0)^2 + (1 - m - 0)^2}\\&=\sqrt{m^2 + (1 - m)^2}\\&=\sqrt{2m^2 - 2m +1}\end{aligned}$
对根号内的二次式配方求最小值：
$2m^2 - 2m +1 = 2(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$
当$m=\frac{1}{2}$时，根号内的式子取得最小值$\frac{1}{2}$，因此$d$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即最短平移距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】B
【知识点】二次函数顶点式；两点间距离公式；二次函数最值
【点评】本题将二次函数平移、顶点坐标求解和最值计算相结合，解题核心是将平移距离转化为顶点到原点的距离，重点考查配方法的灵活应用，熟练掌握二次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】0.6
11. 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式.
(1)已知图象的顶点坐标为$(-1,-8)$，且过点$(0,-6)$.
(2)已知图象经过点$A(-1,0)$，$B(0,3)$，且对称轴为直线$x=1$.
(1)已知图象的顶点坐标为$(-1,-8)$，且过点$(0,-6)$.
(2)已知图象经过点$A(-1,0)$，$B(0,3)$，且对称轴为直线$x=1$.
答案
$(1)\because $图象的顶点坐标为(-1,-8),
$\therefore $设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-8.$
把点(0,-6)代入,得$-6=a(0+1)^2-8.$
解得 a=2.
$\therefore $二次函数的解析式为$ y=2(x+1)^2-8.$
(2)设二次函数的解析式为$ y=ax^2+bx+c.$
把A(-1,0),B(0,3),对称轴为直线 x=1 代入,得
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=3,\\-\dfrac{b}{2a}=1.\end{cases}$
解得$ \begin{cases}$
a=-1,\\
b=2,\\
c=3.
$\end{cases}\therefore $二次函数的解析式为$ y=-x^2+2x+3.$
$\therefore $设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-8.$
把点(0,-6)代入,得$-6=a(0+1)^2-8.$
解得 a=2.
$\therefore $二次函数的解析式为$ y=2(x+1)^2-8.$
(2)设二次函数的解析式为$ y=ax^2+bx+c.$
把A(-1,0),B(0,3),对称轴为直线 x=1 代入,得
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=3,\\-\dfrac{b}{2a}=1.\end{cases}$
解得$ \begin{cases}$
a=-1,\\
b=2,\\
c=3.
$\end{cases}\therefore $二次函数的解析式为$ y=-x^2+2x+3.$
解析
【分析】
求解二次函数解析式通常使用待定系数法，可根据已知条件选择合适的解析式形式简化计算：
(1)已知顶点坐标时，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），仅需代入1个额外已知点即可求出参数$a$，得到解析式；
(2)已知图象经过的点坐标和对称轴时，可选用一般式$y=ax^2+bx+c$，结合两点坐标、对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$三个条件列三元一次方程组，求解参数$a、b、c$即可得到解析式。
【解析】
(1)
∵ 图象的顶点坐标为$(-1,-8)$，
∴ 设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-8$。
把点$(0,-6)$代入解析式，得$-6=a(0+1)^2-8$，
解得 $a=2$，
∴ 二次函数的解析式为$ y=2(x+1)^2-8$（展开为一般式为$y=2x^2+4x-6$）。
(2)设二次函数的解析式为$ y=ax^2+bx+c$，
把$A(-1,0)$、$B(0,3)$代入解析式，结合对称轴为直线$x=1$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\c=3\\-\dfrac{b}{2a}=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$ y=-x^2+2x+3$。
【答案】
(1)$y=2(x+1)^2-8$（或$y=2x^2+4x-6$）；(2)$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件灵活选择顶点式或一般式，可有效减少计算量，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
求解二次函数解析式通常使用待定系数法，可根据已知条件选择合适的解析式形式简化计算：
(1)已知顶点坐标时，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），仅需代入1个额外已知点即可求出参数$a$，得到解析式；
(2)已知图象经过的点坐标和对称轴时，可选用一般式$y=ax^2+bx+c$，结合两点坐标、对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$三个条件列三元一次方程组，求解参数$a、b、c$即可得到解析式。
【解析】
(1)
∵ 图象的顶点坐标为$(-1,-8)$，
∴ 设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2-8$。
把点$(0,-6)$代入解析式，得$-6=a(0+1)^2-8$，
解得 $a=2$，
∴ 二次函数的解析式为$ y=2(x+1)^2-8$（展开为一般式为$y=2x^2+4x-6$）。
(2)设二次函数的解析式为$ y=ax^2+bx+c$，
把$A(-1,0)$、$B(0,3)$代入解析式，结合对称轴为直线$x=1$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0\\c=3\\-\dfrac{b}{2a}=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$ y=-x^2+2x+3$。
【答案】
(1)$y=2(x+1)^2-8$（或$y=2x^2+4x-6$）；(2)$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件灵活选择顶点式或一般式，可有效减少计算量，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 定义:若两条抛物线的顶点坐标相同,则称它们为“相关抛物线”.已知抛物线$C_1:y_1 = -2x^2 -4x +4$与抛物线$C_2:y_2 = -x^2 +mx +n$为“相关抛物线”.
(1)求$m,n$的值.
(2)将抛物线$C_2$向下平移3个单位长度,得到抛物线$C_3$,求抛物线$C_3$与$x$轴的交点坐标.
(1)求$m,n$的值.
(2)将抛物线$C_2$向下平移3个单位长度,得到抛物线$C_3$,求抛物线$C_3$与$x$轴的交点坐标.
答案
(1)$\because \quad y_1=-2x^2-4x+4=-2(x+1)^2+6$,
$\therefore$ 抛物线 $C_1$ 的顶点坐标为$(-1,6)$.
$\because$ 抛物线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 为“相关抛物线”,
$\therefore$ 抛物线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的顶点坐标相同.
$\therefore \quad -\dfrac{m}{-2}=-1,\dfrac{-4n-m^2}{-4}=6$.
$\therefore \quad m=-2,n=5$.
(2)由(1)可知 $y_2=-x^2-2x+5$.
$\because$ 抛物线 $C_2$ 向下平移 3 个单位长度,得到抛物线 $C_3$,
$\therefore$ 抛物线 $C_3$ 的函数解析式为 $y_3=-x^2-2x+5-3=-x^2-2x+2$.
$\because$ 抛物线 $C_3$ 与 $x$ 轴相交,
$\therefore$ 令 $y=0$,则$-x^2-2x+2=0$.
解得 $x=-1\pm\sqrt{3}$.
$\therefore$ 抛物线 $C_3$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$.
$\therefore$ 抛物线 $C_1$ 的顶点坐标为$(-1,6)$.
$\because$ 抛物线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 为“相关抛物线”,
$\therefore$ 抛物线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的顶点坐标相同.
$\therefore \quad -\dfrac{m}{-2}=-1,\dfrac{-4n-m^2}{-4}=6$.
$\therefore \quad m=-2,n=5$.
(2)由(1)可知 $y_2=-x^2-2x+5$.
$\because$ 抛物线 $C_2$ 向下平移 3 个单位长度,得到抛物线 $C_3$,
$\therefore$ 抛物线 $C_3$ 的函数解析式为 $y_3=-x^2-2x+5-3=-x^2-2x+2$.
$\because$ 抛物线 $C_3$ 与 $x$ 轴相交,
$\therefore$ 令 $y=0$,则$-x^2-2x+2=0$.
解得 $x=-1\pm\sqrt{3}$.
$\therefore$ 抛物线 $C_3$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 解题先理解“相关抛物线”的定义：顶点坐标相同的两条抛物线是相关抛物线。首先将抛物线$C_1$的一般式通过配方法转化为顶点式，得到$C_1$的顶点坐标；再利用二次函数顶点坐标公式，结合$C_2$与$C_1$顶点相同的条件，列方程即可求出$m$、$n$的值。
(2) 根据抛物线平移“上加下减”的规律，将$C_2$的解析式向下平移3个单位得到$C_3$的解析式；求抛物线与x轴的交点时，令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得根即为交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
(1) 先对$C_1$的解析式配方：
$y_1=-2x^2-4x+4=-2(x+1)^2+6$
∴抛物线$C_1$的顶点坐标为$(-1,6)$
∵$C_1$与$C_2$是“相关抛物线”，
∴二者顶点坐标相同
对于抛物线$C_2:y_2=-x^2+mx+n$，其顶点横坐标为$\frac{m}{2}$，顶点纵坐标为$\frac{m^2+4n}{4}$
列方程得：$\begin{cases}\frac{m}{2}=-1\\\frac{m^2+4n}{4}=6\end{cases}$
解得：$m=-2$，代入第二个方程得$\frac{(-2)^2+4n}{4}=6$，计算得$n=5$。
(2) 由(1)得$C_2$的解析式为$y_2=-x^2-2x+5$
将$C_2$向下平移3个单位得$C_3$，则$C_3$的解析式为：
$y_3=-x^2-2x+5-3=-x^2-2x+2$
求$C_3$与x轴的交点，令$y_3=0$，即$-x^2-2x+2=0$，整理得$x^2+2x-2=0$
用求根公式解得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
∴$C_3$与x轴的交点坐标为$(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$
【答案】
(1)$m=-2$，$n=5$；(2)交点坐标为$(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数图象平移，抛物线与x轴交点求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题关键是准确理解新定义，熟练掌握二次函数的相关运算规律，侧重对基础知识点的应用考察。
【难度系数】
0.7
(1) 解题先理解“相关抛物线”的定义：顶点坐标相同的两条抛物线是相关抛物线。首先将抛物线$C_1$的一般式通过配方法转化为顶点式，得到$C_1$的顶点坐标；再利用二次函数顶点坐标公式，结合$C_2$与$C_1$顶点相同的条件，列方程即可求出$m$、$n$的值。
(2) 根据抛物线平移“上加下减”的规律，将$C_2$的解析式向下平移3个单位得到$C_3$的解析式；求抛物线与x轴的交点时，令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得根即为交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
(1) 先对$C_1$的解析式配方：
$y_1=-2x^2-4x+4=-2(x+1)^2+6$
∴抛物线$C_1$的顶点坐标为$(-1,6)$
∵$C_1$与$C_2$是“相关抛物线”，
∴二者顶点坐标相同
对于抛物线$C_2:y_2=-x^2+mx+n$，其顶点横坐标为$\frac{m}{2}$，顶点纵坐标为$\frac{m^2+4n}{4}$
列方程得：$\begin{cases}\frac{m}{2}=-1\\\frac{m^2+4n}{4}=6\end{cases}$
解得：$m=-2$，代入第二个方程得$\frac{(-2)^2+4n}{4}=6$，计算得$n=5$。
(2) 由(1)得$C_2$的解析式为$y_2=-x^2-2x+5$
将$C_2$向下平移3个单位得$C_3$，则$C_3$的解析式为：
$y_3=-x^2-2x+5-3=-x^2-2x+2$
求$C_3$与x轴的交点，令$y_3=0$，即$-x^2-2x+2=0$，整理得$x^2+2x-2=0$
用求根公式解得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
∴$C_3$与x轴的交点坐标为$(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$
【答案】
(1)$m=-2$，$n=5$；(2)交点坐标为$(-1-\sqrt{3},0)$和$(-1+\sqrt{3},0)$
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数图象平移，抛物线与x轴交点求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题关键是准确理解新定义，熟练掌握二次函数的相关运算规律，侧重对基础知识点的应用考察。
【难度系数】
0.7
