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【规律方法】
简单的旋转作图的一般步骤
第1步:连,即连接图形中的每一个关键点和旋转中心.
第2步:转,即以旋转中心为角的顶点,以第1步中所连线段为旋转角的始边,按正确的旋转方向作出旋转角.
第3步:截,即在旋转角的另一边上对应截取关键点到旋转中心的距离,得到该点的对应点.
第4步:连,即顺次连接所有关键点的对应点,得到旋转后的图形.
变式训练
3.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A₁B₁C₁.
知识建构
简单的旋转作图的一般步骤
第1步:连,即连接图形中的每一个关键点和旋转中心.
第2步:转,即以旋转中心为角的顶点,以第1步中所连线段为旋转角的始边,按正确的旋转方向作出旋转角.
第3步:截,即在旋转角的另一边上对应截取关键点到旋转中心的距离,得到该点的对应点.
第4步:连,即顺次连接所有关键点的对应点,得到旋转后的图形.
变式训练
3.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A₁B₁C₁.
知识建构
答案
3.解:如图,△A₁B₁C₁即为所求.
解析
【分析】
要解决本题的旋转作图问题，首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题遵循旋转作图的通用逻辑：先确定原图形的关键点，即△ABC的三个顶点A、B、C，再分别作出每个关键点绕O顺时针旋转90°后的对应点，最后顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。作图时可借助网格的直角特征保证旋转角度准确，同时利用旋转的性质确定对应点位置。
【解析】
1. 连关键点与旋转中心：分别连接线段OA、OB、OC；
2. 作旋转角：将OA、OB、OC分别绕点O按顺时针方向旋转90°，借助网格的直角确定旋转后的射线方向；
3. 截取等长线段：根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，在旋转得到的射线上分别截取OA₁=OA、OB₁=OB、OC₁=OC，得到A、B、C的对应点A₁、B₁、C₁；
4. 连接对应点：顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的三角形即为所求旋转后的图形。
【答案】
【知识点】
旋转作图；旋转的性质
【点评】
本题属于旋转作图基础题，核心是牢记旋转三要素，严格按照旋转作图步骤操作，借助网格特性可以更便捷准确地确定对应点位置，作图时要注意避免旋转方向、角度出现错误。
【难度系数】
0.85
要解决本题的旋转作图问题，首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题遵循旋转作图的通用逻辑：先确定原图形的关键点，即△ABC的三个顶点A、B、C，再分别作出每个关键点绕O顺时针旋转90°后的对应点，最后顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。作图时可借助网格的直角特征保证旋转角度准确，同时利用旋转的性质确定对应点位置。
【解析】
1. 连关键点与旋转中心：分别连接线段OA、OB、OC；
2. 作旋转角：将OA、OB、OC分别绕点O按顺时针方向旋转90°，借助网格的直角确定旋转后的射线方向；
3. 截取等长线段：根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，在旋转得到的射线上分别截取OA₁=OA、OB₁=OB、OC₁=OC，得到A、B、C的对应点A₁、B₁、C₁；
4. 连接对应点：顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的三角形即为所求旋转后的图形。
【答案】
【知识点】
旋转作图；旋转的性质
【点评】
本题属于旋转作图基础题，核心是牢记旋转三要素，严格按照旋转作图步骤操作，借助网格特性可以更便捷准确地确定对应点位置，作图时要注意避免旋转方向、角度出现错误。
【难度系数】
0.85
1.如图，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$70°$，得到$△ ADE$，若点E在线段BC上，则$∠ C$的大小是（
A.$40°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质，找到旋转后的对应边与旋转角：旋转前后对应边相等，旋转角等于70°，可判断出△AEC为等腰三角形，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°得到△ADE，
∴AC=AE，旋转角∠CAE=70°，
∴△AEC是等腰三角形，即∠C=∠AEC，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C+∠AEC+∠CAE=180°，
代入已知条件得2∠C+70°=180°，
解得∠C=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质与三角形性质结合的基础题，解题的核心是准确识别旋转后的对应边和旋转角，再结合等腰三角形的特征计算角度，是旋转类考题的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用旋转的性质，找到旋转后的对应边与旋转角：旋转前后对应边相等，旋转角等于70°，可判断出△AEC为等腰三角形，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°得到△ADE，
∴AC=AE，旋转角∠CAE=70°，
∴△AEC是等腰三角形，即∠C=∠AEC，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C+∠AEC+∠CAE=180°，
代入已知条件得2∠C+70°=180°，
解得∠C=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质与三角形性质结合的基础题，解题的核心是准确识别旋转后的对应边和旋转角，再结合等腰三角形的特征计算角度，是旋转类考题的常见考法。
【难度系数】
0.8
2.如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$到$△ ABF$的位置.若四边形AECF的面积为144，AE=13，则DE的长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}$
C.4
D.5
D
）A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}$
C.4
D.5
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得出旋转前后的三角形全等，得到两个三角形面积相等，由此可将四边形AECF的面积转化为正方形ABCD的面积，求出正方形的边长；再结合正方形的内角为直角，在直角三角形中利用勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
1. 由旋转的性质可知，$△ ADE ≌ △ ABF$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$。
2. 四边形AECF的面积$=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}=S_{正方形ABCD}$，已知四边形AECF的面积为144，故$S_{正方形ABCD}=144$，则正方形的边长$AD=\sqrt{144}=12$。
3. 因为四边形ABCD是正方形，所以$∠ D=90°$，在$Rt△ ADE$中，$AE=13$，$AD=12$，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过旋转的性质完成面积的转化，将不规则四边形的面积转化为正方形面积，再结合勾股定理求解，侧重考查基础知识点的融合应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得出旋转前后的三角形全等，得到两个三角形面积相等，由此可将四边形AECF的面积转化为正方形ABCD的面积，求出正方形的边长；再结合正方形的内角为直角，在直角三角形中利用勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
1. 由旋转的性质可知，$△ ADE ≌ △ ABF$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$。
2. 四边形AECF的面积$=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}=S_{正方形ABCD}$，已知四边形AECF的面积为144，故$S_{正方形ABCD}=144$，则正方形的边长$AD=\sqrt{144}=12$。
3. 因为四边形ABCD是正方形，所以$∠ D=90°$，在$Rt△ ADE$中，$AE=13$，$AD=12$，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过旋转的性质完成面积的转化，将不规则四边形的面积转化为正方形面积，再结合勾股定理求解，侧重考查基础知识点的融合应用。
【难度系数】
0.7
3.如图,将一个等边三角形绕其三边的垂直平分线的交点旋转一定的角度后,依然与原图形重合,则这个旋转的角度可以是 （
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的特点：图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个角度是最小旋转重合角的整数倍。首先确定等边三角形的旋转中心就是题目中给出的三边垂直平分线的交点，这个点到三个顶点的距离相等，它和三个顶点的连线会将周角平分成3等份，算出最小旋转重合角后，对比选项找出符合要求的角度即可。
【解析】
解：等边三角形三边垂直平分线的交点是它的旋转中心，该中心与三个顶点的连线将周角$360°$平均分成3份，因此最小旋转重合角度为：
$360° ÷ 3 = 120°$
根据旋转的性质，绕该中心旋转$120°$的正整数倍时，等边三角形都会与原图形重合。对比选项，只有$120°$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确等边三角形的中心特征，掌握旋转对称图形最小重合角的计算方法，易错点是容易误将最小旋转重合角记为$60°$。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的特点：图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个角度是最小旋转重合角的整数倍。首先确定等边三角形的旋转中心就是题目中给出的三边垂直平分线的交点，这个点到三个顶点的距离相等，它和三个顶点的连线会将周角平分成3等份，算出最小旋转重合角后，对比选项找出符合要求的角度即可。
【解析】
解：等边三角形三边垂直平分线的交点是它的旋转中心，该中心与三个顶点的连线将周角$360°$平均分成3份，因此最小旋转重合角度为：
$360° ÷ 3 = 120°$
根据旋转的性质，绕该中心旋转$120°$的正整数倍时，等边三角形都会与原图形重合。对比选项，只有$120°$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确等边三角形的中心特征，掌握旋转对称图形最小重合角的计算方法，易错点是容易误将最小旋转重合角记为$60°$。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,3),B(-3,1),C(-1,3).请画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标.
答案
4.解:如图,△A₁B₁C₁即为所求,点B₁的坐标为(3,-1).
解析
【分析】
要解决本题，首先明确绕原点顺时针旋转180°的图形变换本质是关于原点中心对称，根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心（原点），且被对称中心平分，因此对应点的横、纵坐标均为原坐标的相反数。解题步骤为：先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，再在坐标系中描出这些点，顺次连接即可得到旋转后的图形，同时直接得到B₁的坐标。
【解析】
根据旋转的性质，△ABC绕原点O顺时针旋转180°后，各顶点与△A₁B₁C₁的对应顶点关于原点中心对称。
关于原点对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为(x,y)，则其关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
已知B点坐标为(-3,1)，因此B₁的坐标为(3,-1)；同理可得A(-4,3)对应A₁(4,-3)，C(-1,3)对应C₁(1,-3)。
在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，即可得到所求的△A₁B₁C₁。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求,点B₁的坐标为(3,-1).
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 旋转作图
【点评】
本题是基础类作图题，核心考查图形旋转变换后对应点坐标的求解，只要熟练掌握关于原点中心对称的点的坐标变化规律，就能快速完成作图和坐标求解。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先明确绕原点顺时针旋转180°的图形变换本质是关于原点中心对称，根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心（原点），且被对称中心平分，因此对应点的横、纵坐标均为原坐标的相反数。解题步骤为：先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，再在坐标系中描出这些点，顺次连接即可得到旋转后的图形，同时直接得到B₁的坐标。
【解析】
根据旋转的性质，△ABC绕原点O顺时针旋转180°后，各顶点与△A₁B₁C₁的对应顶点关于原点中心对称。
关于原点对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为(x,y)，则其关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
已知B点坐标为(-3,1)，因此B₁的坐标为(3,-1)；同理可得A(-4,3)对应A₁(4,-3)，C(-1,3)对应C₁(1,-3)。
在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，即可得到所求的△A₁B₁C₁。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求,点B₁的坐标为(3,-1).
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 旋转作图
【点评】
本题是基础类作图题，核心考查图形旋转变换后对应点坐标的求解，只要熟练掌握关于原点中心对称的点的坐标变化规律，就能快速完成作图和坐标求解。
【难度系数】
0.85
