例1 如图,抛物线$y=x^2 -ax -(a+1)$(其中a为常数)的对称轴为直线$x=1$,与x轴交于A,B两点,求AB的长度为.

解:∵ 抛物线$y=x^2 -ax -(a+1)$的对称轴为直线$x=1$,
∴ $x=-\frac{-a}{2}=1$.解得$a=2$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2 -2x -3$.
令$y=0$,即$x^2 -2x -3=0$.
解得$x_1=-1,x_2=3$.∴ $AB=4$.
方法点拨 本题考查抛物线与坐标轴的交点,求得抛物线对应的函数解析式是解题的关键.

4

【分析】
解题时首先利用二次函数的对称轴公式求出参数a的值，确定抛物线的完整解析式；再根据二次函数与x轴交点的纵坐标为0的特点，令y=0得到对应的一元二次方程，解方程得到A、B两点的横坐标，最后计算两点横坐标差的绝对值即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -ax -(a+1)$的对称轴为直线$x=1$，
根据二次函数$y=Ax^2+Bx+C$的对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$，可得：
$\frac{a}{2}=1$，解得$a=2$。
将$a=2$代入解析式，得抛物线的函数解析式为$y=x^2 -2x -3$。
令$y=0$，得一元二次方程：$x^2 -2x -3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
即点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，
∴ $AB=|3 - (-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数对称轴公式，二次函数与x轴交点，一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础常规题，解题核心是先通过对称轴求出未知参数确定函数解析式，再结合二次函数与一元二次方程的对应关系求解交点距离，掌握二次函数基本性质是解题前提。
【难度系数】
0.8

例2 下表记录了二次函数$y=ax^2+bx+2$中两个变量$x$与$y$的五组对应值，其中$x_1＜x_2＜1$，根据表中信息，可得二次函数的解析式为。

答案:$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$
方法点拨 本题主要考查二次函数的图象与$x$轴的交点问题，由题意得对称轴为直线$x=-1$，则抛物线与$x$轴的交点为$(-3,0)$，$(1,0)$，从而得到二次函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$。

$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$

【分析】
首先观察表格发现x=-5和x=3对应的y值相等，根据二次函数的轴对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，由此可先计算出抛物线的对称轴；再结合对称轴公式得到a和b的数量关系，然后把x=1、y=0代入函数表达式，得到关于a、b的方程，联立两个式子即可求出a、b的值，最终得到二次函数解析式。
【解析】
解：
∵当x=-5和x=3时，y的值均为m，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$ ①，
又
∵当x=1时，y=0，代入$y=ax^2+bx+2$得：
$a×1^2 + b×1 + 2=0$，即$a+b=-2$ ②，
将①代入②得：$a+2a=-2$，解得$a=-\frac{2}{3}$，
把$a=-\frac{2}{3}$代入①得：$b=2×(-\frac{2}{3})=-\frac{4}{3}$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数对称轴公式
【点评】
本题解题的关键是利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合已知点坐标联立方程求解系数，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7

如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+bx-2$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,且$A(-1,0)$.
(1)求抛物线对应的函数解析式及顶点$D$的坐标.
(2)连接$AC,CD,DB$,求四边形$ACDB$的面积.

(1)抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$,顶点$D$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{8})$.
(2)四边形$ACDB$的面积为$\frac{35}{4}$.

【分析】
(1) 已知点A在抛物线上，将A点坐标代入抛物线解析式可求出未知系数b，得到完整的函数解析式，再利用顶点坐标公式即可求出顶点D的坐标。
(2) 四边形ACDB为不规则图形，直接计算面积较难，可采用分割法求解：先求出抛物线与y轴交点C、与x轴另一交点B的坐标，过D作x轴的垂线，将四边形分割为△AOC、梯形OCDF、△DFB三个规则图形，分别计算三个图形的面积再求和，即可得到四边形ACDB的总面积。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{2}x^2+bx-2$，得：
$\frac{1}{2}×(-1)^2 + b×(-1) - 2 = 0$
解得$b=-\frac{3}{2}$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=\frac{1}{2},b=-\frac{3}{2},c=-2$：
横坐标：$-\frac{-\frac{3}{2}}{2×\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$
纵坐标：$\frac{4×\frac{1}{2}×(-2)-(-\frac{3}{2})^2}{4×\frac{1}{2}}=-\frac{25}{8}$
故顶点D的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{8})$。
(2) 先求其余交点坐标：
令$x=0$，得$y=-2$，故$C(0,-2)$；
令$y=0$，解方程$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=0$，化简得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=-1,x_2=4$，故$B(4,0)$。
过点D作$DF⊥ x$轴于点F，则$F(\frac{3}{2},0)$，分别计算三部分面积：
① $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{1}{2}×1×2=1$；
② $S_{梯形OCDF}=\frac{1}{2}×(OC+DF)× OF=\frac{1}{2}×(2+\frac{25}{8})×\frac{3}{2}=\frac{123}{32}$；
③ $S_{△ DFB}=\frac{1}{2}× FB× DF=\frac{1}{2}×(4-\frac{3}{2})×\frac{25}{8}=\frac{125}{32}$。
因此$S_{四边形ACDB}=1+\frac{123}{32}+\frac{125}{32}=\frac{35}{4}$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$，顶点$D$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{8})$；
(2) 四边形$ACDB$的面积为$\frac{35}{4}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；不规则图形面积计算
【点评】
本题第一问属于基础题，熟练掌握待定系数法和二次函数顶点坐标公式即可解答；第二问的核心是将不规则四边形分割为规则的三角形、梯形来计算面积，是二次函数与几何结合的常见考法，需要熟练掌握分割法的应用。
【难度系数】
0.7