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1. [2026 六安期末]下列各式从左边到右边的变形是因式分解且分解正确的是 （
A.$(a+1)(a-1)=a^2-1$
B.$a^2-6a+9=(a-3)^2$
C.$a^2-2a+3=(a-2)^2$
D.$ab+ac+1=a(b+c)+1$
B
）A.$(a+1)(a-1)=a^2-1$
B.$a^2-6a+9=(a-3)^2$
C.$a^2-2a+3=(a-2)^2$
D.$ab+ac+1=a(b+c)+1$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时按照这三个标准逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，且变形需满足左右两边恒等。
对各选项逐一分析：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
选项B：左边$a^2-6a+9$是多项式，右边$(a-3)^2$是两个相同整式$(a-3)$的乘积，且$(a-3)^2=a^2-6a+9$，变形恒等，完全符合因式分解的要求，正确；
选项C：将右边$(a-2)^2$展开得$a^2-4a+4$，与左边$a^2-2a+3$不相等，变形错误，排除；
选项D：右边$a(b+c)+1$是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，解题时要注意两点：一是要区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，二是要验证变形后的结果是否和原式恒等，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心判断标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时按照这三个标准逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，且变形需满足左右两边恒等。
对各选项逐一分析：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
选项B：左边$a^2-6a+9$是多项式，右边$(a-3)^2$是两个相同整式$(a-3)$的乘积，且$(a-3)^2=a^2-6a+9$，变形恒等，完全符合因式分解的要求，正确；
选项C：将右边$(a-2)^2$展开得$a^2-4a+4$，与左边$a^2-2a+3$不相等，变形错误，排除；
选项D：右边$a(b+c)+1$是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，解题时要注意两点：一是要区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，二是要验证变形后的结果是否和原式恒等，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
2.若一个多项式因式分解的结果是$b(b^2 + 2)$，则这个多项式为（
A.$b^2 -4$
B.$4 - b^3$
C.$b^3 +2$
D.$b^3 +2b$
D
）A.$b^2 -4$
B.$4 - b^3$
C.$b^3 +2$
D.$b^3 +2b$
答案
2.D
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，题目已经给出了因式分解的乘积结果，要得到原多项式，只需将分解后的整式乘积展开计算即可。展开时运用单项式乘多项式的运算法则，把单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
因为因式分解和整式乘法互为逆运算，所以原多项式为因式分解结果的乘积展开式：
$\begin{aligned}b(b^2 + 2)&=b· b^2 + b·2\\&=b^3 + 2b\end{aligned}$
对比选项可知，计算结果对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解因式分解的本质，熟练掌握整式乘法的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，题目已经给出了因式分解的乘积结果，要得到原多项式，只需将分解后的整式乘积展开计算即可。展开时运用单项式乘多项式的运算法则，把单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
因为因式分解和整式乘法互为逆运算，所以原多项式为因式分解结果的乘积展开式：
$\begin{aligned}b(b^2 + 2)&=b· b^2 + b·2\\&=b^3 + 2b\end{aligned}$
对比选项可知，计算结果对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解因式分解的本质，熟练掌握整式乘法的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.将$3a(x-y)-9b(x-y)$用提公因式法分解因式,应提的公因式是 （
A.$3a-b$
B.$x-y$
C.$3(x-y)$
D.$3a+b$
C
）A.$3a-b$
B.$x-y$
C.$3(x-y)$
D.$3a+b$
答案
3.C
解析
【分析】
要确定提公因式法分解因式时的公因式，需按照公因式的确定规则逐步分析：首先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（含整体形式的因式），相同因式取最低次幂，最后将两部分相乘即为公因式。本题多项式有两项：$3a(x-y)$和$-9b(x-y)$，先算系数3和9的最大公约数是3，再找两项共有的因式是$(x-y)$，因此公因式为两者的乘积$3(x-y)$。
【解析】
确定公因式步骤如下：
1. 取系数的最大公约数：两项系数分别为3、-9，最大公约数是3；
2. 取各项共有的相同因式：两项均含有整体因式$(x-y)$，且次数都为1次；
综上，应提取的公因式为$3(x-y)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，解题时注意不要遗漏系数部分的最大公约数，也要识别出整体形式的公因式，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定提公因式法分解因式时的公因式，需按照公因式的确定规则逐步分析：首先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（含整体形式的因式），相同因式取最低次幂，最后将两部分相乘即为公因式。本题多项式有两项：$3a(x-y)$和$-9b(x-y)$，先算系数3和9的最大公约数是3，再找两项共有的因式是$(x-y)$，因此公因式为两者的乘积$3(x-y)$。
【解析】
确定公因式步骤如下：
1. 取系数的最大公约数：两项系数分别为3、-9，最大公约数是3；
2. 取各项共有的相同因式：两项均含有整体因式$(x-y)$，且次数都为1次；
综上，应提取的公因式为$3(x-y)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，解题时注意不要遗漏系数部分的最大公约数，也要识别出整体形式的公因式，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（
A.$-a^2 + b^2$
B.$-x^2 - y^2$
C.$49x^2 - y^2$
D.$16m^2 -25n^2$
B
）A.$-a^2 + b^2$
B.$-x^2 - y^2$
C.$49x^2 - y^2$
D.$16m^2 -25n^2$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需要将每个选项对照这三个条件逐一判断即可得到答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足两项为平方形式且符号相反。
选项A：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是$b$与$a$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，不符合题意；
选项B：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，两项符号相同，是两个整式的平方和，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
选项C：$49x^2 - y^2=(7x)^2 - y^2$，是$7x$与$y$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(7x+y)(7x-y)$，不符合题意；
选项D：$16m^2 -25n^2=(4m)^2 - (5n)^2$，是$4m$与$5n$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(4m+5n)(4m-5n)$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 因式分解的判定
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的核心是准确掌握平方差公式的结构特征，注意区分平方差与平方和的形式，避免混淆符号。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需要将每个选项对照这三个条件逐一判断即可得到答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足两项为平方形式且符号相反。
选项A：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是$b$与$a$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，不符合题意；
选项B：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，两项符号相同，是两个整式的平方和，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
选项C：$49x^2 - y^2=(7x)^2 - y^2$，是$7x$与$y$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(7x+y)(7x-y)$，不符合题意；
选项D：$16m^2 -25n^2=(4m)^2 - (5n)^2$，是$4m$与$5n$的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(4m+5n)(4m-5n)$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 因式分解的判定
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的核心是准确掌握平方差公式的结构特征，注意区分平方差与平方和的形式，避免混淆符号。
【难度系数】
0.8
5.对于实数$a,b$,现用“☆”定义新运算:$a☆b = a^3 - ab$,那么将多项式$a☆4$因式分解,其结果为（
A.$a(a+2)(a-2)$
B.$a(a+4)(a-4)$
C.$(a+4)(a-4)$
D.$a(a^2 +4)$
A
）A.$a(a+2)(a-2)$
B.$a(a+4)(a-4)$
C.$(a+4)(a-4)$
D.$a(a^2 +4)$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义“☆”的运算规则，先将a☆4按照新运算转化为常规的代数式，再按照因式分解的步骤逐步计算：第一步先提取公因式，第二步观察剩余部分是否符合平方差公式的形式，继续分解直到不能再分解，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
根据新运算的定义$a☆b = a^3 - ab$，可得：
$a☆4 = a^3 - a×4 = a^3 - 4a$
对$a^3 -4a$进行因式分解：
第一步，提取公因式$a$，得：$a^3 -4a = a(a^2 -4)$
第二步，$a^2 -4$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=2$，因此：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
综上，$a☆4$因式分解的结果为$a(a+2)(a-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题将新定义运算与因式分解结合考查，解题的关键是先正确转化新运算为常规代数式，再遵循因式分解“一提、二套、三查”的步骤运算，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新定义“☆”的运算规则，先将a☆4按照新运算转化为常规的代数式，再按照因式分解的步骤逐步计算：第一步先提取公因式，第二步观察剩余部分是否符合平方差公式的形式，继续分解直到不能再分解，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
根据新运算的定义$a☆b = a^3 - ab$，可得：
$a☆4 = a^3 - a×4 = a^3 - 4a$
对$a^3 -4a$进行因式分解：
第一步，提取公因式$a$，得：$a^3 -4a = a(a^2 -4)$
第二步，$a^2 -4$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=2$，因此：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
综上，$a☆4$因式分解的结果为$a(a+2)(a-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题将新定义运算与因式分解结合考查，解题的关键是先正确转化新运算为常规代数式，再遵循因式分解“一提、二套、三查”的步骤运算，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
6. [2026 杭州模拟]某密码研究小组接收到一条密文:$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$.已知密码手册中,有这样一条信息:$m - n, m + n, x - y, x + y, 8, x$分别对应下列六个字:我、爱、中、华、大、地.把密文$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$用因式分解解码后,明文可能是 (
A.中华大地
B.爱我中华
C.爱大中华
D.我爱中大
D
)A.中华大地
B.爱我中华
C.爱大中华
D.我爱中大
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，需先对密文对应的代数式进行因式分解，再将分解得到的因式对应题干给出的汉字，组合后匹配选项即可。解题思路分为三步：第一步先找多项式各项的公因式并提取；第二步对剩余能分解的部分用平方差公式继续分解，得到最简因式乘积形式；第三步将最简因式对应汉字，组合后匹配正确选项。
【解析】
对密文$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项都含公因式$8(m^2 - n^2)$，提取后可得：
$\begin{aligned}8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)&=8(m^2 - n^2)(x-y)\end{aligned}$
2. 公式法继续分解：$m^2-n^2$符合平方差公式特征，分解为$(m-n)(m+n)$，代入上式得：
原式$=8(m-n)(m+n)(x-y)$
3. 对应汉字匹配：根据题意，$m-n$对应“我”，$m+n$对应“爱”，$x-y$对应“中”，$8$对应“大”，四个汉字可组合为“我爱中大”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味解密结合，考查学生对因式分解基本步骤的掌握，难度不大，只要熟练掌握先提公因式、再用公式分解的基本逻辑，结合对应关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先对密文对应的代数式进行因式分解，再将分解得到的因式对应题干给出的汉字，组合后匹配选项即可。解题思路分为三步：第一步先找多项式各项的公因式并提取；第二步对剩余能分解的部分用平方差公式继续分解，得到最简因式乘积形式；第三步将最简因式对应汉字，组合后匹配正确选项。
【解析】
对密文$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项都含公因式$8(m^2 - n^2)$，提取后可得：
$\begin{aligned}8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)&=8(m^2 - n^2)(x-y)\end{aligned}$
2. 公式法继续分解：$m^2-n^2$符合平方差公式特征，分解为$(m-n)(m+n)$，代入上式得：
原式$=8(m-n)(m+n)(x-y)$
3. 对应汉字匹配：根据题意，$m-n$对应“我”，$m+n$对应“爱”，$x-y$对应“中”，$8$对应“大”，四个汉字可组合为“我爱中大”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味解密结合，考查学生对因式分解基本步骤的掌握，难度不大，只要熟练掌握先提公因式、再用公式分解的基本逻辑，结合对应关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7.分解因式：$x^2 -4=$
$(x+2)(x-2)$
.答案
7.$(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，先观察式子结构：原式共两项，两项都能写成平方的形式，且符号相反，符合平方差公式的结构特征$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。接下来对应公式找参数：$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；4可以改写为$2^2$对应$b^2$，即$b=2$，直接代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$x^2 - 4$
$=x^2 - 2^2$
$=(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
拿到这道因式分解题，先观察式子结构：原式共两项，两项都能写成平方的形式，且符号相反，符合平方差公式的结构特征$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。接下来对应公式找参数：$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；4可以改写为$2^2$对应$b^2$，即$b=2$，直接代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$x^2 - 4$
$=x^2 - 2^2$
$=(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
8.已知$ab=2$，$a-b=3$，则$2a^3b - 4a^2b^2 + 2ab^3 =$
36
答案
8.36
解析
【分析】
观察所求代数式的结构，各项均含有公因式$2ab$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可进一步分解为$(a-b)^2$，此时原式转化为只含$ab$和$a-b$的式子，最后将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算。
【解析】
对原式先因式分解，再代入求值：
$\begin{aligned}2a^3b - 4a^2b^2 + 2ab^3&=2ab(a^2 - 2ab + b^2)\\&=2ab(a - b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a-b=3$代入得：
$\begin{aligned}原式&=2×2×3^2\\&=4×9\\&=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，优先对所求代数式进行因式分解，再整体代入已知条件计算，可规避单独求解$a$、$b$的繁琐步骤，是此类代数式求值题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式的结构，各项均含有公因式$2ab$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可进一步分解为$(a-b)^2$，此时原式转化为只含$ab$和$a-b$的式子，最后将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算。
【解析】
对原式先因式分解，再代入求值：
$\begin{aligned}2a^3b - 4a^2b^2 + 2ab^3&=2ab(a^2 - 2ab + b^2)\\&=2ab(a - b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a-b=3$代入得：
$\begin{aligned}原式&=2×2×3^2\\&=4×9\\&=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，优先对所求代数式进行因式分解，再整体代入已知条件计算，可规避单独求解$a$、$b$的繁琐步骤，是此类代数式求值题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
9. [2026 六安期末]无论$x$，$y$为何实数，代数式$x^2+2y^2+2x-4y+10$的最小值为
7
。答案
9.7
解析
【分析】
要求该代数式的最小值，可采用配方法求解：先将代数式中含$x$的项、含$y$的项分别分组，再把每组配成完全平方的形式，结合完全平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出代数式的最小值。
【解析】
解：对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2+2y^2+2x-4y+10&=(x^2+2x)+(2y^2-4y)+10\\&=(x^2+2x+1)+2(y^2-2y+1)+10-1-2\\&=(x+1)^2+2(y-1)^2+7\end{aligned}$
∵ 无论$x,y$取何实数，都有$(x+1)^2≥0$，$2(y-1)^2≥0$，
∴ $(x+1)^2+2(y-1)^2+7≥0+0+7=7$，
当$x=-1$、$y=1$时，代数式取到最小值7。
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，能准确将含二次项、一次项的式子配成完全平方形式，再结合非负性求最值。
【难度系数】
0.7
要求该代数式的最小值，可采用配方法求解：先将代数式中含$x$的项、含$y$的项分别分组，再把每组配成完全平方的形式，结合完全平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出代数式的最小值。
【解析】
解：对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2+2y^2+2x-4y+10&=(x^2+2x)+(2y^2-4y)+10\\&=(x^2+2x+1)+2(y^2-2y+1)+10-1-2\\&=(x+1)^2+2(y-1)^2+7\end{aligned}$
∵ 无论$x,y$取何实数，都有$(x+1)^2≥0$，$2(y-1)^2≥0$，
∴ $(x+1)^2+2(y-1)^2+7≥0+0+7=7$，
当$x=-1$、$y=1$时，代数式取到最小值7。
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，能准确将含二次项、一次项的式子配成完全平方形式，再结合非负性求最值。
【难度系数】
0.7
10.已知$2^{32}-1$可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是
15,17
。答案
10.15,17
解析
【分析】
遇到高次幂减1的整除问题，优先考虑利用因式分解简化运算。本题中$2^{32}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，我们可以反复运用平方差公式对$2^{32}-1$进行因式分解，直到分解出的因式出现10~20之间的整数，即可得到所求的两个数。
【解析】
利用平方差公式对$2^{32}-1$逐步分解：
$\begin{aligned}2^{32}-1&=(2^{16})^2-1^2\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\end{aligned}$
计算得$2^4=16$，因此$2^4-1=15$，$2^4+1=17$，15和17均在10和20之间，即为所求的两个整数。
【答案】
15,17
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的应用
3. 整数的整除
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，遇到高次幂的差的形式时，可通过多次运用平方差公式分解降次，快速得到符合要求的因式。
【难度系数】
0.7
遇到高次幂减1的整除问题，优先考虑利用因式分解简化运算。本题中$2^{32}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，我们可以反复运用平方差公式对$2^{32}-1$进行因式分解，直到分解出的因式出现10~20之间的整数，即可得到所求的两个数。
【解析】
利用平方差公式对$2^{32}-1$逐步分解：
$\begin{aligned}2^{32}-1&=(2^{16})^2-1^2\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\end{aligned}$
计算得$2^4=16$，因此$2^4-1=15$，$2^4+1=17$，15和17均在10和20之间，即为所求的两个整数。
【答案】
15,17
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的应用
3. 整数的整除
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，遇到高次幂的差的形式时，可通过多次运用平方差公式分解降次，快速得到符合要求的因式。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.把下列各式分解因式：
(1)$ax^2 - 16ay^2$；
(2)$-2a^3 + 12a^2 - 18a$；
(3)$(a^2 + 6a)^2 + 14(a^2 + 6a) + 45$。
11.把下列各式分解因式：
(1)$ax^2 - 16ay^2$；
(2)$-2a^3 + 12a^2 - 18a$；
(3)$(a^2 + 6a)^2 + 14(a^2 + 6a) + 45$。
答案
11.解：(1)$a(x+4y)(x-4y)$.
(2)$-2a(a-3)^2$.
(3)$(a+1)(a+5)(a+3)^2$.
(2)$-2a(a-3)^2$.
(3)$(a+1)(a+5)(a+3)^2$.
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步根据提取公因式后剩余多项式的项数和结构特点，选择对应的公式法或十字相乘法继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察式子先提取公因式$a$，剩余$x^2-16y^2$是两项的平方差结构，套用平方差公式继续分解即可。
(2) 先提取公因式$-2a$（注意首项为负时优先提取负号，括号内各项要变号），剩余$a^2-6a+9$是三项的完全平方结构，套用完全平方公式分解即可。
(3) 可将$a^2+6a$看作一个整体，先对整体构成的二次三项式用十字相乘法分解，再将整体代回后，对得到的两个二次三项式分别继续分解，直到所有因式都不能再分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$a$：
$ax^2 - 16ay^2 = a(x^2 - 16y^2)$
第二步套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=x$，$n=4y$：
$=a(x+4y)(x-4y)$
(2) 第一步提取公因式$-2a$：
$-2a^3 + 12a^2 - 18a = -2a(a^2 - 6a + 9)$
第二步套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，其中$m=a$，$n=3$：
$=-2a(a-3)^2$
(3) 令$m=a^2+6a$，原式转化为：
$m^2 + 14m + 45$
用十字相乘法分解，将45拆为$5×9$，且$5+9=14$，得：
$=(m+5)(m+9)$
将$m=a^2+6a$代回，得：
$=(a^2+6a+5)(a^2+6a+9)$
分别对两个二次三项式分解：$a^2+6a+5$用十字相乘法分解为$(a+1)(a+5)$，$a^2+6a+9$用完全平方公式分解为$(a+3)^2$，因此最终结果为：
$=(a+1)(a+5)(a+3)^2$
【答案】
(1)$a(x+4y)(x-4y)$；(2)$-2a(a-3)^2$；(3)$(a+1)(a+5)(a+3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时严格按照“一提二套三查”的顺序操作即可，注意整体思想在第三问中的运用，最后务必检查每个因式是否分解到不能再分解为止，是因式分解部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步根据提取公因式后剩余多项式的项数和结构特点，选择对应的公式法或十字相乘法继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察式子先提取公因式$a$，剩余$x^2-16y^2$是两项的平方差结构，套用平方差公式继续分解即可。
(2) 先提取公因式$-2a$（注意首项为负时优先提取负号，括号内各项要变号），剩余$a^2-6a+9$是三项的完全平方结构，套用完全平方公式分解即可。
(3) 可将$a^2+6a$看作一个整体，先对整体构成的二次三项式用十字相乘法分解，再将整体代回后，对得到的两个二次三项式分别继续分解，直到所有因式都不能再分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$a$：
$ax^2 - 16ay^2 = a(x^2 - 16y^2)$
第二步套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=x$，$n=4y$：
$=a(x+4y)(x-4y)$
(2) 第一步提取公因式$-2a$：
$-2a^3 + 12a^2 - 18a = -2a(a^2 - 6a + 9)$
第二步套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，其中$m=a$，$n=3$：
$=-2a(a-3)^2$
(3) 令$m=a^2+6a$，原式转化为：
$m^2 + 14m + 45$
用十字相乘法分解，将45拆为$5×9$，且$5+9=14$，得：
$=(m+5)(m+9)$
将$m=a^2+6a$代回，得：
$=(a^2+6a+5)(a^2+6a+9)$
分别对两个二次三项式分解：$a^2+6a+5$用十字相乘法分解为$(a+1)(a+5)$，$a^2+6a+9$用完全平方公式分解为$(a+3)^2$，因此最终结果为：
$=(a+1)(a+5)(a+3)^2$
【答案】
(1)$a(x+4y)(x-4y)$；(2)$-2a(a-3)^2$；(3)$(a+1)(a+5)(a+3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时严格按照“一提二套三查”的顺序操作即可，注意整体思想在第三问中的运用，最后务必检查每个因式是否分解到不能再分解为止，是因式分解部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
