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7. 新设问 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如$27=6^2 - 3^2$，$63=8^2 - 1^2$，故27，63都是“创新数”。下列各数中，不是“创新数”的是（
A.31
B.41
C.16
D.54
D
）A.31
B.41
C.16
D.54
答案
7.D
解析
【分析】
要判断一个数是不是“创新数”，首先结合定义把问题转化为平方差公式的应用：若正整数k是创新数，则存在正整数a＞b，使得$k=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。由于a、b是正整数，可得$a+b$和$a-b$都是正整数，且两者相加等于$2a$（偶数），因此这两个因数的奇偶性相同（要么都是奇数，要么都是偶数）。接下来只需把每个选项的数分解为两个同奇偶的正整数乘积，验证是否能求出正整数a、b即可。
【解析】
设正整数k为“创新数”，则存在正整数$a＞b$，满足：
$k=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
由a、b是正整数且$a＞b$，可知$a+b＞a-b≥1$，且$(a+b)+(a-b)=2a$是偶数，因此$a+b$和$a-b$的奇偶性相同。
对各选项逐一分析：
选项A：31可分解为$31×1$，两个因数均为奇数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=31\\a-b=1\end{cases}$，解得$a=16，b=15$，均为正整数，因此31是创新数。
选项B：41可分解为$41×1$，两个因数均为奇数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=41\\a-b=1\end{cases}$，解得$a=21，b=20$，均为正整数，因此41是创新数。
选项C：16可分解为$8×2$，两个因数均为偶数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=8\\a-b=2\end{cases}$，解得$a=5，b=3$，均为正整数，因此16是创新数。
选项D：54的正因数对有$54×1、27×2、18×3、9×6$，所有因数对均为一奇一偶，不存在同奇偶的正因数对，因此54无法表示为两个正整数的平方差，不是创新数。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，奇偶性分析，因数分解
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义转化为已学的平方差公式，结合因数分解和奇偶性规律快速判断，能有效考查对公式的灵活应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断一个数是不是“创新数”，首先结合定义把问题转化为平方差公式的应用：若正整数k是创新数，则存在正整数a＞b，使得$k=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。由于a、b是正整数，可得$a+b$和$a-b$都是正整数，且两者相加等于$2a$（偶数），因此这两个因数的奇偶性相同（要么都是奇数，要么都是偶数）。接下来只需把每个选项的数分解为两个同奇偶的正整数乘积，验证是否能求出正整数a、b即可。
【解析】
设正整数k为“创新数”，则存在正整数$a＞b$，满足：
$k=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
由a、b是正整数且$a＞b$，可知$a+b＞a-b≥1$，且$(a+b)+(a-b)=2a$是偶数，因此$a+b$和$a-b$的奇偶性相同。
对各选项逐一分析：
选项A：31可分解为$31×1$，两个因数均为奇数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=31\\a-b=1\end{cases}$，解得$a=16，b=15$，均为正整数，因此31是创新数。
选项B：41可分解为$41×1$，两个因数均为奇数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=41\\a-b=1\end{cases}$，解得$a=21，b=20$，均为正整数，因此41是创新数。
选项C：16可分解为$8×2$，两个因数均为偶数，符合要求。
列方程组$\begin{cases}a+b=8\\a-b=2\end{cases}$，解得$a=5，b=3$，均为正整数，因此16是创新数。
选项D：54的正因数对有$54×1、27×2、18×3、9×6$，所有因数对均为一奇一偶，不存在同奇偶的正因数对，因此54无法表示为两个正整数的平方差，不是创新数。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，奇偶性分析，因数分解
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义转化为已学的平方差公式，结合因数分解和奇偶性规律快速判断，能有效考查对公式的灵活应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8. [2026 六安期末]若$m^2 - n^2 = 3$，则$(m + n)^2(m - n)^2$的值是（
A.3
B.6
C.9
D.18
C
）A.3
B.6
C.9
D.18
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的结构：已知$m^2-n^2=3$，结合平方差公式可知$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$；待求式是两个平方的乘积，可先利用积的乘方的逆运算$a^2b^2=(ab)^2$，将待求式变形为$[(m+n)(m-n)]^2$，此时括号内的部分刚好是平方差公式的结果，直接代入已知条件计算即可得到答案。
【解析】
解：根据积的乘方的逆运算$a^2b^2=(ab)^2$，可得：
$(m + n)^2(m - n)^2=[(m+n)(m-n)]^2$
再根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，将已知$m^2-n^2=3$代入上式：
$\begin{aligned}[(m+n)(m-n)]^2&=(m^2-n^2)^2\\&=3^2\\&=9\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；积的乘方逆运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整式运算公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握积的乘方的变形技巧和平方差公式的结构特征，通过变形将待求式转化为含已知条件的形式，代入即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求式的结构：已知$m^2-n^2=3$，结合平方差公式可知$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$；待求式是两个平方的乘积，可先利用积的乘方的逆运算$a^2b^2=(ab)^2$，将待求式变形为$[(m+n)(m-n)]^2$，此时括号内的部分刚好是平方差公式的结果，直接代入已知条件计算即可得到答案。
【解析】
解：根据积的乘方的逆运算$a^2b^2=(ab)^2$，可得：
$(m + n)^2(m - n)^2=[(m+n)(m-n)]^2$
再根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，将已知$m^2-n^2=3$代入上式：
$\begin{aligned}[(m+n)(m-n)]^2&=(m^2-n^2)^2\\&=3^2\\&=9\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；积的乘方逆运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整式运算公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握积的乘方的变形技巧和平方差公式的结构特征，通过变形将待求式转化为含已知条件的形式，代入即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式·转化思想】如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15$，那么$a+b$的值为（
A.$\pm8$
B.$-4$
C.$2$
D.$\pm2$
D
）A.$\pm8$
B.$-4$
C.$2$
D.$\pm2$
答案
【变式·转化思想】D
解析
【分析】
首先观察等式左边的算式结构，两个因式中相同的部分是$2a+2b$，互为相反数的部分是$+1$和$-1$，完全符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式。解题时先把$2a+2b$看作一个整体，利用平方差公式化简等式，再求解得到$a+b$的值即可。
【解析】
设$m = 2a + 2b$，则原式可转化为：
$(m+1)(m-1)=15$
根据平方差公式展开得：
$m^2 - 1 = 15$
移项计算得：
$m^2 = 16$
开平方得$m = \pm 4$，即$2a + 2b = \pm 4$
等式两边同时除以2，可得$a + b = \pm 2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是准确识别平方差的结构特征，将相同项看作整体进行化简，体现了转化的数学思想，掌握公式的结构是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察等式左边的算式结构，两个因式中相同的部分是$2a+2b$，互为相反数的部分是$+1$和$-1$，完全符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式。解题时先把$2a+2b$看作一个整体，利用平方差公式化简等式，再求解得到$a+b$的值即可。
【解析】
设$m = 2a + 2b$，则原式可转化为：
$(m+1)(m-1)=15$
根据平方差公式展开得：
$m^2 - 1 = 15$
移项计算得：
$m^2 = 16$
开平方得$m = \pm 4$，即$2a + 2b = \pm 4$
等式两边同时除以2，可得$a + b = \pm 2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是准确识别平方差的结构特征，将相同项看作整体进行化简，体现了转化的数学思想，掌握公式的结构是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 新情境 第十五届全国运动会由广东、香港、澳门三地共同举办.这是粤港澳三地承办的中国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会.如图,全运会某个长方形比赛场地被分割为A,B,A,B,C共5个功能区,A区是边长为a m的正方形,C区是边长为b m的小正方形,则整个长方形比赛场地的面积为
$(4a^2-b^2)\mathrm{m}^2$
.(用含a,b的代数式表示)答案
9.$(4a^2-b^2)\mathrm{m}^2$
解析
【分析】
解题时首先从已知A、C为正方形的条件入手，先推导B区长方形的长和宽，再进一步确定整个大长方形比赛场地的长和宽，最后利用长方形面积公式结合平方差公式计算即可得到结果。
【解析】
已知A区是边长为$a\ \mathrm{m}$的正方形，C区是边长为$b\ \mathrm{m}$的正方形，可得B区为长方形，其长为$(a+b)\ \mathrm{m}$，宽为$(a-b)\ \mathrm{m}$。
观察图形可得整个大长方形的长为：$a + (a+b) = (2a + b)\ \mathrm{m}$
整个大长方形的宽为：$a + (a-b) = (2a - b)\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式，整个场地的面积为：
$\begin{aligned}(2a + b)(2a - b)&=(2a)^2 - b^2\\&=4a^2 - b^2\end{aligned}$
单位为$\mathrm{m}^2$。
【答案】
$(4a^2 - b^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
正方形的性质；列代数式；平方差公式
【点评】
本题结合实际赛事情境命题，需要结合几何图形的边长关系推导大长方形的长宽，再利用整式乘法公式化简计算，重点考查了几何直观和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知A、C为正方形的条件入手，先推导B区长方形的长和宽，再进一步确定整个大长方形比赛场地的长和宽，最后利用长方形面积公式结合平方差公式计算即可得到结果。
【解析】
已知A区是边长为$a\ \mathrm{m}$的正方形，C区是边长为$b\ \mathrm{m}$的正方形，可得B区为长方形，其长为$(a+b)\ \mathrm{m}$，宽为$(a-b)\ \mathrm{m}$。
观察图形可得整个大长方形的长为：$a + (a+b) = (2a + b)\ \mathrm{m}$
整个大长方形的宽为：$a + (a-b) = (2a - b)\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式，整个场地的面积为：
$\begin{aligned}(2a + b)(2a - b)&=(2a)^2 - b^2\\&=4a^2 - b^2\end{aligned}$
单位为$\mathrm{m}^2$。
【答案】
$(4a^2 - b^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
正方形的性质；列代数式；平方差公式
【点评】
本题结合实际赛事情境命题，需要结合几何图形的边长关系推导大长方形的长宽，再利用整式乘法公式化简计算，重点考查了几何直观和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
10.计算：$6×(7+1)×(7^2+1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1.$
答案
10.解: $7^{16}$.
解析
【分析】
观察算式结构可知，各因式中7的幂次依次为1、2、4、8，后一个幂次是前一个的2倍，符合连续使用平方差公式的特征；且算式首项的6可改写为7-1，恰好能与(7+1)配对构成平方差公式的形式，通过连续应用平方差公式逐步化简，最后结合末尾的+1即可求出结果，无需硬算。
【解析】
解：将6改写为7-1，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(7-1)×(7+1)×(7^2+1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^2-1)×(7^2+1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^4-1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^8-1)×(7^8+1)+1\\&=7^{16}-1+1\\&=7^{16}\end{aligned}$
【答案】
$7^{16}$
【知识点】
平方差公式、整式简便运算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题关键是观察数字特征，将常数6改写为7-1构造出平方差公式的适用结构，通过多次套用公式简化计算，避免了直接计算的繁杂易错问题。
【难度系数】
0.65
观察算式结构可知，各因式中7的幂次依次为1、2、4、8，后一个幂次是前一个的2倍，符合连续使用平方差公式的特征；且算式首项的6可改写为7-1，恰好能与(7+1)配对构成平方差公式的形式，通过连续应用平方差公式逐步化简，最后结合末尾的+1即可求出结果，无需硬算。
【解析】
解：将6改写为7-1，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(7-1)×(7+1)×(7^2+1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^2-1)×(7^2+1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^4-1)×(7^4+1)×(7^8+1)+1\\&=(7^8-1)×(7^8+1)+1\\&=7^{16}-1+1\\&=7^{16}\end{aligned}$
【答案】
$7^{16}$
【知识点】
平方差公式、整式简便运算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题关键是观察数字特征，将常数6改写为7-1构造出平方差公式的适用结构，通过多次套用公式简化计算，避免了直接计算的繁杂易错问题。
【难度系数】
0.65
11. 几何直观 某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种图形中能够验证“平方差公式”的有
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：$2026^2 - 2025×2027$；
（3）【拓展】计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{10^2})$
（1）【探究】以上四种图形中能够验证“平方差公式”的有
①②③
；(填序号)（2）【应用】利用“平方差公式”计算：$2026^2 - 2025×2027$；
（3）【拓展】计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{10^2})$
答案
11.解: (1)①②③ (2)1. (3)$\dfrac{11}{20}$.
解析
【分析】
（1）要验证平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，只需判断每个图形中阴影部分的面积是否可以分别表示为$a^2-b^2$和$(a+b)(a-b)$，若两个表达式相等则可验证公式。
（2）第二问可将$2025×2027$变形为$(2026-1)(2026+1)$，直接套用平方差公式展开后化简计算即可。
（3）第三问先利用平方差公式将每一个因式$1-\frac{1}{n^2}$分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再通过约分简化计算得到最终结果。
【解析】
(1) 逐一分析图形：
① 左图阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；右图拼接成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
② 左图阴影面积为$a^2-b^2$；右图拼接成的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
③ 左图阴影面积为$a^2-b^2$；右图拼接成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
④ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接成的长方形面积为$a×2b=2ab$，和$a^2-b^2$不一定相等，不能验证平方差公式。
故能验证的是①②③。
(2) 计算$2026^2 - 2025×2027$：
将$2025$写成$2026-1$，$2027$写成$2026+1$，得：
$\begin{aligned}原式&=2026^2 - (2026-1)(2026+1)\\&=2026^2 - (2026^2 -1^2)\\&=2026^2 -2026^2 +1\\&=1\end{aligned}$
(3) 计算连乘式：
利用平方差公式拆分每一项，得：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})\\&=(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{9}{10}×\frac{11}{10})\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×\dots×(\frac{10}{9}×\frac{9}{10})×\frac{11}{10}\\&=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}\\&=\frac{11}{20}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{①②③}$；（2）$\boldsymbol{1}$；（3）$\boldsymbol{\dfrac{11}{20}}$
【知识点】
平方差公式，平方差公式的几何验证，因式分解的应用
【点评】
本题围绕平方差公式设置了几何验证、简便计算、拓展运算三类问题，既考查了对平方差公式几何意义的理解，也考查了公式在代数运算中的灵活应用，有助于提升数形结合思维和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要验证平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，只需判断每个图形中阴影部分的面积是否可以分别表示为$a^2-b^2$和$(a+b)(a-b)$，若两个表达式相等则可验证公式。
（2）第二问可将$2025×2027$变形为$(2026-1)(2026+1)$，直接套用平方差公式展开后化简计算即可。
（3）第三问先利用平方差公式将每一个因式$1-\frac{1}{n^2}$分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再通过约分简化计算得到最终结果。
【解析】
(1) 逐一分析图形：
① 左图阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；右图拼接成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
② 左图阴影面积为$a^2-b^2$；右图拼接成的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
③ 左图阴影面积为$a^2-b^2$；右图拼接成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等，可验证平方差公式。
④ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接成的长方形面积为$a×2b=2ab$，和$a^2-b^2$不一定相等，不能验证平方差公式。
故能验证的是①②③。
(2) 计算$2026^2 - 2025×2027$：
将$2025$写成$2026-1$，$2027$写成$2026+1$，得：
$\begin{aligned}原式&=2026^2 - (2026-1)(2026+1)\\&=2026^2 - (2026^2 -1^2)\\&=2026^2 -2026^2 +1\\&=1\end{aligned}$
(3) 计算连乘式：
利用平方差公式拆分每一项，得：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})\\&=(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{9}{10}×\frac{11}{10})\\&=\frac{1}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{4}{3}×\frac{3}{4})×\dots×(\frac{10}{9}×\frac{9}{10})×\frac{11}{10}\\&=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}\\&=\frac{11}{20}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{①②③}$；（2）$\boldsymbol{1}$；（3）$\boldsymbol{\dfrac{11}{20}}$
【知识点】
平方差公式，平方差公式的几何验证，因式分解的应用
【点评】
本题围绕平方差公式设置了几何验证、简便计算、拓展运算三类问题，既考查了对平方差公式几何意义的理解，也考查了公式在代数运算中的灵活应用，有助于提升数形结合思维和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
