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【例1】如图，在$△ AOB$中，$AO=1$，$BO=AB=2$，将$△ AOB$绕点$O$逆时针旋转$90°$，得到$△ A'OB'$，连接$AA'$，则线段$AA'$的长为________。
【规律方法】
利用旋转的性质求线段长度的方法
(1)明确旋转的性质:图形旋转前后的对应边相等,对应角相等,每组对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.
(2)利用特殊三角形求解:根据旋转的性质,构造或寻找特殊三角形,利用特殊三角形的性质求解.
【规律方法】
利用旋转的性质求线段长度的方法
(1)明确旋转的性质:图形旋转前后的对应边相等,对应角相等,每组对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.
(2)利用特殊三角形求解:根据旋转的性质,构造或寻找特殊三角形,利用特殊三角形的性质求解.
答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用旋转的性质分析图形关系。首先根据旋转的特征，对应点到旋转中心的距离相等，可得OA'=OA，同时旋转角等于90°，即∠AOA'=90°，由此可判断△AOA'是等腰直角三角形，最后借助勾股定理即可求出AA'的长度。
【解析】
解：
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴根据旋转的性质，OA' = OA = 1，∠AOA' = 90°，
∴△AOA'为等腰直角三角形，
在Rt△AOA'中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{OA^2 + OA'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是利用旋转性质求线段长的典型基础题，解题的关键是准确找到旋转后相等的对应边和旋转角，构造出特殊直角三角形，再结合勾股定理计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用旋转的性质分析图形关系。首先根据旋转的特征，对应点到旋转中心的距离相等，可得OA'=OA，同时旋转角等于90°，即∠AOA'=90°，由此可判断△AOA'是等腰直角三角形，最后借助勾股定理即可求出AA'的长度。
【解析】
解：
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴根据旋转的性质，OA' = OA = 1，∠AOA' = 90°，
∴△AOA'为等腰直角三角形，
在Rt△AOA'中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{OA^2 + OA'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是利用旋转性质求线段长的典型基础题，解题的关键是准确找到旋转后相等的对应边和旋转角，构造出特殊直角三角形，再结合勾股定理计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
|变式训练|
1.如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=6$, $BC=8$, 将 $Rt△ ABC$ 绕点 A 逆时针旋转得到 $Rt△ AB'C'$, 使点 $C'$ 落在 AB 上, 连接 $BB'$, 则 $BB'$ 的长为 (
A.10
B.8
C.$4\sqrt{5}$
D.$\sqrt{52}$
1.如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=6$, $BC=8$, 将 $Rt△ ABC$ 绕点 A 逆时针旋转得到 $Rt△ AB'C'$, 使点 $C'$ 落在 AB 上, 连接 $BB'$, 则 $BB'$ 的长为 (
C
)A.10
B.8
C.$4\sqrt{5}$
D.$\sqrt{52}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角三角形条件出发，第一步用勾股定理求出AB的长度；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，求出线段$C'B$的长度，同时确定$△ BC'B'$为直角三角形；最后再次利用勾股定理即可求出$BB'$的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$
2. 由旋转的性质可知：$AC'=AC=6$，$B'C'=BC=8$，$∠ AC'B'=∠ C=90°$，因此$∠ BC'B'=90°$。
线段$C'B=AB-AC'=10-6=4$。
3. 在$Rt△ BC'B'$中，由勾股定理可得：
$BB'=\sqrt{C'B^2+B'C'^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转相关的基础常考题，解题核心是利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，构造出可计算边长的直角三角形，再结合勾股定理求解即可，注重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的直角三角形条件出发，第一步用勾股定理求出AB的长度；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，求出线段$C'B$的长度，同时确定$△ BC'B'$为直角三角形；最后再次利用勾股定理即可求出$BB'$的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$
2. 由旋转的性质可知：$AC'=AC=6$，$B'C'=BC=8$，$∠ AC'B'=∠ C=90°$，因此$∠ BC'B'=90°$。
线段$C'B=AB-AC'=10-6=4$。
3. 在$Rt△ BC'B'$中，由勾股定理可得：
$BB'=\sqrt{C'B^2+B'C'^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转相关的基础常考题，解题核心是利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，构造出可计算边长的直角三角形，再结合勾股定理求解即可，注重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC=72°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
旋转角为α(0°＜α＜72°)，DE交AC于点F.当旋转角α=46°时，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠AFE=（
A.80°
B.87°
C.90°
D.93°
旋转角为α(0°＜α＜72°)，DE交AC于点F.当旋转角α=46°时，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠AFE=（
D
）A.80°
B.87°
C.90°
D.93°
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等、旋转角相等。第一步根据AB=AD（旋转的对应边相等）和旋转角α=46°，计算等腰△ABD的底角∠B的度数；第二步求出∠DAC的度数，再结合∠ADE=∠B，在△ADF中计算∠AFD的度数，最后根据邻补角的性质求出∠AFE的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角α=46°
∴AB=AD，∠ADE=∠B，∠BAD=46°
在△ABD中，AB=AD，
∴$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-46°}{2}=67°$
∴$∠ ADE=∠ B=67°$
又
∵$∠ BAC=72°$，
∴$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=72°-46°=26°$
在△ADF中，$∠ AFD=180°-∠ DAC-∠ ADE=180°-26°-67°=87°$
∵∠AFE与∠AFD互为邻补角
∴$∠ AFE=180°-∠ AFD=180°-87°=93°$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质和三角形角度计算结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特征，结合等腰三角形性质和三角形角度相关定理逐步推导即可，需要注意旋转角的识别以及各角度之间的关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等、旋转角相等。第一步根据AB=AD（旋转的对应边相等）和旋转角α=46°，计算等腰△ABD的底角∠B的度数；第二步求出∠DAC的度数，再结合∠ADE=∠B，在△ADF中计算∠AFD的度数，最后根据邻补角的性质求出∠AFE的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角α=46°
∴AB=AD，∠ADE=∠B，∠BAD=46°
在△ABD中，AB=AD，
∴$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-46°}{2}=67°$
∴$∠ ADE=∠ B=67°$
又
∵$∠ BAC=72°$，
∴$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=72°-46°=26°$
在△ADF中，$∠ AFD=180°-∠ DAC-∠ ADE=180°-26°-67°=87°$
∵∠AFE与∠AFD互为邻补角
∴$∠ AFE=180°-∠ AFD=180°-87°=93°$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质和三角形角度计算结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特征，结合等腰三角形性质和三角形角度相关定理逐步推导即可，需要注意旋转角的识别以及各角度之间的关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在△ABC中，∠ACB = 50°，将△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，连接AA'，且AA'//BC，则∠ACB'的度数为（
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
C
）A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质得到相等的边和角：旋转后对应边AC=A'C，对应角∠A'CB'=∠ACB=50°；再利用AA'//BC的条件，由平行线内错角相等得到∠A'AC=∠ACB=50°；接下来根据AC=A'C可知△AA'C为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质算出顶角∠ACA'的度数；最后用∠ACA'减去∠A'CB'即可得到∠ACB'的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，
∴AC=A'C，∠A'CB'=∠ACB=50°。
∵AA'//BC，
∴∠A'AC=∠ACB=50°（两直线平行，内错角相等）。
在△AA'C中，AC=A'C，
∴∠AA'C=∠A'AC=50°，
∴∠ACA'=180°-∠A'AC-∠AA'C=180°-50°-50°=80°，
∴∠ACB'=∠ACA'-∠A'CB'=80°-50°=30°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，综合了旋转、平行线、等腰三角形的核心性质，解题关键是熟练掌握各几何性质，找到角度之间的和差关系，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质得到相等的边和角：旋转后对应边AC=A'C，对应角∠A'CB'=∠ACB=50°；再利用AA'//BC的条件，由平行线内错角相等得到∠A'AC=∠ACB=50°；接下来根据AC=A'C可知△AA'C为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质算出顶角∠ACA'的度数；最后用∠ACA'减去∠A'CB'即可得到∠ACB'的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，
∴AC=A'C，∠A'CB'=∠ACB=50°。
∵AA'//BC，
∴∠A'AC=∠ACB=50°（两直线平行，内错角相等）。
在△AA'C中，AC=A'C，
∴∠AA'C=∠A'AC=50°，
∴∠ACA'=180°-∠A'AC-∠AA'C=180°-50°-50°=80°，
∴∠ACB'=∠ACA'-∠A'CB'=80°-50°=30°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，综合了旋转、平行线、等腰三角形的核心性质，解题关键是熟练掌握各几何性质，找到角度之间的和差关系，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
【例3】如图，$△ ABC$绕点O按顺时针方向旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法.
解:
解:
答案
解:如图所示.
作法:(1)连接OA,OB,OC,OD;
(2)分别以OB,OC为始边,按顺时针方向作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别在OM,ON上截取OE,OF,使OE=OB,OF=OC;
(4)依次连接DE,EF,FD.
△DEF就是所求作的三角形.
解析
【分析】
要解决旋转作图问题，首先需明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。本题旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，已知点A的对应点为D，因此旋转角为∠AOD。接下来根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，只需分别作出点B、C的对应点，最后顺次连接各对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
我们依据旋转的性质按以下步骤作图：
1. 连接OA、OB、OC、OD，确定已知的旋转角∠AOD；
2. 保证旋转方向和旋转角一致，分别以OB、OC为始边，按顺时针方向作∠BOM=∠CON=∠AOD；
3. 根据对应点到旋转中心距离相等的性质，分别在射线OM、ON上截取OE=OB，OF=OC，得到点B的对应点E、点C的对应点F；
4. 顺次连接D、E、F三点，所得三角形即为旋转后的图形。
【答案】
作法:(1)连接OA,OB,OC,OD;
(2)分别以OB,OC为始边,按顺时针方向作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别在OM,ON上截取OE,OF,使OE=OB,OF=OC;
(4)依次连接DE,EF,FD.
△DEF就是所求作的三角形.
【知识点】
旋转的性质，旋转作图，尺规作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，解题关键是准确把握旋转三要素，熟练运用旋转的性质确定对应点的位置，作图时需注意旋转方向不能出错，旋转角和对应线段长度要保证相等。
【难度系数】
0.8
要解决旋转作图问题，首先需明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。本题旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，已知点A的对应点为D，因此旋转角为∠AOD。接下来根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，只需分别作出点B、C的对应点，最后顺次连接各对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
我们依据旋转的性质按以下步骤作图：
1. 连接OA、OB、OC、OD，确定已知的旋转角∠AOD；
2. 保证旋转方向和旋转角一致，分别以OB、OC为始边，按顺时针方向作∠BOM=∠CON=∠AOD；
3. 根据对应点到旋转中心距离相等的性质，分别在射线OM、ON上截取OE=OB，OF=OC，得到点B的对应点E、点C的对应点F；
4. 顺次连接D、E、F三点，所得三角形即为旋转后的图形。
【答案】
作法:(1)连接OA,OB,OC,OD;
(2)分别以OB,OC为始边,按顺时针方向作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别在OM,ON上截取OE,OF,使OE=OB,OF=OC;
(4)依次连接DE,EF,FD.
△DEF就是所求作的三角形.
【知识点】
旋转的性质，旋转作图，尺规作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，解题关键是准确把握旋转三要素，熟练运用旋转的性质确定对应点的位置，作图时需注意旋转方向不能出错，旋转角和对应线段长度要保证相等。
【难度系数】
0.8
