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【例1】如图①,某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱形玻璃筒和一个带托盘的活塞组成,该装置竖直放置时,活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气.某同学试着放上不同质量的物体,并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离,得到下面4组数据:
(1)该同学经过分析数据发现,不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比.请你根据数据求出n=
(2)在上面4组数据的基础上,该同学以$m+1$的值作为一个点的横坐标$x$,$h$的值作为该点的纵坐标$y$,得到4个点的坐标.
①将这4个点的坐标填入下表.
②将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中,并用平滑曲线连接.
③给出所得曲线对应的函数解析式.
(3)要使活塞到筒底的距离大于6 cm,请写出在托盘中放入重物的质量$m$的取值范围.
解:
【规律方法】
利用反比例函数模型解决实际问题时,一般先要分析数据和描点、连线画出图象,再根据图象确定反比例函数模型,由数据得出反比例函数解析式,同时代入其他数据检验模型是否合理,最后把已知数据代入解析式求解.
(1)该同学经过分析数据发现,不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比.请你根据数据求出n=
8
.(2)在上面4组数据的基础上,该同学以$m+1$的值作为一个点的横坐标$x$,$h$的值作为该点的纵坐标$y$,得到4个点的坐标.
①将这4个点的坐标填入下表.
②将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中,并用平滑曲线连接.
③给出所得曲线对应的函数解析式.
(3)要使活塞到筒底的距离大于6 cm,请写出在托盘中放入重物的质量$m$的取值范围.
解:
【规律方法】
利用反比例函数模型解决实际问题时,一般先要分析数据和描点、连线画出图象,再根据图象确定反比例函数模型,由数据得出反比例函数解析式,同时代入其他数据检验模型是否合理,最后把已知数据代入解析式求解.
答案
(1)8
(2)①如下表所示.
|x|…|2|3|4|6|…|
|y|…|24|16|12|8|…|
②反比例函数的图象如图所示.
③$y=\frac{48}{x}(x＞0)$.
(3)$0＜m＜7$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的“m+1与h成反比”这一核心关系，先利用已知数据求出反比例关系的定值，解决第(1)问；再按照要求将m+1转化为横坐标x，h作为纵坐标y，填写表格、描点连线后，用待定系数法求出反比例函数解析式；最后将h＞6的条件转化为关于m的不等式，求解得到m的取值范围，注意结合实际意义确定m的下限。
【解析】
(1) 由题意可知，$m+1$与$h$成反比，即$(m+1)· h$为定值。
代入第一组数据：当$m+1=2$时，$h=24$，可得定值$k=2×24=48$。
当$m+1=6$时，$h=\frac{48}{6}=8$，故$n=8$。
(2) ① 根据$x=m+1$，$y=h$，结合已知数据可得表格如下：
|x|…|2|3|4|6|…|
|y|…|24|16|12|8|…|
② 将表中4个点$(2,24),(3,16),(4,12),(6,8)$描在平面直角坐标系中，用平滑曲线连接，图象如下：
③ 设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将点$(2,24)$代入解析式得：
$24=\frac{k}{2}$，解得$k=48$。
故函数解析式为$y=\frac{48}{x}(x＞0)$。
(3) 要使活塞到筒底的距离大于6cm，即$y＞6$，代入解析式得：
$\frac{48}{m+1}＞6$
$\because m+1＞0$（质量为非负数，$m≥0$，$m+1≥1＞0$）
$\therefore$ 不等式两边同时乘$m+1$不等号方向不变，得$48＞6(m+1)$
解得$m+1＜8$，即$m＜7$
又$\because$ 托盘中放入重物，质量$m＞0$
$\therefore m$的取值范围是$0＜m＜7$。
【答案】
(1)$\boxed{8}$
(2)①
|x|…|2|3|4|6|…|
|y|…|24|16|12|8|…|
②
③$\boxed{y=\frac{48}{x}(x＞0)}$
(3)$\boxed{0＜m＜7}$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合物理实验场景考查反比例函数的实际应用，需要学生准确理解变量间的反比例关系，熟练运用待定系数法求函数解析式，同时注意结合实际意义确定变量的取值范围，能够很好地考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的“m+1与h成反比”这一核心关系，先利用已知数据求出反比例关系的定值，解决第(1)问；再按照要求将m+1转化为横坐标x，h作为纵坐标y，填写表格、描点连线后，用待定系数法求出反比例函数解析式；最后将h＞6的条件转化为关于m的不等式，求解得到m的取值范围，注意结合实际意义确定m的下限。
【解析】
(1) 由题意可知，$m+1$与$h$成反比，即$(m+1)· h$为定值。
代入第一组数据：当$m+1=2$时，$h=24$，可得定值$k=2×24=48$。
当$m+1=6$时，$h=\frac{48}{6}=8$，故$n=8$。
(2) ① 根据$x=m+1$，$y=h$，结合已知数据可得表格如下：
|x|…|2|3|4|6|…|
|y|…|24|16|12|8|…|
② 将表中4个点$(2,24),(3,16),(4,12),(6,8)$描在平面直角坐标系中，用平滑曲线连接，图象如下：
③ 设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将点$(2,24)$代入解析式得：
$24=\frac{k}{2}$，解得$k=48$。
故函数解析式为$y=\frac{48}{x}(x＞0)$。
(3) 要使活塞到筒底的距离大于6cm，即$y＞6$，代入解析式得：
$\frac{48}{m+1}＞6$
$\because m+1＞0$（质量为非负数，$m≥0$，$m+1≥1＞0$）
$\therefore$ 不等式两边同时乘$m+1$不等号方向不变，得$48＞6(m+1)$
解得$m+1＜8$，即$m＜7$
又$\because$ 托盘中放入重物，质量$m＞0$
$\therefore m$的取值范围是$0＜m＜7$。
【答案】
(1)$\boxed{8}$
(2)①
|x|…|2|3|4|6|…|
|y|…|24|16|12|8|…|
②
③$\boxed{y=\frac{48}{x}(x＞0)}$
(3)$\boxed{0＜m＜7}$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合物理实验场景考查反比例函数的实际应用，需要学生准确理解变量间的反比例关系，熟练运用待定系数法求函数解析式，同时注意结合实际意义确定变量的取值范围，能够很好地考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
