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问题导引
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”仔细体会这段话所包含的数学思想方法并解答下面的问题.如图，画出了二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为.
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”仔细体会这段话所包含的数学思想方法并解答下面的问题.如图，画出了二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为.
答案
解：
由二次函数图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1$
解得$x_1=-1$。
即关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
由二次函数图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1$
解得$x_1=-1$。
即关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。观察图象可得抛物线的对称轴是直线$x=1$，且已知抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，再利用二次函数图象的对称性（抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称），就可以求出另一个交点的横坐标，从而得到方程的两个解。
【解析】
由二次函数的图象可知：抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则两个交点横坐标的中点就是对称轴对应的横坐标，即：
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1$
解得：$x_1=-1$。
因此，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的两个交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，对应关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的对称性
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关系，同时熟练运用二次函数的对称性求解未知交点，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。观察图象可得抛物线的对称轴是直线$x=1$，且已知抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，再利用二次函数图象的对称性（抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称），就可以求出另一个交点的横坐标，从而得到方程的两个解。
【解析】
由二次函数的图象可知：抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则两个交点横坐标的中点就是对称轴对应的横坐标，即：
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1$
解得：$x_1=-1$。
因此，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的两个交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，对应关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的对称性
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关系，同时熟练运用二次函数的对称性求解未知交点，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
知识梳理
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的
重点提示
求解时令$y=ax^2+bx+c$中$y=0$，求$ax^2+bx+c=0$中$x$的值.
知识点2 二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的判别式的关系
二次函数的图象与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式($\Delta = b^2 -4ac$)判定：
①当$\Delta＞0$时，图象与x轴
②当$\Delta=0$时，图象与x轴
③当$\Delta＜0$时，图象与x轴
重点提示
(1)二次函数的图象与x轴交于两点$A(x_1,0),B(x_2,0)(x_1≠x_2)$，这两点间的距离$AB=|x_2 -x_1|$.
(2)当$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点：当$a＞0$时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有$y＞0$；当$a＜0$时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有$y＜0$.
知识点3 利用二次函数的图象解一元二次不等式
(1)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴
(2)不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴
重点提示
用图象法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数的图象直观分析不等式解的范围.
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的
横坐标
；反之亦然.重点提示
求解时令$y=ax^2+bx+c$中$y=0$，求$ax^2+bx+c=0$中$x$的值.
知识点2 二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的判别式的关系
二次函数的图象与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式($\Delta = b^2 -4ac$)判定：
①当$\Delta＞0$时，图象与x轴
有两个
交点，方程有两个不相等的
实数根；②当$\Delta=0$时，图象与x轴
有一个
交点，方程有两个相等的
实数根；③当$\Delta＜0$时，图象与x轴
没有
交点，方程没有
实数根.重点提示
(1)二次函数的图象与x轴交于两点$A(x_1,0),B(x_2,0)(x_1≠x_2)$，这两点间的距离$AB=|x_2 -x_1|$.
(2)当$\Delta＜0$时，图象与x轴没有交点：当$a＞0$时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有$y＞0$；当$a＜0$时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有$y＜0$.
知识点3 利用二次函数的图象解一元二次不等式
(1)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴
上方
的所有点的横坐标.(2)不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴
下方
的所有点的横坐标.重点提示
用图象法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数的图象直观分析不等式解的范围.
答案
知识点1 横坐标
知识点2
①有两个 有两个不相等的
②有一个 有两个相等的
③没有 没有
知识点3
(1)上方 (2)下方
知识点2
①有两个 有两个不相等的
②有一个 有两个相等的
③没有 没有
知识点3
(1)上方 (2)下方
解析
【分析】
本题是二次函数与一元二次方程、一元二次不等式对应关系的基础概念填空题，解题核心是梳理清楚三者之间的对应逻辑：1. 一元二次方程的根对应二次函数与x轴交点的横坐标；2. 一元二次方程根的判别式的取值，对应二次函数与x轴交点的个数和方程根的类型；3. 一元二次不等式的解集对应二次函数图象在x轴上方或下方的点的横坐标，结合概念直接作答即可。
【解析】
知识点1：x轴上所有点的纵坐标为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是令$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，故填横坐标。
知识点2：根据一元二次方程根的判别式的意义：
①当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有两个不同交点，依次填有两个、有两个不相等的；
②当$\Delta=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根，对应二次函数图象的顶点在x轴上，与x轴只有一个交点，依次填有一个、有两个相等的；
③当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数图象与x轴没有交点，依次填没有、没有。
知识点3：不等式$ax^2+bx+c＞0$即二次函数的函数值$y＞0$，对应图象位于x轴上方的点的横坐标；不等式$ax^2+bx+c＜0$即函数值$y＜0$，对应图象位于x轴下方的点的横坐标，因此(1)填上方，(2)填下方。
【答案】
知识点1 横坐标
知识点2
①有两个 有两个不相等的
②有一个 有两个相等的
③没有 没有
知识点3
(1)上方 (2)下方
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与判别式的关系，二次函数与一元二次不等式的关系
【点评】
本题是基础概念识记类题目，是二次函数与方程、不等式结合模块的核心基础，熟练掌握这些对应关系是后续求解相关综合题型的前提，需准确记忆各部分的对应逻辑，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题是二次函数与一元二次方程、一元二次不等式对应关系的基础概念填空题，解题核心是梳理清楚三者之间的对应逻辑：1. 一元二次方程的根对应二次函数与x轴交点的横坐标；2. 一元二次方程根的判别式的取值，对应二次函数与x轴交点的个数和方程根的类型；3. 一元二次不等式的解集对应二次函数图象在x轴上方或下方的点的横坐标，结合概念直接作答即可。
【解析】
知识点1：x轴上所有点的纵坐标为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是令$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，故填横坐标。
知识点2：根据一元二次方程根的判别式的意义：
①当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有两个不同交点，依次填有两个、有两个不相等的；
②当$\Delta=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根，对应二次函数图象的顶点在x轴上，与x轴只有一个交点，依次填有一个、有两个相等的；
③当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数图象与x轴没有交点，依次填没有、没有。
知识点3：不等式$ax^2+bx+c＞0$即二次函数的函数值$y＞0$，对应图象位于x轴上方的点的横坐标；不等式$ax^2+bx+c＜0$即函数值$y＜0$，对应图象位于x轴下方的点的横坐标，因此(1)填上方，(2)填下方。
【答案】
知识点1 横坐标
知识点2
①有两个 有两个不相等的
②有一个 有两个相等的
③没有 没有
知识点3
(1)上方 (2)下方
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与判别式的关系，二次函数与一元二次不等式的关系
【点评】
本题是基础概念识记类题目，是二次函数与方程、不等式结合模块的核心基础，熟练掌握这些对应关系是后续求解相关综合题型的前提，需准确记忆各部分的对应逻辑，避免混淆。
【难度系数】
0.9
