12.如图,一种混凝土排水管,其形状为空心的圆柱体,它的内径 $ d = 0.68 \, \mathrm{m} $,外径 $ D = 0.88 \, \mathrm{m} $,一节长 $ h = 1 \, \mathrm{m} $.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土?(用简便方法计算,结果保留 $ π $).

12.解：浇制一节这样的排水管需要 $0.078π \, \mathrm{m}^3$ 的混凝土.

【分析】
要计算浇制排水管需要的混凝土体积，本质是求空心圆柱的体积，即外圆柱体积减去内圆柱体积。圆柱体积公式为$V=$底面积×高，我们可以先列出体积的表达式，再利用因式分解中的平方差公式进行简便计算，避免直接计算大数的平方，提升计算效率和准确率。
【解析】
解：排水管的混凝土体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，可得：
$\begin{aligned}V&=π·(\frac{D}{2})^2· h - π·(\frac{d}{2})^2· h\\&=\frac{π h}{4}(D^2 - d^2)\\&=\frac{π h}{4}(D-d)(D+d)\end{aligned}$
代入$D=0.88\mathrm{m}$，$d=0.68\mathrm{m}$，$h=1\mathrm{m}$：
$\begin{aligned}V&=\frac{π×1}{4}×(0.88-0.68)×(0.88+0.68)\\&=\frac{π}{4}×0.2×1.56\\&=\frac{π}{4}×0.312\\&=0.078π \ (\mathrm{m}^3)\end{aligned}$
【答案】
浇制一节这样的排水管需要 $0.078π \, \mathrm{m}^3$ 的混凝土。
【知识点】
平方差公式、圆柱体积计算、因式分解的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了圆柱体积的计算方法，又考查了利用平方差公式进行简便运算的能力，能引导学生体会数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7

13. 中考趋势·代数推理 求证:对任意整数$n$,整式$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值都能被10整除.

13.证明：略.

【分析】
要证明整式的值能被10整除，核心是将整式化简为10与某个整数乘积的形式。首先观察式子的两个乘积项，均符合平方差公式的结构，因此第一步先用平方差公式展开两个乘积项，再去括号、合并同类项，最后提取公因式10，结合n是整数的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}&(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)\\=&[(3n)^2-1^2]-(3^2-n^2)\\=&9n^2-1-(9-n^2)\\=&9n^2-1-9+n^2\\=&10n^2-10\\=&10(n^2-1)\end{aligned}$
∵n是整数，
∴$n^2-1$也是整数，
∴$10(n^2-1)$是10的倍数，即原整式的值能被10整除。
【答案】
对任意整数n，整式$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值都能被10整除，得证。
【知识点】
平方差公式，整式化简，提公因式法因式分解
【点评】
本题是代数推理的基础题型，解题关键是利用乘法公式对整式进行化简，转化为含因数10的形式即可完成证明，能很好地考查整式运算的熟练度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

14. [2026 宿州期末]若一个四位正整数$\overline{abcd}$满足:$a+c=b+d$,我们就称该数是“交替数”.
(1)最小的“交替数”是________;
(2)若一个“交替数”$m$满足千位数字与百位数字的平方差是 15,且十位数字与个位数字的和能被 5 整除,则满足条件的“交替数”$m$的最大值为________.

14.(1)1 001
(2)8 778

【分析】
(1) 求最小的四位“交替数”时，四位正整数千位最小为1，要使数最小，高位数字应尽可能小，先确定千位$a=1$，百位$b$最小取0，再根据“交替数”的定义$a+c=b+d$，让十位$c$取最小非负整数推导个位$d$的值，即可得到最小交替数。
(2) 先利用平方差公式对千位与百位的平方差15因式分解，结合数位数字的取值范围求出所有可能的$(a,b)$组合；要找最大的$m$，优先选择千位更大的$(a,b)$组合，再根据“交替数”定义得到$c$和$d$的关系，结合十位与个位的和能被5整除的条件，让十位$c$尽可能大，即可求出最大的$m$。
【解析】
(1) 四位正整数的千位最小为1，即$a=1$，要使数最小，百位$b$最小取0。
要让数尽可能小，十位$c$优先取最小非负整数0，根据“交替数”定义$a+c=b+d$，代入得$1+0=0+d$，解得$d=1$，故最小的“交替数”是1001。
(2) 由题意得$a^2 - b^2=15$，利用平方差公式因式分解得$(a-b)(a+b)=15$。
∵$a$是千位数字，$1\le a\le9$，$b$是百位数字，$0\le b\le9$，且$a＞b$，$a$、$b$均为整数，
∴$(a-b)$和$(a+b)$是15的正因数，且$a-b＜a+b$，$a-b$与$a+b$同奇偶（两数和为$2a$，是偶数）。
15的正因数对为$(1,15)$、$(3,5)$，分情况讨论：
① 当$\begin{cases}a-b=1\\a+b=15\end{cases}$时，两式相加得$2a=16$，解得$a=8$，代入得$b=7$；
② 当$\begin{cases}a-b=3\\a+b=5\end{cases}$时，两式相加得$2a=8$，解得$a=4$，代入得$b=1$。
要使$m$最大，优先选择千位更大的$a=8,b=7$的组合。
根据“交替数”定义$a+c=b+d$，代入$a=8,b=7$得$8+c=7+d$，即$d=c+1$。
又
∵十位与个位的和能被5整除，即$c+d=5k$（$k$为正整数），将$d=c+1$代入得$2c+1=5k$。
要使$m$最大，$c$应尽可能大：当$c=7$时，$2×7+1=15$，是5的倍数，此时$d=7+1=8$，符合要求，对应的数为8778，远大于$a=4,b=1$组合下的最大数，故满足条件的$m$最大值为8778。
【答案】
(1)1001；(2)8778
【知识点】
平方差公式因式分解，新定义运算，二元一次方程组应用
【点评】
本题以新定义“交替数”为载体，考查因式分解的实际应用，解题关键是读懂新定义规则，结合数位的取值范围分类讨论，求最大值时优先考虑高位数字更大的情况可简化计算。
【难度系数】
0.65

15. [2026安庆期末]若$a,b,c$是正整数，$a＞b+1$，$a^2 - ab - ac + bc = 11$，则$b - c$等于（）

A.$-10$
B.$1$
C.$10$
D.$11$

15.A

【分析】
解题时首先对已知等式左边的多项式进行因式分解，利用分组分解法将其转化为两个整式乘积的形式，再结合11是质数的特点，确定两个因式的正整数取值可能，再根据a＞b+1的限制条件筛选出符合要求的取值，最后通过整式变形计算出b-c的值。
【解析】
解：对等式左边因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - ab - ac + bc&=a(a - b) - c(a - b)\\&=(a - b)(a - c)\end{aligned}$
因此原等式可化为：$(a - b)(a - c)=11$
∵a、b、c是正整数，11是质数，它的正整数因数只有1和11，且乘积为11的两个正整数组合仅为1和11
又
∵$a＞b+1$，即$a - b＞1$
∴可得$\begin{cases}a - b=11\\a - c=1\end{cases}$
将两式变形计算$b - c$：
$b=a-11$，$c=a-1$，则$b-c=(a-11)-(a-1)=-10$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分组分解法因式分解；因式分解的应用；质数的性质
【点评】
本题将因式分解与整数性质结合考查，解题的突破口是对多项式正确进行分组因式分解，再结合质数的因数特征确定未知式的取值，能够很好地考查学生的代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

16. [2026合肥期末]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数$m,n$，它们的乘积$q(q=mn)$与较大数的和一定为较大数的平方”的问题.
(1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下：
第1个式子：$1×2+2=2×(1+1)=2^2$；
第2个式子：$2×3+3=3×(2+1)=3^2$；
第3个式子：$3×4+4=4×(3+1)=4^2$；
第4个式子：$4×5+5=5×(4+1)=5^2$；
……
按以上规律，完成下列各题：
①$5×6+6=$$=$；
②$n(n+1)+(n+1)=$$=$；（用含$n$的式子表示）
(2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理：

阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容.

16.(1)①$6×(5+1)$ ;$6^2$
②$(n+1)×(n+1)$ ;$(n+1)^2$
(2)$m(m+1)+(m+1)$ ;$(m+1)^2$

【分析】
解题时先观察给出的特殊式子的规律，发现式子的共同特征是：两个连续正整数的乘积加较大的数，都可以提取较大数作为公因式，将式子变形为较大数乘（较小数+1），因为两数连续，较小数+1就是较大数，最终得到较大数的平方。
对于(1)①：对照前面的式子规律，对$5×6+6$提取公因式6变形即可；
对于(1)②：对$n(n+1)+(n+1)$提取公因式$(n+1)$化简即可；
对于(2)：已知$n=m+1$、$q=mn$，将$q+n$替换为含m的代数式，再提取公因式化简就能得到结果。
【解析】
(1)①观察前面给出的式子规律，对$5×6+6$提取公因式6，可得：
$5×6+6=6×(5+1)=6^2$
②对$n(n+1)+(n+1)$提取公因式$(n+1)$，可得：
$n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)^2$
(2)已知$n=m+1$，$q=mn$，代入$q+n$得：
$q+n=mn+n=m(m+1)+(m+1)$
提取公因式$(m+1)$化简得：
$m(m+1)+(m+1)=(m+1)(m+1)=(m+1)^2=n^2$
【答案】
(1)①$6×(5+1)$；$6^2$
②$(n+1)×(n+1)$；$(n+1)^2$
(2)$m(m+1)+(m+1)$；$(m+1)^2$
【知识点】
提取公因式因式分解；代数式化简；规律探究
【点评】
本题属于基础题，结合数字规律探究考查整式的变形化简能力，核心是掌握提取公因式的方法，体会从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.85