9.如果将一副三角尺按如图方式叠放，那么∠1等于。

9.105°

【分析】
解题时首先明确一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，另一个直角三角尺的两个锐角分别为30°、60°。要求∠1的度数，可利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）求解，也可先通过三角形内角和求出∠1的邻补角，再结合邻补角的和为180°计算∠1。
【解析】
方法1（利用外角性质）：
观察图形可知，左下角的直角被等腰直角三角尺的斜边分为两个角，其中一个为45°，则另一个角为$90° - 45° = 45°$。
∠1是下方三角形的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，这两个内角分别为45°和60°，因此：
$∠ 1 = 45° + 60° = 105°$
方法2（利用内角和+邻补角性质）：
先求下方小三角形中与∠1相邻的内角的度数：根据三角形内角和为180°，该角的度数为$180° - (90° - 45°) - 60° = 75°$。
∠1与该角互为邻补角，和为180°，因此：
$∠ 1 = 180° - 75° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟悉三角尺的角度特征，灵活运用三角形的角度相关性质找到所求角和已知角的数量关系。
【难度系数】
0.85

10.如图，$AC⊥FB$于点$C$，$FD$交$AC$于点$E$，交$AB$于点$D$。若$∠1=∠B$，则图中的直角三角形有个。

10.4

【分析】
要找出图中的直角三角形，首先明确直角三角形的判定标准：有一个角是90°的三角形是直角三角形。解题步骤可分为两步：第一步，先利用已知的垂直条件$AC⊥FB$，直接得出两个直角，得到对应的直角三角形；第二步，结合$∠1=∠B$的条件，利用角的等量代换和直角三角形两锐角互余的性质，推导得出新的直角，进而找到剩下的直角三角形，最后统计总数即可。
【解析】
1. 由$AC⊥FB$于点$C$，可得$∠ FCE=∠ ACB=90°$，因此$△ FCE$、$△ ACB$是直角三角形，共2个。
2. $∠ 1$与$∠ FEC$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ 1=∠ FEC$，结合已知$∠ 1=∠ B$，可推出$∠ FEC=∠ B$。
3. 在$Rt△ FCE$中，两锐角互余，即$∠ F+∠ FEC=90°$，将$∠ FEC$替换为$∠ B$，得$∠ F+∠ B=90°$。
4. 在$△ FDB$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ FDB=180°-(∠ F+∠ B)=180°-90°=90°$，因此$△ FDB$是直角三角形；同时$∠ ADE$与$∠ FDB$是邻补角，故$∠ ADE=90°$，$△ ADE$也是直角三角形，新增2个。
综上，直角三角形共有$2+2=4$个。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形的判定；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查直角三角形的识别，解题的关键是先从显性的垂直条件入手，再通过角的等量关系推导隐藏的直角，计数时注意不要漏数。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11.在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=1$.
(1)若$BC$的长是整数，求$BC$的长；
(2)已知$AD$是$△ ABC$的中线，若$△ ACD$的周长为10，求$△ ABD$的周长.

解：(1)$BC=8$.(2)$△ABD$的周长为17.

【分析】
(1) 要求整数BC的长，已知△ABC的另外两边长，可先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出BC的取值范围，再结合BC为整数的条件确定BC的具体值；
(2) 已知AD是△ABC的中线，根据中线定义可得BD=CD，分别写出△ACD和△ABD的周长表达式，找到两个周长的公共部分，结合已知的△ACD周长即可求出△ABD的周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$AB - AC ＜ BC ＜ AB + AC$
将$AB=8$，$AC=1$代入得：
$8 - 1 ＜ BC ＜ 8 + 1$，即$7 ＜ BC ＜ 9$
∵BC的长是整数，
∴$BC=8$
(2)
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=CD$
∵△ACD的周长为10，即$AC + CD + AD = 10$
将$AC=1$代入得：$1 + CD + AD = 10$，解得$CD + AD = 9$
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，又
∵$BD=CD$，因此周长可转化为$AB + CD + AD$
将$AB=8$，$CD + AD = 9$代入得：$8 + 9 = 17$
【答案】
(1) $BC=8$；(2) $△ ABD$的周长为17
【知识点】
三角形三边关系；三角形中线的定义
【点评】
本题属于三角形基础应用题，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系和中线的性质，计算周长时注意找到两个三角形周长的公共部分，可简化计算过程。
【难度系数】
0.8

12.如图，$△ ABC$中，AD是边BC上的高，BE是一条角平分线，它们相交于点P.
(1)已知$∠ EPD=120°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)求$∠ EPD$与$∠ BAD$之间满足的数量关系.

解：(1)$∠BAD=30°$. (2)$∠BAD+2∠EPD=270°$.

【分析】
(1) 首先利用对顶角相等得到∠APB与∠EPD相等，再结合AD是BC边上的高，可得直角三角形ABD中两锐角互余；BE是角平分线可得∠ABD是∠ABP的2倍，最后结合三角形内角和定理在△ABP中建立角度关系，联立即可求出∠BAD的度数。
(2) 把第一问的已知∠EPD的具体角度替换为未知量，沿用第一问的推导逻辑，消去中间角∠ABP、∠ABD，即可得到∠BAD与∠EPD的数量关系。
【解析】
(1)
∵ AD是BC边上的高，
∴ $∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$ ①
∵ BE是$∠ ABC$的角平分线，
∴ $∠ ABD = 2∠ ABP$ ②
∵ $∠ EPD$与$∠ APB$是对顶角，
∴ $∠ APB=∠ EPD=120°$
在$△ ABP$中，由三角形内角和为$180°$得：$∠ BAD + ∠ ABP + ∠ APB =180°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABP =180°-120°=60°$，即$∠ ABP=60°-∠ BAD$ ③
将②③代入①得：$∠ BAD + 2×(60°-∠ BAD)=90°$
展开计算：$∠ BAD + 120° -2∠ BAD=90°$
解得：$∠ BAD=30°$
(2) 设$∠ EPD=α$，由对顶角相等得$∠ APB=α$
在$△ ABP$中，$∠ BAD + ∠ ABP=180°-α$，即$∠ ABP=180°-α -∠ BAD$ ④
又
∵ $∠ BAD + ∠ ABD=90°$，且$∠ ABD=2∠ ABP$ ⑤
将④代入⑤得：$∠ BAD + 2×(180°-α -∠ BAD)=90°$
整理得：$∠ BAD + 360° - 2α - 2∠ BAD=90°$
化简后得：$∠ BAD + 2α=270°$，即$∠ BAD + 2∠ EPD=270°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAD=30°}$；(2) $\boldsymbol{∠BAD+2∠EPD=270°}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查三角形内角度计算，解题的关键是找准角之间的等量关系，通过代换消去中间角得到所求角的关系，属于基础的角度综合运算题。
【难度系数】
0.65

13. [2026 滁州期末]如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在点$A'$处,连接$BA'$,$CA'$,且$BA'$平分$∠ABC$,$CA'$平分$∠ACB$.

(1)若$∠BA'C=120°$,则$∠A$的度数为;
(2)若$∠BA'C$的度数为$α$,$∠1+∠2$的度数为$β$,则$α$与$β$的数量关系是.

(1)$60°$ (2)$β=4α-360°$

【分析】
（1）先在$△ A'BC$中利用三角形内角和定理求出$∠ A'BC+∠ A'CB$的度数，再结合角平分线的性质得到$∠ ABC+∠ ACB$的度数，最后在$△ ABC$中用内角和定理即可求出$∠ A$的度数。
（2）先按照（1）的逻辑推导出$∠ A$和$α$的数量关系，再根据折叠的性质得出$∠1$、$∠2$与$∠ ADE$、$∠ AED$的关系，结合三角形内角和定理推出$∠1+∠2$和$∠ A$的关系，替换公共量$∠ A$即可得到$α$和$β$的数量关系。
【解析】
（1）在$△ A'BC$中，$∠ BA'C=120°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A'BC+∠ A'CB=180°-120°=60°$
$\because BA'$平分$∠ ABC$，$CA'$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ABC=2∠ A'BC$，$∠ ACB=2∠ A'CB$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=2(∠ A'BC+∠ A'CB)=2×60°=120°$
在$△ ABC$中，$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-120°=60°$
（2）先推导$∠ A$与$α$的关系：
在$△ A'BC$中，$∠ A'BC+∠ A'CB=180°-α$
结合角平分线性质可得：$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ A'BC+∠ A'CB)=2(180°-α)$
$\therefore ∠ A=180°-2(180°-α)=2α-180°$
根据折叠的性质可知：$∠ ADE=∠ A'DE$，$∠ AED=∠ A'ED$
$\therefore ∠1=180°-2∠ ADE$，$∠2=180°-2∠ AED$
$\therefore ∠1+∠2=360°-2(∠ ADE+∠ AED)$
在$△ ADE$中，$∠ ADE+∠ AED=180°-∠ A$，代入上式得：
$β=360°-2(180°-∠ A)=2∠ A$
将$∠ A=2α-180°$代入得：$β=2(2α-180°)=4α-360°$
【答案】
(1) $60°$ (2) $β=4α-360°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查三角形折叠变换、角平分线性质和内角和定理的应用，解题关键是抓住折叠前后相等的角，结合角平分线性质建立不同角之间的联系，属于常见的三角形综合题型。
【难度系数】
0.65

14. [2026 滁州期末] (1)如图①,在△ABC内部有一点P,分别连接PB,PC.若∠A=60°,∠1=27°,∠2=23°,求∠P的度数；
(2)如图②,若点P在△ABC的外部,求证:∠A−∠P=∠2−∠1；
(3)如图③,若点P,Q都是△ABC内部的点,D是BC上的一点,则∠A,∠P,∠Q,∠1,∠2,∠3之间有什么数量关系?并说明理由.

(1)解：$∠P=110°$. (2)证明：略.
(3)解：$∠A+∠1+∠2+∠3=∠P+∠Q$. 理由略.

【分析】
（1）本题可利用三角形内角和定理求解：先在△ABC中算出∠ABC与∠ACB的和，再减去∠1、∠2得到△PBC中两个底角的和，最后再次利用内角和定理求∠P即可。
（2）证明角的等量关系可借助对顶角相等：设AB与CP的交点为O，分别在△AOC和△BOP中用内角和定理表示出两个三角形其余两个角的和，利用对顶角相等消去公共角，移项即可得证。
（3）推导多角的数量关系可多次运用三角形内角和定理：分别在△ABC、△PBD、△QCD中表示出相关角的和，结合平角为180°的性质，通过等量代换整理即可得到角的关系。
【解析】
（1）解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$
已知$∠ A=60°$，则$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$
又$\because ∠ ABC=∠1+∠ PBC$，$∠ ACB=∠2+∠ PCB$，$∠1=27°$，$∠2=23°$
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=∠ ABC+∠ ACB-∠1-∠2=120°-27°-23°=70°$
在△PBC中，$∠ P+∠ PBC+∠ PCB=180°$
$\therefore ∠ P=180°-70°=110°$
（2）证明：设AB与CP交于点O，
在△AOC中：$∠ A+∠2+∠ AOC=180°$，即$∠ A+∠2=180°-∠ AOC$
在△BOP中：$∠ P+∠1+∠ BOP=180°$，即$∠ P+∠1=180°-∠ BOP$
$\because ∠ AOC$与$∠ BOP$是对顶角，$\therefore ∠ AOC=∠ BOP$
$\therefore ∠ A+∠2=∠ P+∠1$
移项得：$∠ A-∠ P=∠2-∠1$，原式得证。
（3）数量关系：$∠ A+∠1+∠2+∠3=∠ P+∠ Q$，理由如下：
在△ABC中：$∠ A+(∠1+∠ PBD)+(∠2+∠ QCD)=180°$
整理得：$∠ PBD+∠ QCD=180°-∠ A-∠1-∠2$ ①
在△PBD中：$∠ P+∠ PBD+∠ PDB=180°$ ②
在△QDC中：$∠ Q+∠ QCD+∠ QDC=180°$ ③
又$\because ∠ PDB+∠3+∠ QDC=180°$，$\therefore ∠ PDB+∠ QDC=180°-∠3$ ④
②+③得：$∠ PBD+∠ QCD+∠ PDB+∠ QDC=360°-∠ P-∠ Q$
将①、④代入上式左边：
$180°-∠ A-∠1-∠2+180°-∠3=360°-∠ A-∠1-∠2-∠3$
$\therefore 360°-∠ A-∠1-∠2-∠3=360°-∠ P-∠ Q$
消去$360°$移项得：$∠ A+∠1+∠2+∠3=∠ P+∠ Q$
【答案】
(1) $∠ P=110°$
(2) 证明见解析
(3) $∠ A+∠1+∠2+∠3=∠ P+∠ Q$，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；角的和差计算
【点评】
本题从三角形单一点的角度计算，逐步延伸到外部点、内部双点的角度关系推导，由浅入深考查了三角形内角和定理的灵活运用和角的等量代换能力，解题的关键是找准角所在的三角形，结合已知条件建立角之间的联系。
【难度系数】
0.6