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1.小明在物理综合实践课上,用一固定电压为18 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数y(单位:A)的大小,如图①.滑动变阻器的电阻为x(单位:Ω)(0＜x≤9),通过多次实验,得到以下数据(如下表).
(1)根据表中数据,画出图象如图②所示,可以用你学过的哪种函数描述这些点的变化规律?求出函数解析式.
(2)写出函数y的一条性质:
(3)若电流表上读数y在2.25~4.5 A之间变化,求滑动变阻器上的电阻的变化范围.
(1)根据表中数据,画出图象如图②所示,可以用你学过的哪种函数描述这些点的变化规律?求出函数解析式.
(2)写出函数y的一条性质:
y 随 x 的增大而减小(答案不唯一)
.(3)若电流表上读数y在2.25~4.5 A之间变化,求滑动变阻器上的电阻的变化范围.
答案
(1)可以用反比例函数描述这些点的变化规律.$y=\frac{18}{x}(0＜x≤9)$.
(2)y 随 x 的增大而减小(答案不唯一)
(3)$4～8\ \Omega$.
(2)y 随 x 的增大而减小(答案不唯一)
(3)$4～8\ \Omega$.
解析
【分析】
(1) 首先观察表格中x与y的乘积，可发现x·y=18为定值，结合物理欧姆定律U=IR（电压U=18V为定值），可判定电流y与电阻x符合反比例函数的变化规律；接下来设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组实验数据求出k值，再结合题目给出的x的取值范围标注定义域即可。
(2) 根据求出的反比例函数解析式，结合k的正负以及x的取值范围，写出对应的函数性质即可，比如单调性、函数值的取值范围等均可。
(3) 利用反比例函数的单调性，将y的上下限分别代入解析式求出对应的x值，再结合函数增减性确定x的取值范围，即为滑动变阻器电阻的变化范围。
【解析】
(1) 观察表格数据，每组x、y的乘积均为18（如$2×9=18$，$3×6=18$等），结合欧姆定律可知电流y与电阻x的变化规律符合反比例函数特征。
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,0＜x≤9)$，将$x=2,y=9$代入得$9=\frac{k}{2}$，解得$k=18$，因此函数解析式为$y=\frac{18}{x}(0＜x≤9)$。
(2) 已知$k=18＞0$，且自变量取值范围为$0＜x≤9$，因此可得性质：当$0＜x≤9$时，y随x的增大而减小（答案不唯一，合理即可）。
(3) 当$y=2.25$时，代入解析式得$2.25=\frac{18}{x}$，解得$x=8$；
当$y=4.5$时，代入解析式得$4.5=\frac{18}{x}$，解得$x=4$；
由于该反比例函数在$0＜x≤9$范围内y随x的增大而减小，因此当$2.25≤y≤4.5$时，电阻x的取值范围为$4\ \Omega≤x≤8\ \Omega$。
【答案】
(1) 可以用反比例函数描述这些点的变化规律，$y=\frac{18}{x}(0＜x≤9)$；
(2) y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3) $4～8\ \Omega$
【知识点】
反比例函数的判定，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的实际应用，体现了跨学科融合的命题特点，核心考查反比例函数解析式求解、性质运用及取值范围计算，内容偏向基础，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察表格中x与y的乘积，可发现x·y=18为定值，结合物理欧姆定律U=IR（电压U=18V为定值），可判定电流y与电阻x符合反比例函数的变化规律；接下来设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组实验数据求出k值，再结合题目给出的x的取值范围标注定义域即可。
(2) 根据求出的反比例函数解析式，结合k的正负以及x的取值范围，写出对应的函数性质即可，比如单调性、函数值的取值范围等均可。
(3) 利用反比例函数的单调性，将y的上下限分别代入解析式求出对应的x值，再结合函数增减性确定x的取值范围，即为滑动变阻器电阻的变化范围。
【解析】
(1) 观察表格数据，每组x、y的乘积均为18（如$2×9=18$，$3×6=18$等），结合欧姆定律可知电流y与电阻x的变化规律符合反比例函数特征。
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,0＜x≤9)$，将$x=2,y=9$代入得$9=\frac{k}{2}$，解得$k=18$，因此函数解析式为$y=\frac{18}{x}(0＜x≤9)$。
(2) 已知$k=18＞0$，且自变量取值范围为$0＜x≤9$，因此可得性质：当$0＜x≤9$时，y随x的增大而减小（答案不唯一，合理即可）。
(3) 当$y=2.25$时，代入解析式得$2.25=\frac{18}{x}$，解得$x=8$；
当$y=4.5$时，代入解析式得$4.5=\frac{18}{x}$，解得$x=4$；
由于该反比例函数在$0＜x≤9$范围内y随x的增大而减小，因此当$2.25≤y≤4.5$时，电阻x的取值范围为$4\ \Omega≤x≤8\ \Omega$。
【答案】
(1) 可以用反比例函数描述这些点的变化规律，$y=\frac{18}{x}(0＜x≤9)$；
(2) y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3) $4～8\ \Omega$
【知识点】
反比例函数的判定，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的实际应用，体现了跨学科融合的命题特点，核心考查反比例函数解析式求解、性质运用及取值范围计算，内容偏向基础，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
【例2】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程(如图).开始一段时间风速平均每小时增加2 km/h,4 h后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4 km/h,然后风速不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,风速$y$(单位:km/h)与时间$x$(单位:h)是反比例函数关系.
(1)这场沙尘暴的最大风速是
(2)当$4≤ x≤10$时,求出风速$y$与时间$x$之间的函数关系式.
(3)在这次沙尘暴的整个过程中,风速超过10 km/h的时刻为“危险时刻”,那么在这次沙尘暴的整个过程中,“危险时刻”共有多长时间?
解:
【规律方法】
若题目中的函数是分段函数,当$x$取不同的值时,对应函数解析式也不同.解决此类分段函数问题时,要分段解决,注意函数值、自变量的取值范围以及所给的自变量的值或函数值应代入哪个函数解析式中,再运用相应函数的性质解题.
(1)这场沙尘暴的最大风速是
32
km/h,最大风速维持了10
h.(2)当$4≤ x≤10$时,求出风速$y$与时间$x$之间的函数关系式.
(3)在这次沙尘暴的整个过程中,风速超过10 km/h的时刻为“危险时刻”,那么在这次沙尘暴的整个过程中,“危险时刻”共有多长时间?
解:
【规律方法】
若题目中的函数是分段函数,当$x$取不同的值时,对应函数解析式也不同.解决此类分段函数问题时,要分段解决,注意函数值、自变量的取值范围以及所给的自变量的值或函数值应代入哪个函数解析式中,再运用相应函数的性质解题.
答案
(1)32 10
(2)$y=4x-8$.
(3)在这次沙尘暴的整个过程中,“危险时刻”共有 59.5 h.
(2)$y=4x-8$.
(3)在这次沙尘暴的整个过程中,“危险时刻”共有 59.5 h.
解析
【分析】
本题为分段函数结合实际场景的应用题，解题思路如下：1. 解决第一问时，先按不同阶段的风速增速分别计算4h、10h对应的风速，即可得到最大风速，再用风速恒定的结束时间减去开始时间，就能得到最大风速的维持时长；2. 第二问求4≤x≤10区间的函数关系式，该段为一次函数，先确定区间两端的坐标，再用待定系数法求解即可；3. 第三问计算“危险时刻”总时长，先找到风速第一次达到10km/h对应的时间，再找到20h后反比例函数段风速降到10km/h对应的时间，二者的差值就是总时长。
【解析】
(1) 0~4h风速增速为2km/h，4h时风速为$2×4=8\ \mathrm{km/h}$；
4~10h风速增速为4km/h，时长为$10-4=6\ \mathrm{h}$，10h时风速为$8+4×6=32\ \mathrm{km/h}$，即最大风速为32km/h；
最大风速从10h维持到20h，维持时长为$20-10=10\ \mathrm{h}$。
(2) 当$4\le x\le10$时，设风速$y$与时间$x$的函数关系式为$y=kx+b\ (k\ne0)$，
将点$(4,8)$、$(10,32)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=8\\10k+b=32\end{cases}$
两式相减得$6k=24$，解得$k=4$，
将$k=4$代入$4k+b=8$，得$16+b=8$，解得$b=-8$，
因此该区间函数关系式为$y=4x-8\ (4\le x\le10)$。
(3) ①求风速第一次达到10km/h的时刻：
0~4h最大风速为8km/h＜10km/h，因此风速达到10km/h位于4~10h区间，
令$4x-8=10$，解得$x=4.5\ \mathrm{h}$；
②求20h后风速降到10km/h的时刻：
设$x\ge20$时反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k\ne0)$，
将点$(20,32)$代入得$32=\frac{k}{20}$，解得$k=640$，即$y=\frac{640}{x}\ (x\ge20)$，
令$\frac{640}{x}=10$，解得$x=64\ \mathrm{h}$；
③“危险时刻”总时长为$64-4.5=59.5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1)32；10
(2)$y=4x-8\ (4\le x\le10)$
(3)59.5 h
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题的核心是明确不同时间段对应的函数类型，正确用待定系数法求各段函数解析式，计算时要注意各段自变量的取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.65
本题为分段函数结合实际场景的应用题，解题思路如下：1. 解决第一问时，先按不同阶段的风速增速分别计算4h、10h对应的风速，即可得到最大风速，再用风速恒定的结束时间减去开始时间，就能得到最大风速的维持时长；2. 第二问求4≤x≤10区间的函数关系式，该段为一次函数，先确定区间两端的坐标，再用待定系数法求解即可；3. 第三问计算“危险时刻”总时长，先找到风速第一次达到10km/h对应的时间，再找到20h后反比例函数段风速降到10km/h对应的时间，二者的差值就是总时长。
【解析】
(1) 0~4h风速增速为2km/h，4h时风速为$2×4=8\ \mathrm{km/h}$；
4~10h风速增速为4km/h，时长为$10-4=6\ \mathrm{h}$，10h时风速为$8+4×6=32\ \mathrm{km/h}$，即最大风速为32km/h；
最大风速从10h维持到20h，维持时长为$20-10=10\ \mathrm{h}$。
(2) 当$4\le x\le10$时，设风速$y$与时间$x$的函数关系式为$y=kx+b\ (k\ne0)$，
将点$(4,8)$、$(10,32)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=8\\10k+b=32\end{cases}$
两式相减得$6k=24$，解得$k=4$，
将$k=4$代入$4k+b=8$，得$16+b=8$，解得$b=-8$，
因此该区间函数关系式为$y=4x-8\ (4\le x\le10)$。
(3) ①求风速第一次达到10km/h的时刻：
0~4h最大风速为8km/h＜10km/h，因此风速达到10km/h位于4~10h区间，
令$4x-8=10$，解得$x=4.5\ \mathrm{h}$；
②求20h后风速降到10km/h的时刻：
设$x\ge20$时反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k\ne0)$，
将点$(20,32)$代入得$32=\frac{k}{20}$，解得$k=640$，即$y=\frac{640}{x}\ (x\ge20)$，
令$\frac{640}{x}=10$，解得$x=64\ \mathrm{h}$；
③“危险时刻”总时长为$64-4.5=59.5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1)32；10
(2)$y=4x-8\ (4\le x\le10)$
(3)59.5 h
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题的核心是明确不同时间段对应的函数类型，正确用待定系数法求各段函数解析式，计算时要注意各段自变量的取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.65
