9. 中考趋势·代数推理 若$m$，$n$是整数，则$(m + n)^2 - (m - n)^2$的值一定是（）

A.正数
B.负数
C.非负数
D.4的倍数

9.D

【分析】
解题时首先考虑利用完全平方公式将原式中的两个平方项展开，再通过去括号、合并同类项对代数式进行化简，最后结合m、n为整数的条件，分析化简后结果的特征，即可判断正确选项。
【解析】
首先根据完全平方公式展开两个平方项：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，
将其代入原式计算：
$\begin{aligned}&(m + n)^2 - (m - n)^2\\=&(m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2)\\=&m^2 + 2mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2\\=&4mn\end{aligned}$
已知m、n是整数，因此mn也是整数，可得$4mn$一定是4的倍数。
同时可验证其余选项错误：当m=0或n=0时，结果为0，既不是正数也不是负数，排除A、B；当m、n异号时，mn为负数，$4mn$为负数，不是非负数，排除C。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式化简；倍数判定
【点评】
本题侧重考查基础公式的应用和代数推理能力，只要熟练掌握完全平方公式的展开规则，正确化简代数式即可快速得出结论，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

10. [2026 六安期末]已知$a=x+2025,b=x+2023,c=x+2024$.若$a^2+b^2=8$,则$c^2$的值为.

10.3

【分析】
观察已知的a、b、c的表达式，三者含x的项完全相同，常数项依次相差1，因此可以将a、b转化为用含c的代数式表示，再代入a²+b²=8的条件，利用完全平方公式展开化简，过程中一次项会相互抵消，不需要求出x的值就能直接算出c²，计算更简便。
【解析】
解：由题意可得：
$a = (x+2024) + 1 = c + 1$，
$b = (x+2024) - 1 = c - 1$，
将上述两个式子代入$a^2 + b^2 = 8$得：
$(c+1)^2 + (c-1)^2 = 8$，
根据完全平方公式展开得：
$c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 = 8$，
合并同类项后得：
$2c^2 + 2 = 8$，
移项计算得$2c^2 = 6$，
两边同时除以2得$c^2 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是找到三个代数式之间的数量关系，运用整体代换的思想将a、b用c表示，避免了单独求解x的繁琐步骤，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

11.计算:
(1)$(ab-1)(-ab+1)$;
(2)$(x+y)^2 -4(x+y)(x-y)+4(x-y)^2$.

11.解：(1)$-a^2b^2+2ab-1$. (2)$x^2+9y^2-6xy$.

【分析】
(1) 先观察两个因式的结构，发现$-ab+1$可变形为$-(ab-1)$，因此原式可转化为$-(ab-1)^2$，直接套用完全平方差公式展开即可，能避免直接用多项式乘多项式导致的符号错误。
(2) 观察式子结构，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，可将$(x+y)$看作公式中的$a$，$2(x-y)$看作公式中的$b$，先套用完全平方公式化简，再去括号合并同类项即可，用整体法计算更简便。
【解析】
(1) $\begin{split}&(ab-1)(-ab+1)\\=&(ab-1)×[-(ab-1)]\\=&-(ab-1)^2\\=&-[(ab)^2-2· ab·1+1^2]\\=&-(a^2b^2-2ab+1)\\=&-a^2b^2+2ab-1\end{split}$
(2) $\begin{split}&(x+y)^2 -4(x+y)(x-y)+4(x-y)^2\\=&(x+y)^2-2·(x+y)·[2(x-y)]+[2(x-y)]^2\\=&[(x+y)-2(x-y)]^2\\=&(x+y-2x+2y)^2\\=&(-x+3y)^2\\=&(-x)^2+2·(-x)·3y+(3y)^2\\=&x^2-6xy+9y^2\\=&x^2+9y^2-6xy\end{split}$
【答案】
(1)$-a^2b^2+2ab-1$；(2)$x^2+9y^2-6xy$
【知识点】
完全平方公式；整式混合运算；整体思想
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是准确识别式子的结构特征，合理变形凑出完全平方的形式，可有效简化运算，计算时需注意符号处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

12. 中考趋势·过程性学习 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式. 如图①是一个长为$4n$，宽为$m$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形.

【知识生成】
(1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积(直接用含$m$，$n$的代数式表示)：
方法一：______；
方法二：______；
【得出结论】
(2)根据(1)中的结论，可得代数式$(m+n)^2$，$(m-n)^2$，$mn$之间的等量关系为________；________；
【知识迁移】
(3)若$a$满足$(a-2027)^2 + (2025 - a)^2 = 2026$，求$(2027 - a)(a - 2025)$的值.

12.解：(1)$(m+n)^2-4mn$；$(m-n)^2$ (2)$(m+n)^2-4mn=(m-n)^2$
(3)$(2\ 027-a)(a-2\ 025)=-1\ 011$.

【分析】
(1) 求阴影部分面积有两种思路：一是用拼接后大正方形的面积减去4个小长方形的总面积，先确定大正方形边长为小长方形的长与宽之和$m+n$，小长方形单个面积为$mn$，即可列式；二是直接观察阴影部分是正方形，边长为小长方形的长与宽之差$m-n$，直接用正方形面积公式计算。
(2) 两个代数式均表示同一阴影部分的面积，因此二者相等，整理即可得到三个代数式的等量关系。
(3) 用换元法简化计算，设$x=a-2027$，$y=2025-a$，先求出$x+y$的值，再结合完全平方公式的变形，代入已知条件即可求出对应代数式的值。
【解析】
(1) 方法一：图②中大正方形边长为$m+n$，面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为：$\boldsymbol{(m+n)^2-4mn}$；
方法二：阴影正方形的边长为$m-n$，因此面积为：$\boldsymbol{(m-n)^2}$。
(2) 由于两个代数式都表示阴影部分的面积，因此可得等量关系：$\boldsymbol{(m+n)^2-4mn=(m-n)^2}$。
(3) 设$x=a-2027$，$y=2025-a$，则$x+y=(a-2027)+(2025-a)=-2$，且已知$x^2+y^2=2026$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入数值可得：
$(-2)^2=2026+2xy$
$4=2026+2xy$
解得$2xy=4-2026=-2022$，即$xy=-1011$。
而所求$(2027-a)(a-2025)=(-x)·(-y)=xy=-1011$。
【答案】
(1) $(m+n)^2-4mn$；$(m-n)^2$
(2) $(m+n)^2-4mn=(m-n)^2$
(3) $-1011$
【知识点】
完全平方公式，列代数式，换元法求值
【点评】
本题结合几何图形面积推导代数恒等式，再迁移应用到代数式计算中，既考查了数形结合的思想，也考查了完全平方公式的变形应用，需要熟练掌握公式的变形技巧，学会用换元法简化复杂计算。
【难度系数】
0.7

13. 运算能力 已知 $ a - b = b - c = m $，$ a^2 + b^2 + c^2 = 2m^2 $。
(1)填空：$ a - c = $ ；
$ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = $ ；
(均用含 $ m $ 的式子表示)
(2)求 $ ab + bc + ac $ 的值；(用含 $ m $ 的式子表示)
(3)试说明：$ a + b + c = 0 $。

13.解：(1)$2m$；$6m^2$ (2)$ab+bc+ac=-m^2$. (3)略.

【分析】
(1) 求$a-c$时，可将已知的$a-b=m$和$b-c=m$两个等式左右两边分别相加，消去$b$即可得到结果；再将$a-b$、$b-c$、$a-c$的结果代入第二个式子计算即可。
(2) 求$ab+bc+ac$时，先将$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$用完全平方公式展开，整理后会出现$a^2+b^2+c^2$和$ab+bc+ac$的组合形式，再代入已知的$a^2+b^2+c^2=2m^2$和第一问的结果，即可解方程求出$ab+bc+ac$。
(3) 要证明$a+b+c=0$，可利用完全平方公式将$(a+b+c)^2$展开，代入$a^2+b^2+c^2$和第二问求出的$ab+bc+ac$的结果，若计算得$(a+b+c)^2=0$，根据平方的非负性即可得到$a+b+c=0$。
【解析】
(1) 已知$a-b=m$，$b-c=m$，将两式相加得：
$a-b + b-c = m+m$，化简得$a-c=2m$。
将$a-b=m$，$b-c=m$，$a-c=2m$代入式子：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = m^2 + m^2 + (2m)^2 = m^2+m^2+4m^2=6m^2$。
(2) 先展开三个完全平方：
$\begin{aligned}(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2&=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)\\&=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\\&=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)\end{aligned}$
把$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=6m^2$，$a^2+b^2+c^2=2m^2$代入上式：
$6m^2=2×2m^2 - 2(ab+bc+ac)$
整理得：$6m^2=4m^2-2(ab+bc+ac)$
移项计算：$2(ab+bc+ac)=4m^2-6m^2=-2m^2$
两边同除以2得：$ab+bc+ac=-m^2$。
(3) 计算$(a+b+c)^2$，由完全平方公式展开得：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$
代入$a^2+b^2+c^2=2m^2$，$ab+bc+ac=-m^2$：
$(a+b+c)^2=2m^2 + 2×(-m^2)=2m^2-2m^2=0$
因为一个数的平方是非负的，平方等于0时这个数只能为0，所以$a+b+c=0$。
【答案】
(1)$2m$；$6m^2$
(2)$ab+bc+ac=-m^2$
(3)$a+b+c=0$，证明成立。
【知识点】
完全平方公式，代数式变形，平方的非负性
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，要求学生熟练掌握完全平方公式的展开和逆用，通过已知条件的合理拼接、公式变形推导结论，是巩固整式运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7