2.某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:min)的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从$30°\mathrm{C}$加热到$60°\mathrm{C}$需要10 min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分.
(1)求材料第一次加热到$90°\mathrm{C}$的时间.
(2)求材料自然降温时，$y$关于$x$的函数解析式.
(3)已知该工艺品操作时温度需保持在$60～90°\mathrm{C}$(包括$60°\mathrm{C}$，$90°\mathrm{C}$)，为节约能源，工厂设计了两种方案(见下面表格).仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8 h(包括加热升温阶段时间)，请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？

(1)材料第一次加热到 90 ℃的时间为 20 min.
(2)$y=\frac{1800}{x}$.
(3)仅从工作时间和加热成本考虑,间歇加热工作更节约成本(计算过程略).

【分析】
(1) 加热阶段符合一次函数关系，先根据初始温度30℃、加热10min后温度达60℃的条件求出加热阶段的一次函数解析式，再将y=90代入解析式即可求得对应的加热时间。
(2) 自然降温阶段为反比例函数，由第(1)问可得加热到90℃的坐标点(20,90)，将该点代入反比例函数一般式求出未知系数，即可得到降温阶段的函数解析式。
(3) 先求出温度从90℃自然降至60℃的时长，再分别计算两种方案8小时内的总加热时长，总加热时长越短则成本越低，对比即可得出更节约的方案。
【解析】
(1) 设加热阶段$y$与$x$的函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，由题意得：$x=0$时$y=30$，$x=10$时$y=60$。
代入解析式得：$\begin{cases}b=30\\10a+b=60\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=30\end{cases}$
即加热阶段解析式为$y=3x+30$。
当$y=90$时，$3x+30=90$，解得$x=20$。
(2) 设自然降温阶段函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x≥20)$，由(1)可知函数过点$(20,90)$，代入得：
$90=\frac{k}{20}$，解得$k=1800$，即降温阶段解析式为$y=\frac{1800}{x}(x≥20)$。
(3) 将$y=60$代入$y=\frac{1800}{x}$，得$x=30$，即从90℃降温到60℃需要$30-20=10\mathrm{min}$；
加热阶段从60℃升到90℃需要$20-10=10\mathrm{min}$，即一个工作周期（升温10min+降温10min）共20min，仅需加热10min。
8h换算为480min，持续加热方案总加热时长为480min；
间歇加热方案：初始加热20min，剩余$480-20=460\mathrm{min}$可完成$460÷20=23$个周期，总加热时长为$20+23×10=250\mathrm{min}$。
$250\mathrm{min}＜480\mathrm{min}$，因此间歇加热成本更低。
【答案】
(1) $20\ \mathrm{min}$
(2) $y=\frac{1800}{x}(x≥20)$
(3) 间歇加热工作更节约成本
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，方案优化
【点评】
本题结合实际生产场景，综合考查一次函数、反比例函数的解析式求解与实际应用，需要学生准确提取题干信息，结合函数性质分析不同阶段的变化规律，对应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65