12. [2026 六安期中]在计算$(x+a)(x+b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到的结果是$x^2+8x+12$；乙错把$a$看成了$-a$，得到的结果是$x^2+x-6$.
(1)求出$a,b$的值；
(2)在(1)的条件下，计算$(x+a)(x+b)$的结果.

12.解：(1)$a=2,b=3$.
(2)$(x+a)(x+b)=x^2+5x+6$.

【分析】
本题需要结合甲乙两人的错误运算结果反推参数a、b的值，再计算正确的整式乘积。解题思路如下：①先根据甲看错b为6的运算结果，利用多项式乘多项式法则展开错误算式，再根据两个多项式相等时对应项系数相等，建立关于a的方程，求出a的值；②再根据乙看错a为-a的运算结果，同理展开错误算式，代入已求出的a值，建立关于b的方程求出b的值；③最后将a、b代入原式，按多项式乘多项式法则计算正确结果即可。
【解析】
(1) 由题意，甲错把b看成6，因此他计算的算式为：
$(x+a)(x+6)=x^2+(6+a)x+6a$
已知甲得到的结果是$x^2+8x+12$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得一次项系数满足：
$6+a=8$
解得：$a=2$
乙错把a看成$-a$，因此他计算的算式为：
$(x-a)(x+b)$
将$a=2$代入得：$(x-2)(x+b)=x^2+(b-2)x-2b$
已知乙得到的结果是$x^2+x-6$，同理对应一次项系数相等：
$b-2=1$
解得：$b=3$
(2) 将$a=2$，$b=3$代入$(x+a)(x+b)$得：
$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$；
(2) $(x+a)(x+b)$的结果为$x^2+5x+6$
【知识点】
多项式乘多项式，多项式系数对应相等，整式化简
【点评】
本题考查整式乘法的逆用，通过错误运算结果反求原式参数，核心是掌握多项式乘法运算规则，利用多项式相等的性质列方程求解，是整式乘法章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.8

13. [2026淮北期末]定义:$\varphi[a,b,c]$是以$a,b,c$为系数的二次多项式,即$\varphi[a,b,c]=ax^2+bx+c$,其中$a,b,c$均为实数.例如:$\varphi[1,2,3]=x^2+2x+3$,$\varphi[2,0,-2]=2x^2-2$.完成下面的探究:
(1)当$x=3$时,$\varphi[2,-1,3]×\varphi[-1,2,-2]$的值是;
(2)若$\varphi[p,q,-1]×\varphi[m,n,-2]=x^4+2x^3-3x^2-x+2$,则$(4p-2q-1)(2m-n-1)$的值是.

13.(1)$-90$ (2)$-4$

【分析】
(1) 首先根据新定义规则写出两个二次多项式，再将x=3分别代入两个多项式计算出对应的值，最后将两个值相乘即可得到结果。
(2) 观察所求式子的结构，发现4p-2q-1恰好是φ[p,q,-1]在x=-2时的取值，φ[m,n,-2]在x=-2时的取值变形后可得2(2m-n-1)，因此将x=-2代入已知等式左右两边，利用等式性质即可快速求出目标式子的值，无需展开复杂的多项式乘法。
【解析】
(1) 根据新定义可得：
$\varphi[2,-1,3]=2x^2-x+3$，$\varphi[-1,2,-2]=-x^2+2x-2$
当$x=3$时：
$\varphi[2,-1,3]=2×3^2 - 3 + 3=18$
$\varphi[-1,2,-2]=-3^2 + 2×3 - 2=-5$
则两者的乘积为$18×(-5)=-90$
(2) 根据新定义，$\varphi[p,q,-1]=px^2+qx-1$，$\varphi[m,n,-2]=mx^2+nx-2$
已知$\varphi[p,q,-1]×\varphi[m,n,-2]=x^4+2x^3-3x^2-x+2$
当$x=-2$时：
$\varphi[p,q,-1]=p×(-2)^2 + q×(-2) -1=4p-2q-1$
$\varphi[m,n,-2]=m×(-2)^2 + n×(-2) -2=4m-2n-2=2(2m-n-1)$
将$x=-2$代入等式右边得：
$(-2)^4 + 2×(-2)^3 - 3×(-2)^2 - (-2) + 2=16-16-12+2+2=-8$
因此有$2(4p-2q-1)(2m-n-1)=-8$，两边同除以2得：
$(4p-2q-1)(2m-n-1)=-4$
【答案】
(1)$-90$；(2)$-4$
【知识点】
新定义运算，整式代入求值，整式乘法
【点评】
本题结合新定义考查整式的相关运算，解题核心是准确理解新定义的规则，第二问通过观察所求代数式的特征选择合适的x值代入，能大幅简化运算，避免直接展开多项式的繁琐步骤。
【难度系数】
0.65

14.小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当$mx+n=0$或$px+q=0$时，多项式$A=(mx+n)(px+q)=mpx^2+(mq+np)x+nq$的值为0，把此时$x$的值称为多项式$A$的零点.
(1)已知多项式$(3x-1)(x+2)$，则此多项式的零点为；
(2)已知多项式$B=(x-2)(x+m)=x^2+(a-1)x-3a$有一个零点为2，求多项式$B$的另一个零点；
(3)小亮继续研究$(x-4)(x-2)$，$x(x-6)$及$(x-\dfrac{5}{2})(x-\dfrac{7}{2})$等，发现在$x$轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线$x=3$对称，他把这些多项式称为“3－系多项式”.若多项式$M=(2x-b)(cx-7c)=a x^2-(8a-4c)x+5b-4$是“3－系多项式”，则$a=$，$b=$，$c=$.

14.解：(1)$x=\dfrac{1}{3}$或$x=-2$ (2)$x=-3$. (3)$2$；$-2$；$1$

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是读懂题干给出的“多项式零点”和“3－系多项式”的定义，结合整式乘法、多项式恒等的性质求解：
(1) 根据零点定义，直接令两个一次因式分别为0，解一元一次方程即可得到零点；
(2) 先将左侧多项式展开，利用两个多项式恒等时对应项系数相等，列方程求出参数m，即可得到另一个零点；
(3) 先表示出多项式M的两个零点，结合“3－系多项式”的零点关于x=3对称，先求出参数b，再将左侧多项式展开，和右侧多项式对应系数相等，列方程求出a、c的值。
【解析】
(1) 根据零点的定义，令$(3x-1)(x+2)=0$，可得$3x-1=0$或$x+2=0$：
解$3x-1=0$得$x=\dfrac{1}{3}$，解$x+2=0$得$x=-2$，因此该多项式的零点为$x=\dfrac{1}{3}$或$x=-2$。
(2) 先将多项式$B$左侧展开：
$(x-2)(x+m)=x^2 + (m-2)x - 2m$
已知$(x-2)(x+m)=x^2+(a-1)x-3a$，根据多项式恒等时对应项系数相等，得：
$\begin{cases}m-2=a-1\\-2m=-3a\end{cases}$
由第一个式子得$a=m-1$，代入第二个式子：
$2m=3(m-1)$，解得$m=3$
多项式$B$的零点为$x=2$和$x=-m$，因此另一个零点为$x=-3$。
(3) 令$(2x-b)(cx-7c)=0$，可得$2x-b=0$或$cx-7c=0$：
由$cx-7c=c(x-7)$，结合多项式为二次多项式可知$c≠0$，解得$x=7$；解$2x-b=0$得$x=\dfrac{b}{2}$，即$M$的两个零点为$x=7$和$x=\dfrac{b}{2}$。
因为$M$是“3－系多项式”，两个零点关于直线$x=3$对称，因此两个零点的中点为3，即：
$\dfrac{\dfrac{b}{2}+7}{2}=3$
解得$\dfrac{b}{2}=-1$，$b=-2$。
将$b=-2$代入$M$左侧并展开：
$(2x+2)(cx-7c)=2cx^2 -14cx + 2cx -14c=2cx^2 -12cx -14c$
右侧多项式代入$b=-2$得：$ax^2-(8a-4c)x +5×(-2)-4=ax^2-(8a-4c)x -14$
根据对应系数相等列方程：
$\begin{cases}2c=a\\-12c=-(8a-4c)\\-14c=-14\end{cases}$
由$-14c=-14$得$c=1$，代入$2c=a$得$a=2$，代入一次项系数验证等式成立。
因此$a=2$，$b=-2$，$c=1$。
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{3}$或$x=-2$ (2)$x=-3$ (3)$2$；$-2$；$1$
【知识点】
多项式零点定义，整式乘法运算，多项式恒等性质
【点评】
本题以新定义为载体，融合了整式运算、方程求解的核心知识，重点考查阅读理解能力和知识迁移能力，解题的关键是把新定义问题转化为已学的常规数学问题求解。
【难度系数】
0.6