概念建构
完全平方公式：
a的平方
b的平方
$(a\pm b)^2=a^2\pm$图1$+b^2$
积的2倍在中央
完全平方公式用语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
A基础巩固
知识点1 完全平方公式的特征及几何意义

2ab

【分析】
本题考查完全平方公式的基本结构，解题时先结合题干给出的完全平方公式语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于平方和加（减）积的2倍，对应公式$(a\pm b)^2=a^2\pm \underline{■}+b^2$的结构，找到“两个数的积的2倍”对应的代数表达式即可。首先确定两个数是a和b，它们的积是ab，积的2倍就是2ab，对应空缺位置即可得到答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式：
当计算两数和的平方时：
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a· a + a· b + b· a + b· b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
当计算两数差的平方时：
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a· a - a· b - b· a + b· b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
结合公式的结构特征，可得空缺处应填写2ab。
【答案】
2ab
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对完全平方公式展开形式的记忆与理解，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键，为后续运用完全平方公式进行计算、化简等题型打下基础。
【难度系数】
0.9

1.下列算式能用完全平方公式计算的是（）

A.$(2a+b)(2b-a)$
B.$(4x+1)(-4x-1)$
C.$(2x-y)(y+2x)$
D.$(-x+y)(-y-x)$

1.B

【分析】
首先明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，本质是两个完全相同的二项式相乘（或两个因式的各项均互为相反数，可变形为相同二项式相乘的形式）。解题时先逐一判断每个选项的两个因式是否符合上述特征，同时注意区分平方差公式“一项相同、一项相反”的特征，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$(2a+b)(2b-a)$的两个因式中，各项既不对应相同，也不对应相反，不符合完全平方公式的结构，排除；
选项B：对$(4x+1)(-4x-1)$变形，将后一个因式提取负号可得：$(4x+1)×[-(4x+1)]=-(4x+1)^2$，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式计算；
选项C：$(2x-y)(y+2x)=(2x-y)(2x+y)$，满足“一项相同、一项相反”，属于平方差公式的适用场景，排除；
选项D：$(-x+y)(-y-x)=(-x+y)(-x-y)$，同样满足“一项相同、一项相反”，属于平方差公式的适用场景，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；乘法公式辨识
【点评】
本题核心是考查两类整式乘法公式的结构区分，只要牢记完全平方公式是两个因式的项全同或全反、平方差公式是两个因式的项一同一异的特征，就能快速完成判断，不易出错。
【难度系数】
0.8

2. 数形结合思想 如图，这是利用割补法求图形面积的示意图，则与之相对应的公式是。

2.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

【分析】
解题时先利用“整体法”计算左侧图形的面积，再用“分割法”计算右侧各部分面积之和，根据割补前后图形总面积不变的原则，令左右面积相等即可推导出对应的公式。第一步：确定左侧图形是边长为(a+b)的正方形，可直接写出其面积表达式；第二步：拆分右侧图形，分别计算各部分的面积再求和；第三步：联立左右面积表达式，得到对应公式。
【解析】
1. 计算左侧图形面积：左侧是边长为$(a+b)$的正方形，根据正方形面积公式，得
$S_{\mathrm{左}}=(a+b)^2$
2. 计算右侧图形总面积：右侧由3类图形组成：
① 边长为$a$的大正方形，面积为$a^2$；
② 2个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$ab+ab=2ab$；
③ 边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$。
因此右侧总面积为：
$S_{\mathrm{右}}=a^2+2ab+b^2$
3. 由于割补前后图形面积不变，故$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$，即：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
【答案】
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
【知识点】
完全平方和公式；割补法求面积；数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的割补操作直观呈现了代数公式的几何意义，降低了公式的理解难度，解题核心是抓住割补前后总面积不变的特点。
【难度系数】
0.8

3.(新知回顾)(1)$(x+1)^2=( \ \ \ \ )^2 + 2×\underline{\ \ \ \ }×\underline{\ \ \ \ } + ( \ \ \ \ )^2=\underline{\ \ \ \ }.$
(2)$(a-b)^2=[a+( \ \ \ \ )]^2=a^2 + 2a·(\underline{\ \ \ \ }) + (\underline{\ \ \ \ })^2=\underline{\ \ \ \ }.$

3.(1)$(x+1)^2=(x)^2 + 2×x×1 + (1)^2=x^2+2x+1$；(2)$(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2 + 2a·(-b) + (-b)^2=a^2-2ab+b^2$

【分析】
本题考查完全平方公式的结构与应用，解题思路如下：①先回忆完全平方和公式的标准形式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，第(1)问中$m$对应$x$，$n$对应$1$，直接套用公式填空展开即可；②第(2)问是差的平方，可利用“减一个数等于加这个数的相反数”，把$(a-b)^2$转化为$[a+(-b)]^2$的形式，再套用完全平方和公式展开计算，就能得到完全平方差的展开结果。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=x$，$n=1$，代入可得：
$(x+1)^2=(x)^2 + 2×x×1 + (1)^2$，计算展开后为$x^2+2x+1$。
(2) 先将减法转化为加法：$(a-b)^2=[a+(-b)]^2$，再套用完全平方和公式，令$m=a$，$n=-b$，代入可得：
$[a+(-b)]^2=a^2 + 2a·(-b) + (-b)^2$，计算后为$a^2-2ab+b^2$。
【答案】
(1)$(x+1)^2=(x)^2 + 2×x×1 + (1)^2=x^2+2x+1$；(2)$(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2 + 2a·(-b) + (-b)^2=a^2-2ab+b^2$
【知识点】
1.完全平方和公式 2.完全平方差公式
【点评】
本题属于完全平方公式的基础认知题，旨在帮助学习者理解完全平方公式的结构特征，理清完全平方和与完全平方差公式之间的内在联系，为后续整式化简、运算等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9

4. 下列运算中，正确的是 （）

A.$(3x+y)^2=9x^2+y^2$
B.$(a-2b)^2=a^2-4b^2$
C.$(-x-y)^2=x^2+2xy+y^2$
D.$(x-\dfrac{1}{2})^2=x^2-2x+\dfrac{1}{4}$

4.C

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步先回忆完全平方公式的内容：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，展开后是三项，包含两数的平方和，以及两数乘积的2倍，要注意符号和系数的处理；第二步依次将每个选项中等式左侧的式子按公式展开，和右侧的式子逐一对比，判断正误即可选出正确答案。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，逐一分析选项：
选项A：$(3x+y)^2=(3x)^2+2×3x· y + y^2=9x^2+6xy+y^2$，和选项右侧$9x^2+y^2$不符，故A错误；
选项B：$(a-2b)^2=a^2-2· a·2b + (2b)^2=a^2-4ab+4b^2$，和选项右侧$a^2-4b^2$不符，故B错误；
选项C：$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，和选项右侧一致，故C正确；
选项D：$(x-\dfrac{1}{2})^2=x^2-2· x·\dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})^2=x^2-x+\dfrac{1}{4}$，和选项右侧$x^2-2x+\dfrac{1}{4}$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是要牢记完全平方公式的结构，展开时不要漏记两数乘积的2倍项，同时要注意系数、符号的正确处理，避免出现和平方差公式混淆的错误。
【难度系数】
0.8

5. [2026 合肥期中]若$(2x - ky)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$，则$k$的值为（）

A.$-3$
B.$\pm 3$
C.$-6$
D.$\pm 6$

5.A

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路很清晰：先将左边的完全平方式展开，得到含参数k的多项式，再根据两个相等多项式的同类项系数对应相等，列出关于k的方程求解即可。也可以先把右边的二次三项式逆用完全平方公式写成平方式，再对比左右两边的底数，注意符号的对应关系就能求出k。
【解析】
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先展开等式左边的式子：
$(2x - ky)^2=(2x)^2 - 2· 2x· ky + (ky)^2=4x^2 - 4kxy + k^2y^2$
已知$(2x - ky)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$，两个多项式相等时，同类项的系数对应相等：
1. 对应xy项的系数：$-4k = 12$，解得$k=-3$
2. 对应$y^2$项的系数：$k^2=9$，将$k=-3$代入验证，$(-3)^2=9$，符合条件
因此k的值为-3。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础公式应用类题型，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，尤其要注意中间项的符号，避免因忽略符号误选答案。
【难度系数】
0.7

6.已知$(x+y)^2=25,(x-y)^2=9$,则$xy$=.
【变式·恒等变换】已知$x+y=-5,xy=6$,则$x-y$=.

6.4；【变式·恒等变换】±1

【分析】
第一问：已知两个和、差的完全平方的结果，首先回忆完全平方公式的展开形式，两个式子展开后都包含$x^2+y^2$和$xy$项，将两个式子作差就能消去$x^2$和$y^2$，得到仅含$xy$的等式，即可求出$xy$的值。
变式题：要求$x-y$的值，可先求$(x-y)^2$的值，利用完全平方公式的变形关系：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的值计算出$(x-y)^2$，再对结果开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏写负号。
【解析】
第一问：
根据完全平方公式展开已知等式：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25$ ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=9$ ②
用①式减②式可得：
$(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=25-9$
化简左边得$4xy$，右边为16，即$4xy=16$，解得$xy=4$。
变式题：
根据完全平方公式变形可得：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=-5$，$xy=6$代入上式：
$(x-y)^2=(-5)^2-4×6=25-24=1$
对1开平方得$x-y=\pm\sqrt{1}=\pm1$。
【答案】
4；±1
【知识点】
完全平方公式、代数式恒等变形、平方根的性质
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握和与差的完全平方公式之间的转化关系是解题的核心，求解开平方类问题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8

7.计算：
(1)$(2m+3)^2$；
(2)$(-4x+5y)^2$；
(3)$(2+\frac{1}{2}x)^2$；
(4)$(0.1x^2-4y^2)^2$。

7.解：(1)$4m^2+12m+9$. (2)$16x^2-40xy+25y^2$.
(3)$4+2x+\frac{1}{4}x^2$. (4)$0.01x^4-0.8x^2y^2+16y^4$.

【分析】
本题所有小题均考查完全平方公式的基础应用，用到的完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题思路如下：第一步先确定每个式子中对应公式里的$a$、$b$分别是哪个项；第二步分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$三项，计算时注意系数要平方、字母的指数要按乘方法则计算；第三步根据原式是两数和还是两数差，确定中间$2ab$项的符号，最后整理得到结果即可。
【解析】
(1) 式子$(2m+3)^2$是两数和的平方，对应$a=2m$，$b=3$，代入完全平方公式：
$(2m+3)^2=(2m)^2 + 2×2m×3 + 3^2=4m^2+12m+9$
(2) 式子$(-4x+5y)^2$可转化为$(5y-4x)^2$，是两数差的平方，对应$a=5y$，$b=4x$，代入完全平方公式：
$(-4x+5y)^2=(5y-4x)^2=(5y)^2 - 2×5y×4x + (4x)^2=16x^2-40xy+25y^2$
(3) 式子$(2+\frac{1}{2}x)^2$是两数和的平方，对应$a=2$，$b=\frac{1}{2}x$，代入完全平方公式：
$(2+\frac{1}{2}x)^2=2^2 + 2×2×\frac{1}{2}x + (\frac{1}{2}x)^2=4+2x+\frac{1}{4}x^2$
(4) 式子$(0.1x^2-4y^2)^2$是两数差的平方，对应$a=0.1x^2$，$b=4y^2$，代入完全平方公式：
$(0.1x^2-4y^2)^2=(0.1x^2)^2 - 2×0.1x^2×4y^2 + (4y^2)^2=0.01x^4-0.8x^2y^2+16y^4$
【答案】
(1)$4m^2+12m+9$；(2)$16x^2-40xy+25y^2$；(3)$4+2x+\frac{1}{4}x^2$；(4)$0.01x^4-0.8x^2y^2+16y^4$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘方运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是准确匹配公式中的两个项，计算时要格外注意系数平方、指数运算以及中间2倍项的符号，避免出现$(a\pm b)^2=a^2\pm b^2$这类公式误用的错误，熟练掌握此类题型是后续学习复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.8

8.利用完全平方公式进行简便计算：
(1)$(60 \frac{1}{60})^2$；
(2)$2027^2 - 4054 × 2026 + 2026^2$。

8.解：(1)$3\ 602\frac{1}{3\ 600}$. (2)1.

【分析】
本题考查完全平方公式的简便应用，解题核心是将原式变形为完全平方公式的标准结构$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，减少复杂运算。
(1) 题中的带分数可拆为整数加真分数的形式，凑成完全平方和的结构，直接套用公式计算即可；
(2) 题先观察中间项$4054=2×2027$，可发现原式正好符合完全平方差公式的$a^2-2ab+b^2$结构，变形后计算即可。
【解析】
(1) 先将带分数拆为整数与分数的和，再套用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}(60\frac{1}{60})^2&=(60+\frac{1}{60})^2\\&=60^2+2×60×\frac{1}{60}+(\frac{1}{60})^2\\&=3600+2+\frac{1}{3600}\\&=3602\frac{1}{3600}\end{aligned}$
(2) 先整理中间项，凑完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}2027^2 - 4054 × 2026 + 2026^2&=2027^2 - 2×2027×2026 + 2026^2\\&=(2027-2026)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)$3602\frac{1}{3600}$；(2)$1$
【知识点】
完全平方公式、整式简便运算
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，解题关键是观察算式特征，灵活拆分或变形凑出完全平方公式的标准形式，可有效降低计算量，避免大数运算出错。
【难度系数】
0.8