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学习任务一 中心对称的有关概念
一个图形绕着某一点旋转 $180°$,如果旋转后的图形能与另一个图形重合,那么就说这两个图形
一个图形绕着某一点旋转 $180°$,如果旋转后的图形能与另一个图形重合,那么就说这两个图形
关于这个点对称
或中心对称
,这个点叫作对称中心
(简称中心),这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点
.答案
关于这个点对称 中心对称 对称中心 对称点
解析
【分析】
这道题是对中心对称相关基础概念的直接考查，解题时只需回忆教材中关于中心对称的定义内容，逐空对应填写即可。首先明确两个图形满足绕某点旋转180°后重合的关系名称，再对应填写这个点的名称、以及旋转后重合的对应点的名称即可。
【解析】
根据中心对称的定义：一个图形绕着某一点旋转$180°$，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
关于这个点对称；中心对称；对称中心；对称点
【知识点】
中心对称概念；对称中心定义；对称点定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对中心对称相关基础概念的掌握情况，熟练记忆教材中的定义内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题是对中心对称相关基础概念的直接考查，解题时只需回忆教材中关于中心对称的定义内容，逐空对应填写即可。首先明确两个图形满足绕某点旋转180°后重合的关系名称，再对应填写这个点的名称、以及旋转后重合的对应点的名称即可。
【解析】
根据中心对称的定义：一个图形绕着某一点旋转$180°$，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
关于这个点对称；中心对称；对称中心；对称点
【知识点】
中心对称概念；对称中心定义；对称点定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对中心对称相关基础概念的掌握情况，熟练记忆教材中的定义内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
学习任务二 中心对称的性质
|情境探究|
如图，$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于点$O$对称.
问题1:$△ ABC$和$△ A'B'C'$的形状和大小有什么关系？
问题2:$∠ AOA',∠ BOB',∠ COC'$的度数分别是多少？
问题3:点$O$在线段$AA'$上吗？如果在，在什么位置？点$O$相对于线段$BB',CC'$呢？
|探究归纳|
1.中心对称作为特殊的旋转，具有旋转的一切性质.
2.成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过
|情境探究|
如图，$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于点$O$对称.
问题1:$△ ABC$和$△ A'B'C'$的形状和大小有什么关系？
问题2:$∠ AOA',∠ BOB',∠ COC'$的度数分别是多少？
问题3:点$O$在线段$AA'$上吗？如果在，在什么位置？点$O$相对于线段$BB',CC'$呢？
|探究归纳|
1.中心对称作为特殊的旋转，具有旋转的一切性质.
2.成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过
对称中心
，并且被对称中心
平分.答案
问题1:△ABC 和△A'B'C'的形状相同,大小相等.
问题2:∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°.
问题3:点O在线段AA'上,且在线段AA'的中点处.点O也在线段BB',CC'上,且在线段BB',CC'的中点处.
探究归纳2.对称中心 对称中心
问题2:∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°.
问题3:点O在线段AA'上,且在线段AA'的中点处.点O也在线段BB',CC'上,且在线段BB',CC'的中点处.
探究归纳2.对称中心 对称中心
解析
【分析】
本题围绕中心对称的性质展开考查，解题时先回忆中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若它能与另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，该点为对称中心。①问题1：中心对称属于特殊的旋转，旋转不改变图形的形状和大小，因此可直接判断两个三角形的形状大小关系；②问题2：中心对称的旋转角度为180°，对称点与对称中心连线的夹角就是旋转角，据此可得三个角的度数；③问题3：根据旋转的特征，旋转中心在对称点的连线上，且到两个对称点的距离相等，因此可判断点O的位置；最后结合前面三个问题的结论，即可完成探究归纳的填空。
【解析】
问题1：成中心对称的两个图形是其中一个绕对称中心旋转180°得到的，旋转前后的图形全等，因此△ABC和△A'B'C'形状相同，大小相等。
问题2：中心对称的旋转角为180°，∠AOA'、∠BOB'、∠COC'都是旋转过程中对应的旋转角，因此∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°。
问题3：对称点绕对称中心旋转180°后互相重合，因此点O在线段AA'上，且是线段AA'的中点；同理可得，点O也在线段BB'、CC'上，且是线段BB'、CC'的中点。
探究归纳2：结合上述结论可知，成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。
【答案】
问题1:△ABC 和△A'B'C'的形状相同,大小相等.
问题2:∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°.
问题3:点O在线段AA'上,且在线段AA'的中点处.点O也在线段BB',CC'上,且在线段BB',CC'的中点处.
探究归纳2.对称中心 对称中心
【知识点】
中心对称的性质；旋转的性质；全等的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕中心对称的相关性质设题，侧重对基础定义、性质的理解记忆，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题围绕中心对称的性质展开考查，解题时先回忆中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若它能与另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，该点为对称中心。①问题1：中心对称属于特殊的旋转，旋转不改变图形的形状和大小，因此可直接判断两个三角形的形状大小关系；②问题2：中心对称的旋转角度为180°，对称点与对称中心连线的夹角就是旋转角，据此可得三个角的度数；③问题3：根据旋转的特征，旋转中心在对称点的连线上，且到两个对称点的距离相等，因此可判断点O的位置；最后结合前面三个问题的结论，即可完成探究归纳的填空。
【解析】
问题1：成中心对称的两个图形是其中一个绕对称中心旋转180°得到的，旋转前后的图形全等，因此△ABC和△A'B'C'形状相同，大小相等。
问题2：中心对称的旋转角为180°，∠AOA'、∠BOB'、∠COC'都是旋转过程中对应的旋转角，因此∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°。
问题3：对称点绕对称中心旋转180°后互相重合，因此点O在线段AA'上，且是线段AA'的中点；同理可得，点O也在线段BB'、CC'上，且是线段BB'、CC'的中点。
探究归纳2：结合上述结论可知，成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。
【答案】
问题1:△ABC 和△A'B'C'的形状相同,大小相等.
问题2:∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=180°.
问题3:点O在线段AA'上,且在线段AA'的中点处.点O也在线段BB',CC'上,且在线段BB',CC'的中点处.
探究归纳2.对称中心 对称中心
【知识点】
中心对称的性质；旋转的性质；全等的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕中心对称的相关性质设题，侧重对基础定义、性质的理解记忆，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称.
(1)试说明四边形BDEG是菱形.
(2)若矩形ABCD的面积为8，求四边形BDEG的面积.
解：
|一题多变|
(改变条件)将例1中的两个“矩形”改为“正方形”，求证：四边形BDEG是正方形.
【规律方法】
找准两个“对称”解决有关中心
对称的计算或证明问题
利用中心对称的性质进行计算或证明
时，需先找准对称中心和对称点，再利用平
行线的性质和判定、全等三角形的性质和判
定、特殊四边形的性质和判定等相关知识
求解.
(1)试说明四边形BDEG是菱形.
(2)若矩形ABCD的面积为8，求四边形BDEG的面积.
解：
|一题多变|
(改变条件)将例1中的两个“矩形”改为“正方形”，求证：四边形BDEG是正方形.
【规律方法】
找准两个“对称”解决有关中心
对称的计算或证明问题
利用中心对称的性质进行计算或证明
时，需先找准对称中心和对称点，再利用平
行线的性质和判定、全等三角形的性质和判
定、特殊四边形的性质和判定等相关知识
求解.
答案
(1)因为矩形ABCD 和矩形AEFG关于点A中心对称，
所以AB=AE,AD=AG,BE⊥DG，
所以四边形BDEG是菱形.
(2)四边形BDEG的面积为16.
一题多变证明:因为四边形ABCD 和四边形AEFG都是正方形，
所以AB=AD,AE=AG,∠DAB=90°.
又正方形ABCD 和正方形AEFG 关于点A 中心对称，
所以AB=AE,AD=AG，
所以四边形BDEG 是菱形,AB=AD=AE=AG，
所以DG=BE.
所以四边形BDEG 是正方形.
所以AB=AE,AD=AG,BE⊥DG，
所以四边形BDEG是菱形.
(2)四边形BDEG的面积为16.
一题多变证明:因为四边形ABCD 和四边形AEFG都是正方形，
所以AB=AD,AE=AG,∠DAB=90°.
又正方形ABCD 和正方形AEFG 关于点A 中心对称，
所以AB=AE,AD=AG，
所以四边形BDEG 是菱形,AB=AD=AE=AG，
所以DG=BE.
所以四边形BDEG 是正方形.
解析
【分析】
(1)要证明四边形BDEG是菱形，先利用中心对称的性质可得对称点连线被对称中心平分，即AB=AE、AD=AG，由此可知四边形BDEG的对角线互相平分，可先判定它是平行四边形；再结合矩形内角为直角的性质，可推出两条对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证。
(2)计算四边形BDEG的面积时，可使用菱形面积公式“对角线乘积的一半”，结合已知矩形ABCD的面积，代入对角线与矩形边长的关系即可求出结果。
一题多变部分：要证四边形BDEG是正方形，可先按(1)的思路证明它是菱形，再结合正方形的边长相等的性质推出菱形的对角线相等，根据“对角线相等的菱形是正方形”即可完成证明。
【解析】
(1)证明：
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，且BE⊥DG，
∴四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，
∴四边形BDEG是菱形。
(2)解：由(1)可知BE=2AB，DG=2AD，
菱形BDEG的面积$=\frac{1}{2}×BE×DG=\frac{1}{2}×2AB×2AD=2AB·AD$，
∵矩形ABCD的面积为$AB·AD=8$，
∴四边形BDEG的面积$=2×8=16$。
一题多变证明：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=90°，
又
∵正方形ABCD和正方形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，
∴可证得四边形BDEG是菱形，且$AB=AD=AE=AG$，
∴$DG=2AD$，$BE=2AB$，即DG=BE，
∴对角线相等的菱形是正方形，即四边形BDEG是正方形。
【答案】
(1)四边形BDEG是菱形，证明见上述过程；
(2)16；
一题多变：四边形BDEG是正方形，证明见上述过程。
【知识点】
中心对称的性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查中心对称性质与特殊四边形的判定、计算的结合，解题核心是利用中心对称得到线段的等量关系和位置关系，再结合各类特殊四边形的判定定理、面积公式推导求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形BDEG是菱形，先利用中心对称的性质可得对称点连线被对称中心平分，即AB=AE、AD=AG，由此可知四边形BDEG的对角线互相平分，可先判定它是平行四边形；再结合矩形内角为直角的性质，可推出两条对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证。
(2)计算四边形BDEG的面积时，可使用菱形面积公式“对角线乘积的一半”，结合已知矩形ABCD的面积，代入对角线与矩形边长的关系即可求出结果。
一题多变部分：要证四边形BDEG是正方形，可先按(1)的思路证明它是菱形，再结合正方形的边长相等的性质推出菱形的对角线相等，根据“对角线相等的菱形是正方形”即可完成证明。
【解析】
(1)证明：
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，且BE⊥DG，
∴四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，
∴四边形BDEG是菱形。
(2)解：由(1)可知BE=2AB，DG=2AD，
菱形BDEG的面积$=\frac{1}{2}×BE×DG=\frac{1}{2}×2AB×2AD=2AB·AD$，
∵矩形ABCD的面积为$AB·AD=8$，
∴四边形BDEG的面积$=2×8=16$。
一题多变证明：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=90°，
又
∵正方形ABCD和正方形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，
∴可证得四边形BDEG是菱形，且$AB=AD=AE=AG$，
∴$DG=2AD$，$BE=2AB$，即DG=BE，
∴对角线相等的菱形是正方形，即四边形BDEG是正方形。
【答案】
(1)四边形BDEG是菱形，证明见上述过程；
(2)16；
一题多变：四边形BDEG是正方形，证明见上述过程。
【知识点】
中心对称的性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查中心对称性质与特殊四边形的判定、计算的结合，解题核心是利用中心对称得到线段的等量关系和位置关系，再结合各类特殊四边形的判定定理、面积公式推导求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.7
