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1.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$O$ 是$AB$上一点,$△ DEF$ 和$△ ABC$ 关于点 $O$ 对称,连接 $AF$,$CD$.
(1)求证:四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
(2)若 $AC=4$,$BC=3$,求四边形 $ACDF$ 是菱形时 $AO$ 的长.
(1)求证:四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
(2)若 $AC=4$,$BC=3$,求四边形 $ACDF$ 是菱形时 $AO$ 的长.
答案
(1)证明:因为△DEF 和△ABC 关于点O对称，
所以DF=AC,∠FDE=∠CAB，
所以DF//AC，
所以四边形ACDF 是平行四边形.
(2)解:$AO=\frac{16}{5}$.
所以DF=AC,∠FDE=∠CAB，
所以DF//AC，
所以四边形ACDF 是平行四边形.
(2)解:$AO=\frac{16}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ACDF是平行四边形，可利用中心对称的性质推导：关于中心对称的两个图形对应边相等、对应角相等，据此得到DF与AC的数量关系和位置关系，再结合平行四边形的判定定理即可得证。
(2) 求AO的长时，先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度；当平行四边形ACDF为菱形时，邻边AC=CD，可先通过三角形面积法求出斜边AB上的高，再结合勾股定理分别求出AE、DE的长度，得到AD的总长，最后根据中心对称的性质（对称中心平分对称点的连线），O是AD中点，即可求出AO的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ △DEF和△ABC关于点O对称，
∴ DF=AC，∠FDE=∠CAB，
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
又
∵ DF=AC，
∴ 四边形ACDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点C作CE⊥AB于点E，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
当四边形ACDF是菱形时，$AC=CD=4$，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
同理在Rt△ACE中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\frac{16}{5}$，
∴ $AD=AE+DE=\frac{16}{5}+\frac{16}{5}=\frac{32}{5}$。
∵ O是△DEF和△ABC的对称中心，
∴ O是AD的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{32}{5}=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AO=\frac{16}{5}$
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【点评】
本题是中心对称与特殊四边形结合的典型题型，既考查了基础的定理应用，也要求学生能灵活运用面积法、勾股定理求解线段长度，解题的关键是挖掘中心对称隐含的线段中点、边角相等的关系。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明四边形ACDF是平行四边形，可利用中心对称的性质推导：关于中心对称的两个图形对应边相等、对应角相等，据此得到DF与AC的数量关系和位置关系，再结合平行四边形的判定定理即可得证。
(2) 求AO的长时，先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度；当平行四边形ACDF为菱形时，邻边AC=CD，可先通过三角形面积法求出斜边AB上的高，再结合勾股定理分别求出AE、DE的长度，得到AD的总长，最后根据中心对称的性质（对称中心平分对称点的连线），O是AD中点，即可求出AO的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ △DEF和△ABC关于点O对称，
∴ DF=AC，∠FDE=∠CAB，
∴ DF//AC（内错角相等，两直线平行），
又
∵ DF=AC，
∴ 四边形ACDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点C作CE⊥AB于点E，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
当四边形ACDF是菱形时，$AC=CD=4$，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，
同理在Rt△ACE中，$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\frac{16}{5}$，
∴ $AD=AE+DE=\frac{16}{5}+\frac{16}{5}=\frac{32}{5}$。
∵ O是△DEF和△ABC的对称中心，
∴ O是AD的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{32}{5}=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AO=\frac{16}{5}$
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【点评】
本题是中心对称与特殊四边形结合的典型题型，既考查了基础的定理应用，也要求学生能灵活运用面积法、勾股定理求解线段长度，解题的关键是挖掘中心对称隐含的线段中点、边角相等的关系。
【难度系数】
0.65
【例2】如图,作出与四边形ABCD关于点O对称的四边形$A_1B_1C_1D_1$.
解:
【规律方法】
作已知图形关于某一点对称的
图形的一般步骤
(1)连接、延长:将原图形上各关键点(如多边形的各顶点)与对称中心连接,并延长.
(2)等长截取:在各延长线上取对应点,使对应点到对称中心的距离与关键点到对称中心的距离相等.
(3)顺次连接:根据原图形顺次连接各对应点即可得到所求作的图形.
解:
【规律方法】
作已知图形关于某一点对称的
图形的一般步骤
(1)连接、延长:将原图形上各关键点(如多边形的各顶点)与对称中心连接,并延长.
(2)等长截取:在各延长线上取对应点,使对应点到对称中心的距离与关键点到对称中心的距离相等.
(3)顺次连接:根据原图形顺次连接各对应点即可得到所求作的图形.
答案
如图所示,四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
解析
【分析】
要作四边形ABCD关于点O的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，只需先确定四边形的四个顶点A、B、C、D这几个关键点，分别作出每个关键点关于点O的对称点，再按原图形的顶点顺序顺次连接各对称点即可。解题时按照“连接关键点与对称中心→延长截等长得到对称点→顺次连接对称点”的步骤操作即可。
【解析】
①连接AO并延长，在AO的延长线上截取$OA_1=OA$，得到点A的对称点$A_1$；
②同理，分别连接BO、CO、DO并延长，依次在各条延长线上截取$OB_1=OB$、$OC_1=OC$、$OD_1=OD$，得到点B、C、D的对称点$B_1$、$C_1$、$D_1$；
③按照原四边形ABCD的顶点顺序，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得四边形即为所求作的图形。
【答案】
如图所示,四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查中心对称的作图步骤，只要能准确找到各关键点的对称点，再顺次连接即可完成作图，是对中心对称性质的基础应用。
【难度系数】
0.9
要作四边形ABCD关于点O的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，只需先确定四边形的四个顶点A、B、C、D这几个关键点，分别作出每个关键点关于点O的对称点，再按原图形的顶点顺序顺次连接各对称点即可。解题时按照“连接关键点与对称中心→延长截等长得到对称点→顺次连接对称点”的步骤操作即可。
【解析】
①连接AO并延长，在AO的延长线上截取$OA_1=OA$，得到点A的对称点$A_1$；
②同理，分别连接BO、CO、DO并延长，依次在各条延长线上截取$OB_1=OB$、$OC_1=OC$、$OD_1=OD$，得到点B、C、D的对称点$B_1$、$C_1$、$D_1$；
③按照原四边形ABCD的顶点顺序，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得四边形即为所求作的图形。
【答案】
如图所示,四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查中心对称的作图步骤，只要能准确找到各关键点的对称点，再顺次连接即可完成作图，是对中心对称性质的基础应用。
【难度系数】
0.9
2.如图，已知△ABC和点P，作出与△ABC关于点P对称的△A'B'C'.
答案
解:如图所示,△A'B'C'即为所求.
解析
【分析】
要作出△ABC关于点P的中心对称图形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路为：首先确定原三角形的三个顶点A、B、C，再分别作出三个顶点关于点P的对称点，最后顺次连接三个对称点，就能得到所求的对称三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AP，在AP的延长线上截取$PA' = AP$，得到点A关于点P的对称点$A'$；
2. 用同样的方法，连接BP并延长，截取$PB' = BP$得到点B的对称点$B'$；连接CP并延长，截取$PC' = CP$得到点C的对称点$C'$；
3. 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得的$△ A'B'C'$就是与$△ ABC$关于点P对称的三角形。
【答案】
如图所示,△A'B'C'即为所求.
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心是利用中心对称的性质找到各顶点的对称点，熟练掌握对称点的作图方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
要作出△ABC关于点P的中心对称图形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路为：首先确定原三角形的三个顶点A、B、C，再分别作出三个顶点关于点P的对称点，最后顺次连接三个对称点，就能得到所求的对称三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AP，在AP的延长线上截取$PA' = AP$，得到点A关于点P的对称点$A'$；
2. 用同样的方法，连接BP并延长，截取$PB' = BP$得到点B的对称点$B'$；连接CP并延长，截取$PC' = CP$得到点C的对称点$C'$；
3. 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得的$△ A'B'C'$就是与$△ ABC$关于点P对称的三角形。
【答案】
如图所示,△A'B'C'即为所求.
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心是利用中心对称的性质找到各顶点的对称点，熟练掌握对称点的作图方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
