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1.当温度不变时,气球内气体的压强$p$(单位:kPa)是气体体积$V$(单位:$m^3$)的函数,下表记录了一组实验数据:
$p$与$V$之间的函数关系式是 (
A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=16V^2-96V+176$
$p$与$V$之间的函数关系式是 (
C
)A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=16V^2-96V+176$
答案
C
解析
【分析】
要确定p与V的函数关系式，有两种常用解题思路：一是结合物理中温度不变时气体压强和体积的变化规律，通过计算每组V和p的乘积，判断二者是否为反比例关系；二是采用代入排除法，将表格中的数据依次代入各选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
方法一：计算每组V与p的乘积：
当$V=1\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=1×96=96$；
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=1.5×64=96$；
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=2×48=96$；
当$V=2.5\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=2.5×38.4=96$；
当$V=3\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=3×32=96$；
可见V与p的乘积为定值96，即$pV=96$，整理得$p=\frac{96}{V}$，符合反比例函数形式。
方法二：代入排除法
A选项：当$V=1.5$时，$p=96×1.5=144≠64$，排除；
B选项：当$V=1.5$时，$p=-16×1.5+112=88≠64$，排除；
D选项：当$V=1.5$时，$p=16×(1.5)^2-96×1.5+176=68≠64$，排除；
只有C选项所有数据代入均成立。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合气体压强和体积的变化背景考查函数关系式的判定，解题时既可以通过计算变量乘积判断反比例关系，也可以用代入法验证选项，是对基础应用能力的考查，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.8
要确定p与V的函数关系式，有两种常用解题思路：一是结合物理中温度不变时气体压强和体积的变化规律，通过计算每组V和p的乘积，判断二者是否为反比例关系；二是采用代入排除法，将表格中的数据依次代入各选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
方法一：计算每组V与p的乘积：
当$V=1\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=1×96=96$；
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=1.5×64=96$；
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=2×48=96$；
当$V=2.5\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=2.5×38.4=96$；
当$V=3\ \mathrm{m}^3$时，$V× p=3×32=96$；
可见V与p的乘积为定值96，即$pV=96$，整理得$p=\frac{96}{V}$，符合反比例函数形式。
方法二：代入排除法
A选项：当$V=1.5$时，$p=96×1.5=144≠64$，排除；
B选项：当$V=1.5$时，$p=-16×1.5+112=88≠64$，排除；
D选项：当$V=1.5$时，$p=16×(1.5)^2-96×1.5+176=68≠64$，排除；
只有C选项所有数据代入均成立。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合气体压强和体积的变化背景考查函数关系式的判定，解题时既可以通过计算变量乘积判断反比例关系，也可以用代入法验证选项，是对基础应用能力的考查，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.8
2.如图,在常温(25 ℃)常压下用电热水壶加热一壶水时,水的温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:min)近似满足一次函数关系,当水温达到$100°\mathrm{C}$时停止加热,将茶叶放入热水壶,在一定时间内,茶水的温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:min)近似满足反比例函数关系,已知该种茶水在$30～50°\mathrm{C}$时适宜饮用,在$40°\mathrm{C}$时饮用口感最佳.若按照上述程序冲泡一壶该种茶水,并从开始加热时计时,下列说法正确的是 (
A.加热4 min时水温上升了$75°\mathrm{C}$
B.加热5 min时水沸腾
C.若在口感最佳时饮用,需要等待的时间是21 min
D.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12 min到第20 min
D
)A.加热4 min时水温上升了$75°\mathrm{C}$
B.加热5 min时水沸腾
C.若在口感最佳时饮用,需要等待的时间是21 min
D.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12 min到第20 min
答案
D
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热和冷却两个阶段：①加热阶段是一次函数，已知函数过(0,25)和(4,75)两个点，先求出一次函数解析式，再计算水温达到100℃的时间，即水沸腾的时间；②冷却阶段是反比例函数，将沸腾时的坐标代入求出反比例函数解析式，再结合各选项的条件逐一计算判断即可。
【解析】
1. 求加热阶段的一次函数解析式
设加热阶段的一次函数为$y=kx+b(k≠0)$，将$(0,25)$、$(4,75)$代入：
把$x=0,y=25$代入得$b=25$；
把$x=4,y=75,b=25$代入得：$75=4k+25$，解得$k=12.5$。
所以加热阶段的函数为$y=12.5x+25$（$0≤ x≤6$，因为当$y=100$时，$100=12.5x+25$，解得$x=6$，即加热6min水沸腾）。
2. 求冷却阶段的反比例函数解析式
设冷却阶段的反比例函数为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将沸腾时的点$(6,100)$代入得：$100=\frac{m}{6}$，解得$m=600$，所以冷却阶段函数为$y=\frac{600}{x}(x≥6)$。
3. 逐一判断选项：
A选项：加热4min时水温为75℃，初始水温25℃，上升了$75-25=50℃$，A错误；
B选项：由计算可知加热6min时水才沸腾，B错误；
C选项：口感最佳时水温为40℃，代入反比例函数得$40=\frac{600}{x}$，解得$x=15$，即需要等待15min，C错误；
D选项：适宜饮用温度为30~50℃，令$y=50$，得$x=\frac{600}{50}=12$；令$y=30$，得$x=\frac{600}{30}=20$，即适宜饮用的时间是第12min到第20min，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数的应用
【点评】
本题结合生活中烧水的场景考查函数的实际应用，需要先根据已知点求出不同阶段的函数解析式，再结合题目的条件计算求解，考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热和冷却两个阶段：①加热阶段是一次函数，已知函数过(0,25)和(4,75)两个点，先求出一次函数解析式，再计算水温达到100℃的时间，即水沸腾的时间；②冷却阶段是反比例函数，将沸腾时的坐标代入求出反比例函数解析式，再结合各选项的条件逐一计算判断即可。
【解析】
1. 求加热阶段的一次函数解析式
设加热阶段的一次函数为$y=kx+b(k≠0)$，将$(0,25)$、$(4,75)$代入：
把$x=0,y=25$代入得$b=25$；
把$x=4,y=75,b=25$代入得：$75=4k+25$，解得$k=12.5$。
所以加热阶段的函数为$y=12.5x+25$（$0≤ x≤6$，因为当$y=100$时，$100=12.5x+25$，解得$x=6$，即加热6min水沸腾）。
2. 求冷却阶段的反比例函数解析式
设冷却阶段的反比例函数为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将沸腾时的点$(6,100)$代入得：$100=\frac{m}{6}$，解得$m=600$，所以冷却阶段函数为$y=\frac{600}{x}(x≥6)$。
3. 逐一判断选项：
A选项：加热4min时水温为75℃，初始水温25℃，上升了$75-25=50℃$，A错误；
B选项：由计算可知加热6min时水才沸腾，B错误；
C选项：口感最佳时水温为40℃，代入反比例函数得$40=\frac{600}{x}$，解得$x=15$，即需要等待15min，C错误；
D选项：适宜饮用温度为30~50℃，令$y=50$，得$x=\frac{600}{50}=12$；令$y=30$，得$x=\frac{600}{30}=20$，即适宜饮用的时间是第12min到第20min，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数的应用
【点评】
本题结合生活中烧水的场景考查函数的实际应用，需要先根据已知点求出不同阶段的函数解析式，再结合题目的条件计算求解，考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
3.杆秤是利用杠杆原理来称量物体质量的称量工具(如图①),小亮模拟杆秤设计了杠杆平衡试验(如图②):在一根1.2 m长、匀质的木杆中点O处绑细绳将木杆吊起来,在点O的左侧距离点O 20 cm处挂一个所受重力为8 N的物体,在点O右侧挂一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,小亮调整弹簧秤与点O的距离L(单位:cm),发现弹簧秤的示数F(单位:N)会随之发生改变,他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格.
(1)在已给的平面直角坐标系中画出F与L的大致函数图象,在已学过的函数中选择合适的模型,求F关于L的函数解析式.
(2)若弹簧秤的最大量程是20 N,求L的取值范围.
(1)在已给的平面直角坐标系中画出F与L的大致函数图象,在已学过的函数中选择合适的模型,求F关于L的函数解析式.
(2)若弹簧秤的最大量程是20 N,求L的取值范围.
答案
(1)F与L的大致函数图象如图所示.
F关于L的函数解析式为$F=\frac{160}{L}$.
(2)$8≤L≤60$.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先回忆杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的阻力、阻力臂数值，可得到F与L的乘积为定值，由此判断F是L的反比例函数，设出反比例函数一般形式，代入乘积定值即可求出函数解析式，再根据数据描点连线画出大致图象。
（2）解题思路：弹簧秤最大量程为20N，即F的最大值为20N，将F≤20代入反比例函数解析式，结合L为正数的特点解不等式得到L的最小值；再结合木杆总长1.2m，中点为O，可得右侧L的最大值为60cm，综合即可得到L的取值范围。
【解析】
（1）根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知左侧物体重力为8N，力臂为20cm，右侧弹簧秤拉力为F，力臂为L cm，可得：
$8×20 = F· L$
整理得$FL=160$，由此可知F是L的反比例函数，设$F=\frac{k}{L}(k≠0,L＞0)$，代入$FL=160$得$k=160$，因此F关于L的函数解析式为$F=\frac{160}{L}(L＞0)$，根据数据描点连线得到的大致图象如图所示。
（2）已知弹簧秤的最大量程是20N，即$0＜F≤20$，且木杆总长为1.2m=120cm，中点为O，因此右侧最大力臂$L≤\frac{120}{2}=60\mathrm{cm}$。
将$F≤20$代入$F=\frac{160}{L}$得：
$\frac{160}{L}≤20$
$\because L＞0$，不等式两边同时乘L不等号方向不变，得：
$160≤20L$
解得$L≥8$
结合$L≤60$，可得L的取值范围为$8≤ L≤60$。
【答案】
(1)F与L的大致函数图象如图所示.
F关于L的函数解析式为$F=\frac{160}{L}$.
(2)$8≤L≤60$.
【知识点】
反比例函数的实际应用，杠杆平衡条件，解一元一次不等式
【点评】
本题结合物理学科的杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，需要结合实际场景确定自变量的取值范围，能有效考查跨学科知识融合运用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：首先回忆杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的阻力、阻力臂数值，可得到F与L的乘积为定值，由此判断F是L的反比例函数，设出反比例函数一般形式，代入乘积定值即可求出函数解析式，再根据数据描点连线画出大致图象。
（2）解题思路：弹簧秤最大量程为20N，即F的最大值为20N，将F≤20代入反比例函数解析式，结合L为正数的特点解不等式得到L的最小值；再结合木杆总长1.2m，中点为O，可得右侧L的最大值为60cm，综合即可得到L的取值范围。
【解析】
（1）根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知左侧物体重力为8N，力臂为20cm，右侧弹簧秤拉力为F，力臂为L cm，可得：
$8×20 = F· L$
整理得$FL=160$，由此可知F是L的反比例函数，设$F=\frac{k}{L}(k≠0,L＞0)$，代入$FL=160$得$k=160$，因此F关于L的函数解析式为$F=\frac{160}{L}(L＞0)$，根据数据描点连线得到的大致图象如图所示。
（2）已知弹簧秤的最大量程是20N，即$0＜F≤20$，且木杆总长为1.2m=120cm，中点为O，因此右侧最大力臂$L≤\frac{120}{2}=60\mathrm{cm}$。
将$F≤20$代入$F=\frac{160}{L}$得：
$\frac{160}{L}≤20$
$\because L＞0$，不等式两边同时乘L不等号方向不变，得：
$160≤20L$
解得$L≥8$
结合$L≤60$，可得L的取值范围为$8≤ L≤60$。
【答案】
(1)F与L的大致函数图象如图所示.
F关于L的函数解析式为$F=\frac{160}{L}$.
(2)$8≤L≤60$.
【知识点】
反比例函数的实际应用，杠杆平衡条件，解一元一次不等式
【点评】
本题结合物理学科的杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，需要结合实际场景确定自变量的取值范围，能有效考查跨学科知识融合运用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
