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13. 某公园修建两个抛物线形景观池，两个景观池的形状、大小完全相同，其俯视图如图所示，点$A,O,B$在一条直线上，以点$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，抛物线$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，$AO=40\ \mathrm{m}$，抛物线$L_1$的函数解析式为$y=\frac{1}{10}(x-h)^2 -40$。
(1)求抛物线$L_2$的函数解析式；
(2)点$D$在抛物线$L_2$上且在抛物线$L_2$对称轴的左侧，点$C$在$x$轴上，$CD$是一座长$30\ \mathrm{m}$的木桥，$CD ⊥ x$轴。现计划再修一条小道$DE$，点$E$在抛物线$L_1$上且在抛物线$L_1$对称轴的右侧，$DE // x$轴，求小道$DE$的长。
(1)求抛物线$L_2$的函数解析式；
(2)点$D$在抛物线$L_2$上且在抛物线$L_2$对称轴的左侧，点$C$在$x$轴上，$CD$是一座长$30\ \mathrm{m}$的木桥，$CD ⊥ x$轴。现计划再修一条小道$DE$，点$E$在抛物线$L_1$上且在抛物线$L_1$对称轴的右侧，$DE // x$轴，求小道$DE$的长。
答案
(1)$\because \quad AO=40\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的对称轴为直线 $x=-\dfrac{40}{2}=-20$.
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 对应的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{10}(x+20)^2-40$.
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的顶点坐标为$(-20,-40)$.
$\because$ 抛物线 $L_1$ 与 $L_2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore$ 抛物线 $L_2$ 的顶点坐标为$(20,-40)$.
$\therefore$ 抛物线 $L_2$ 对应的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$.
(2)根据题意可得 $CD=30\ \mathrm{m}$,
令 $y=-30$,则$-30=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$.
解得 $x=30$(舍去)或 $x=10$,
即 $D(10,-30)$.
$\because \quad DE// x$ 轴,抛物线 $L_1$ 与 $L_2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore \quad E(-10,-30)$.
$\therefore \quad DE=20\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的对称轴为直线 $x=-\dfrac{40}{2}=-20$.
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 对应的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{10}(x+20)^2-40$.
$\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的顶点坐标为$(-20,-40)$.
$\because$ 抛物线 $L_1$ 与 $L_2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore$ 抛物线 $L_2$ 的顶点坐标为$(20,-40)$.
$\therefore$ 抛物线 $L_2$ 对应的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$.
(2)根据题意可得 $CD=30\ \mathrm{m}$,
令 $y=-30$,则$-30=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$.
解得 $x=30$(舍去)或 $x=10$,
即 $D(10,-30)$.
$\because \quad DE// x$ 轴,抛物线 $L_1$ 与 $L_2$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore \quad E(-10,-30)$.
$\therefore \quad DE=20\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 首先根据AO=40m确定抛物线$L_1$与x轴的两个交点坐标，由此求出$L_1$的对称轴，得到$L_1$的解析式和顶点坐标；再利用两个抛物线关于y轴对称的性质，得到$L_2$的顶点坐标，结合开口大小、方向不变即可写出$L_2$的解析式。
(2) 由CD垂直x轴且长度为30m，可得点D的纵坐标为-30，将其代入$L_2$的解析式，结合D在$L_2$对称轴左侧的条件求出D点坐标；再根据DE平行x轴可知E点纵坐标与D点相同，结合抛物线的轴对称性求出E点坐标，最后计算两点横坐标的差即可得到DE的长度。
【解析】
(1) $\because AO=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 抛物线$L_1$与x轴的交点为$(-40,0)$和$(0,0)$，对称轴为直线$x=\frac{-40+0}{2}=-20$，
$\therefore$ 抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{10}(x+20)^2-40$，顶点坐标为$(-20,-40)$，
$\because$ 抛物线$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 抛物线$L_2$的顶点坐标为$(20,-40)$，开口方向、大小与$L_1$一致，
$\therefore$ 抛物线$L_2$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$。
(2) 根据题意，$CD⊥ x$轴，$CD=30\ \mathrm{m}$，可知点D的纵坐标为$-30$，
将$y=-30$代入$L_2$的解析式得：$-30=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$，
整理得$(x-20)^2=100$，解得$x_1=30$，$x_2=10$，
$\because$ 点D在抛物线$L_2$对称轴的左侧，$L_2$对称轴为直线$x=20$，
$\therefore$ 取$x=10$，即$D(10,-30)$，
$\because DE// x$轴，抛物线$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点E与点D关于y轴对称，即$E(-10,-30)$，
$\therefore DE=|10-(-10)|=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40}$
(2) $\boldsymbol{20\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数的图象与性质；轴对称的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，难度不大，解题核心是利用二次函数的对称性、平行于坐标轴的点的坐标特征，将实际长度问题转化为二次函数的坐标运算问题，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据AO=40m确定抛物线$L_1$与x轴的两个交点坐标，由此求出$L_1$的对称轴，得到$L_1$的解析式和顶点坐标；再利用两个抛物线关于y轴对称的性质，得到$L_2$的顶点坐标，结合开口大小、方向不变即可写出$L_2$的解析式。
(2) 由CD垂直x轴且长度为30m，可得点D的纵坐标为-30，将其代入$L_2$的解析式，结合D在$L_2$对称轴左侧的条件求出D点坐标；再根据DE平行x轴可知E点纵坐标与D点相同，结合抛物线的轴对称性求出E点坐标，最后计算两点横坐标的差即可得到DE的长度。
【解析】
(1) $\because AO=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 抛物线$L_1$与x轴的交点为$(-40,0)$和$(0,0)$，对称轴为直线$x=\frac{-40+0}{2}=-20$，
$\therefore$ 抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{10}(x+20)^2-40$，顶点坐标为$(-20,-40)$，
$\because$ 抛物线$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 抛物线$L_2$的顶点坐标为$(20,-40)$，开口方向、大小与$L_1$一致，
$\therefore$ 抛物线$L_2$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$。
(2) 根据题意，$CD⊥ x$轴，$CD=30\ \mathrm{m}$，可知点D的纵坐标为$-30$，
将$y=-30$代入$L_2$的解析式得：$-30=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40$，
整理得$(x-20)^2=100$，解得$x_1=30$，$x_2=10$，
$\because$ 点D在抛物线$L_2$对称轴的左侧，$L_2$对称轴为直线$x=20$，
$\therefore$ 取$x=10$，即$D(10,-30)$，
$\because DE// x$轴，抛物线$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点E与点D关于y轴对称，即$E(-10,-30)$，
$\therefore DE=|10-(-10)|=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-40}$
(2) $\boldsymbol{20\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数的图象与性质；轴对称的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，难度不大，解题核心是利用二次函数的对称性、平行于坐标轴的点的坐标特征，将实际长度问题转化为二次函数的坐标运算问题，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
