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7. 新考法 定义运算“※”：$a※b=\begin{cases}\dfrac{a}{a-b} & (a＞b), \\ \dfrac{b}{b-a} & (a＜b).\end{cases}$ 若$5※x=2$，则$x$的值为（ ）
A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{5}{2}$或$10$
C.$10$
D.$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{15}{2}$
A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{5}{2}$或$10$
C.$10$
D.$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{15}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题是新定义运算结合分式方程的题目，解题时需先明确新定义的分段规则：运算结果根据a和b的大小关系对应不同的分式表达式。由于题干中5和x的大小关系不确定，因此需要分“5＞x”和“5＜x”两种情况分别代入对应的表达式，转化为分式方程求解，最后要检验所求的解是否符合对应分类的前提条件，同时满足分式分母不为0的要求。
【解析】
根据新定义运算的规则，分两种情况讨论：
1. 当$5＞x$（即$x＜5$）时，$5※x=\dfrac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$(5-x)$去分母得：$5=2(5-x)$
展开得：$5=10-2x$
移项解得：$x=\dfrac{5}{2}$
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$5-x=\dfrac{5}{2}≠0$，且$\dfrac{5}{2}＜5$，符合题意，是原方程的解。
2. 当$5＜x$（即$x＞5$）时，$5※x=\dfrac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$(x-5)$去分母得：$x=2(x-5)$
展开得：$x=2x-10$
移项解得：$x=10$
检验：当$x=10$时，$x-5=5≠0$，且$10＞5$，符合题意，是原方程的解。
综上，$x$的值为$\dfrac{5}{2}$或$10$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程解法、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与分式方程求解结合，解题核心是根据分段运算的要求分类讨论，求解后要注意双重检验：既要检验是否为分式方程的增根，也要验证解是否符合分类的大小关系前提，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合分式方程的题目，解题时需先明确新定义的分段规则：运算结果根据a和b的大小关系对应不同的分式表达式。由于题干中5和x的大小关系不确定，因此需要分“5＞x”和“5＜x”两种情况分别代入对应的表达式，转化为分式方程求解，最后要检验所求的解是否符合对应分类的前提条件，同时满足分式分母不为0的要求。
【解析】
根据新定义运算的规则，分两种情况讨论：
1. 当$5＞x$（即$x＜5$）时，$5※x=\dfrac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$(5-x)$去分母得：$5=2(5-x)$
展开得：$5=10-2x$
移项解得：$x=\dfrac{5}{2}$
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$5-x=\dfrac{5}{2}≠0$，且$\dfrac{5}{2}＜5$，符合题意，是原方程的解。
2. 当$5＜x$（即$x＞5$）时，$5※x=\dfrac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$(x-5)$去分母得：$x=2(x-5)$
展开得：$x=2x-10$
移项解得：$x=10$
检验：当$x=10$时，$x-5=5≠0$，且$10＞5$，符合题意，是原方程的解。
综上，$x$的值为$\dfrac{5}{2}$或$10$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程解法、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与分式方程求解结合，解题核心是根据分段运算的要求分类讨论，求解后要注意双重检验：既要检验是否为分式方程的增根，也要验证解是否符合分类的大小关系前提，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
8. [运算能力] 分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
B
）A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
答案
B
解析
【分析】
解决这类含参数的分式方程求参数范围问题，可按三步思考：第一步，先去分母将分式方程转化为整式方程，求出用参数m表示的方程的解；第二步，根据“解为正数”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，即解不能使原方程分母为0（避免增根），据此再列不等式排除不符合的m值，合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
首先确定原方程隐含条件：分母不为0，即$x-1≠0$，$x≠1$。
方程两边同时乘以$(x-1)$，去分母得：
$2 = (x-1) - m$
解这个整式方程，移项整理得：
$x = 3 + m$
∵ 原方程的解为正数，
∴ $x＞0$，即：
$3 + m ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 解不能为增根，即$x≠1$，
∴：
$3 + m ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m＞-3$且$m≠-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常考题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制条件，漏掉$m≠-2$的限制，求解此类问题时一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.65
解决这类含参数的分式方程求参数范围问题，可按三步思考：第一步，先去分母将分式方程转化为整式方程，求出用参数m表示的方程的解；第二步，根据“解为正数”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，即解不能使原方程分母为0（避免增根），据此再列不等式排除不符合的m值，合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
首先确定原方程隐含条件：分母不为0，即$x-1≠0$，$x≠1$。
方程两边同时乘以$(x-1)$，去分母得：
$2 = (x-1) - m$
解这个整式方程，移项整理得：
$x = 3 + m$
∵ 原方程的解为正数，
∴ $x＞0$，即：
$3 + m ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 解不能为增根，即$x≠1$，
∴：
$3 + m ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m＞-3$且$m≠-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常考题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制条件，漏掉$m≠-2$的限制，求解此类问题时一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.65
9. [2026 合肥期末]若关于 $x$ 的方程 $\frac{ax}{x-2}=\frac{3+a}{x-2}-\frac{x}{2-x}$ 的解为整数，且关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{2x-3}{9}＞1, \\x-a＜0\end{cases}$ 无解，则这样的非负整数 $a$ 有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
A
解析
【分析】
本题属于分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路分三步：①先解分式方程，注意排除增根（x≠2），用含a的代数式表示x，结合解为整数得到a的初步取值范围；②解一元一次不等式组，根据“不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分”得到a的取值限制；③结合a是非负整数的条件，筛选出同时满足所有要求的a的个数即可。
【解析】
步骤1：解分式方程，排除增根，结合解为整数求a的初步范围
原分式方程为：$\frac{ax}{x-2}=\frac{3+a}{x-2}-\frac{x}{2-x}$
先化简右边的分式：$-\frac{x}{2-x}=\frac{x}{x-2}$，因此方程变为：
$\frac{ax}{x-2}=\frac{3+a}{x-2}+\frac{x}{x-2}$
由分母不为0得：$x≠2$，两边同乘$(x-2)$去分母得：
$ax=3+a+x$
移项合并同类项：$(a-1)x=a+3$
当$a=1$时，左边为0，右边为4，等式不成立，方程无解，不符合要求；
当$a≠1$时，$x=\frac{a+3}{a-1}=1+\frac{4}{a-1}$
因为方程的解为整数，所以$\frac{4}{a-1}$为整数，即$a-1$是4的约数（约数为$\pm1,\pm2,\pm4$）；
又因为$x≠2$，代入得$\frac{a+3}{a-1}≠2$，解得$a≠5$（此时x=2为增根，舍去）。
步骤2：解不等式组，根据无解求a的范围
不等式组为$\begin{cases}\frac{2x-3}{9}＞1 \\x-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘9得$2x-3＞9$，移项得$2x＞12$，解得$x＞6$；
解第二个不等式：移项得$x＜a$；
因为不等式组无解，所以两个解集无公共部分，即$a≤6$。
步骤3：结合a是非负整数筛选符合条件的a
a是非负整数，即$a≥0$且a为整数，结合上述条件：
$a-1$是4的约数，$a≠1$，$a≠5$，$a≤6$：
$a-1=-1$时，$a=0$，此时$x=-3$，是整数，符合要求；
$a-1=1$时，$a=2$，此时$x=5$，是整数，符合要求；
$a-1=2$时，$a=3$，此时$x=3$，是整数，符合要求；
$a-1=4$时，$a=5$，为增根，舍去；
$a-1=-2、-4$时，a为负数，不符合非负整数要求，舍去。
综上，符合条件的非负整数a为0、2、3，共3个。
【答案】
A
【知识点】
分式方程求解，不等式组无解判定，整数解筛选
【点评】
本题易错点有三处：一是解分式方程时忘记排除增根x=2，误将a=5算入符合条件的取值；二是判断不等式组无解时错将a≤6写为a＜6；三是忽略a是非负整数的限制，误算负数取值，解题时要逐一核对限制条件避免遗漏。
【难度系数】
0.6
本题属于分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路分三步：①先解分式方程，注意排除增根（x≠2），用含a的代数式表示x，结合解为整数得到a的初步取值范围；②解一元一次不等式组，根据“不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分”得到a的取值限制；③结合a是非负整数的条件，筛选出同时满足所有要求的a的个数即可。
【解析】
步骤1：解分式方程，排除增根，结合解为整数求a的初步范围
原分式方程为：$\frac{ax}{x-2}=\frac{3+a}{x-2}-\frac{x}{2-x}$
先化简右边的分式：$-\frac{x}{2-x}=\frac{x}{x-2}$，因此方程变为：
$\frac{ax}{x-2}=\frac{3+a}{x-2}+\frac{x}{x-2}$
由分母不为0得：$x≠2$，两边同乘$(x-2)$去分母得：
$ax=3+a+x$
移项合并同类项：$(a-1)x=a+3$
当$a=1$时，左边为0，右边为4，等式不成立，方程无解，不符合要求；
当$a≠1$时，$x=\frac{a+3}{a-1}=1+\frac{4}{a-1}$
因为方程的解为整数，所以$\frac{4}{a-1}$为整数，即$a-1$是4的约数（约数为$\pm1,\pm2,\pm4$）；
又因为$x≠2$，代入得$\frac{a+3}{a-1}≠2$，解得$a≠5$（此时x=2为增根，舍去）。
步骤2：解不等式组，根据无解求a的范围
不等式组为$\begin{cases}\frac{2x-3}{9}＞1 \\x-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘9得$2x-3＞9$，移项得$2x＞12$，解得$x＞6$；
解第二个不等式：移项得$x＜a$；
因为不等式组无解，所以两个解集无公共部分，即$a≤6$。
步骤3：结合a是非负整数筛选符合条件的a
a是非负整数，即$a≥0$且a为整数，结合上述条件：
$a-1$是4的约数，$a≠1$，$a≠5$，$a≤6$：
$a-1=-1$时，$a=0$，此时$x=-3$，是整数，符合要求；
$a-1=1$时，$a=2$，此时$x=5$，是整数，符合要求；
$a-1=2$时，$a=3$，此时$x=3$，是整数，符合要求；
$a-1=4$时，$a=5$，为增根，舍去；
$a-1=-2、-4$时，a为负数，不符合非负整数要求，舍去。
综上，符合条件的非负整数a为0、2、3，共3个。
【答案】
A
【知识点】
分式方程求解，不等式组无解判定，整数解筛选
【点评】
本题易错点有三处：一是解分式方程时忘记排除增根x=2，误将a=5算入符合条件的取值；二是判断不等式组无解时错将a≤6写为a＜6；三是忽略a是非负整数的限制，误算负数取值，解题时要逐一核对限制条件避免遗漏。
【难度系数】
0.6
10. 分类讨论思想 已知关于$x$的分式方程$\frac{x+a}{x-2} - \frac{5}{x} =1$。
(1)若分式方程的根是$x=5$，则$a$的值为
(2)若分式方程无解，则$a$的值为
(1)若分式方程的根是$x=5$，则$a$的值为
1
；(2)若分式方程无解，则$a$的值为
3或-2
。答案
(1)1 (2)3或-2
解析
【分析】
(1) 已知分式方程的根，根据方程的根满足方程的性质，直接将x=5代入原分式方程，即可得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值即可。
(2) 分式方程无解分两种情况讨论：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即让原分式方程分母为0的x值）。先将原分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两种情况进行计算即可求出a的取值。
【解析】
(1) 将x=5代入原方程$\frac{x+a}{x-2} - \frac{5}{x} =1$，得：
$\frac{5+a}{5-2} - \frac{5}{5} =1$
化简得$\frac{5+a}{3} -1 =1$
移项得$\frac{5+a}{3}=2$
两边同乘3得$5+a=6$
解得$a=1$。
(2) 原方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$去分母，得：
$x(x+a) -5(x-2) =x(x-2)$
展开得$x^2 +ax -5x +10 =x^2 -2x$
消去$x^2$，移项合并同类项得：$(a-3)x = -10$
分式方程无解分两种情况：
① 整式方程无解：当$a-3=0$即$a=3$时，方程变为$0=-10$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 整式方程的解为原方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=0$或$x=2$。
把$x=0$代入$(a-3)x=-10$，得$0=-10$，不成立，舍去；
把$x=2$代入$(a-3)x=-10$，得$2(a-3)=-10$，解得$a=-2$。
综上，当分式方程无解时，$a$的值为3或-2。
【答案】
(1) 1；(2) 3或-2
【知识点】
分式方程的解；增根的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分式方程的相关应用，解题时要注意分式方程无解包含两种情况，不要漏算整式方程本身无解的情况，熟练运用分类讨论思想可避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知分式方程的根，根据方程的根满足方程的性质，直接将x=5代入原分式方程，即可得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值即可。
(2) 分式方程无解分两种情况讨论：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即让原分式方程分母为0的x值）。先将原分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两种情况进行计算即可求出a的取值。
【解析】
(1) 将x=5代入原方程$\frac{x+a}{x-2} - \frac{5}{x} =1$，得：
$\frac{5+a}{5-2} - \frac{5}{5} =1$
化简得$\frac{5+a}{3} -1 =1$
移项得$\frac{5+a}{3}=2$
两边同乘3得$5+a=6$
解得$a=1$。
(2) 原方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$去分母，得：
$x(x+a) -5(x-2) =x(x-2)$
展开得$x^2 +ax -5x +10 =x^2 -2x$
消去$x^2$，移项合并同类项得：$(a-3)x = -10$
分式方程无解分两种情况：
① 整式方程无解：当$a-3=0$即$a=3$时，方程变为$0=-10$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 整式方程的解为原方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=0$或$x=2$。
把$x=0$代入$(a-3)x=-10$，得$0=-10$，不成立，舍去；
把$x=2$代入$(a-3)x=-10$，得$2(a-3)=-10$，解得$a=-2$。
综上，当分式方程无解时，$a$的值为3或-2。
【答案】
(1) 1；(2) 3或-2
【知识点】
分式方程的解；增根的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分式方程的相关应用，解题时要注意分式方程无解包含两种情况，不要漏算整式方程本身无解的情况，熟练运用分类讨论思想可避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.解方程：$\frac{5x - 4}{2x - 4} = \frac{2x + 5}{3x - 6} - \frac{1}{2}.$
答案
原方程无解.
解析
【分析】
这是一道分式方程求解问题，解题思路如下：首先对各分母因式分解，确定最简公分母，注意分母不为0的隐含条件；其次方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；再求解整式方程；最后必须将整式方程的解代入最简公分母检验，若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
解：先对分母因式分解：$2x-4=2(x-2)$，$3x-6=3(x-2)$，原方程可化为：
$\frac{5x-4}{2(x-2)}=\frac{2x+5}{3(x-2)}-\frac{1}{2}$
由分母不为0可得$x≠2$，方程两边同时乘最简公分母$6(x-2)$，去分母得：
$3(5x-4)=2(2x+5)-3(x-2)$
展开括号：
$15x-12=4x+10-3x+6$
合并同类项整理得：
$15x-12=x+16$
移项、合并同类项：
$14x=28$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$6(x-2)=0$，因此$x=2$是原方程的增根，舍去。
所以原方程无解。
【答案】
原方程无解.
【知识点】
分式方程解法，增根判定，验根方法
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，且解分式方程必须检验，若求出的整式方程的解是增根，要明确原方程无解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程求解问题，解题思路如下：首先对各分母因式分解，确定最简公分母，注意分母不为0的隐含条件；其次方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；再求解整式方程；最后必须将整式方程的解代入最简公分母检验，若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
解：先对分母因式分解：$2x-4=2(x-2)$，$3x-6=3(x-2)$，原方程可化为：
$\frac{5x-4}{2(x-2)}=\frac{2x+5}{3(x-2)}-\frac{1}{2}$
由分母不为0可得$x≠2$，方程两边同时乘最简公分母$6(x-2)$，去分母得：
$3(5x-4)=2(2x+5)-3(x-2)$
展开括号：
$15x-12=4x+10-3x+6$
合并同类项整理得：
$15x-12=x+16$
移项、合并同类项：
$14x=28$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$6(x-2)=0$，因此$x=2$是原方程的增根，舍去。
所以原方程无解。
【答案】
原方程无解.
【知识点】
分式方程解法，增根判定，验根方法
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，且解分式方程必须检验，若求出的整式方程的解是增根，要明确原方程无解。
【难度系数】
0.7
12. 能力训练点·探究建模 观察下列关于$x$的方程，然后回答问题：
方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
方程$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$。
【猜想】方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是________；
【验证】请利用“方程的解”的概念验证上述猜想；
【结论】如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边的完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解；
【拓展运用】解关于$x$的方程：$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$。
方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
方程$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$。
【猜想】方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是________；
【验证】请利用“方程的解”的概念验证上述猜想；
【结论】如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边的完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解；
【拓展运用】解关于$x$的方程：$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$。
答案
【猜想】$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$
【验证】略.
【拓展运用】$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}.$
【验证】略.
【拓展运用】$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}.$
解析
【分析】
1. 猜想部分：观察给出的3组方程与对应解的特征，可总结出规律：此类结构的方程第一个解等于右侧的常数c，第二个解等于左侧分式的分子m除以常数c，据此直接写出猜想结果；
2. 验证部分：根据方程的解的定义，将猜想的两个解分别代入原方程左右两边，若两边计算结果相等，即可证明猜想成立；
3. 拓展运用部分：先对待解方程做恒等变形，左右两边同时减1，将方程转化为和已知规律完全一致的结构，再套用规律求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
【猜想】
观察已知方程的解的规律，可得方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
【验证】
①把$x=c$代入原方程：
左边$=c+\frac{m}{c}$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=c$是原方程的解；
②把$x=\frac{m}{c}$代入原方程：
左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=\frac{m}{c}+c$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=\frac{m}{c}$是原方程的解；
因此猜想成立。
【拓展运用】
对原方程变形，左右两边同时减1，得：
$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$
根据前面总结的规律，可得：
$x-1=a$ 或 $x-1=\frac{2}{a-1}$
分别求解：
解$x-1=a$得$x_1=a$；
解$x-1=\frac{2}{a-1}$得$x_2=\frac{2}{a-1}+1=\frac{a+1}{a-1}$。
检验：将$x=a$和$x=\frac{a+1}{a-1}$代入原方程，分母均不为0，且左右两边相等，均为原方程的解。
【答案】
【猜想】$\boldsymbol{x_1=c,x_2=\frac{m}{c}}$；【拓展运用】$\boldsymbol{x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}}$
【知识点】
1. 方程的解的概念
2. 规律探究
3. 分式方程的解法
【点评】
本题属于规律迁移类分式方程问题，侧重考查观察归纳能力和知识转化应用能力，解题关键是将陌生方程变形为匹配已知规律的结构，求解后要注意检验分式方程的解是否满足分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
1. 猜想部分：观察给出的3组方程与对应解的特征，可总结出规律：此类结构的方程第一个解等于右侧的常数c，第二个解等于左侧分式的分子m除以常数c，据此直接写出猜想结果；
2. 验证部分：根据方程的解的定义，将猜想的两个解分别代入原方程左右两边，若两边计算结果相等，即可证明猜想成立；
3. 拓展运用部分：先对待解方程做恒等变形，左右两边同时减1，将方程转化为和已知规律完全一致的结构，再套用规律求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
【猜想】
观察已知方程的解的规律，可得方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
【验证】
①把$x=c$代入原方程：
左边$=c+\frac{m}{c}$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=c$是原方程的解；
②把$x=\frac{m}{c}$代入原方程：
左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=\frac{m}{c}+c$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=\frac{m}{c}$是原方程的解；
因此猜想成立。
【拓展运用】
对原方程变形，左右两边同时减1，得：
$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$
根据前面总结的规律，可得：
$x-1=a$ 或 $x-1=\frac{2}{a-1}$
分别求解：
解$x-1=a$得$x_1=a$；
解$x-1=\frac{2}{a-1}$得$x_2=\frac{2}{a-1}+1=\frac{a+1}{a-1}$。
检验：将$x=a$和$x=\frac{a+1}{a-1}$代入原方程，分母均不为0，且左右两边相等，均为原方程的解。
【答案】
【猜想】$\boldsymbol{x_1=c,x_2=\frac{m}{c}}$；【拓展运用】$\boldsymbol{x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}}$
【知识点】
1. 方程的解的概念
2. 规律探究
3. 分式方程的解法
【点评】
本题属于规律迁移类分式方程问题，侧重考查观察归纳能力和知识转化应用能力，解题关键是将陌生方程变形为匹配已知规律的结构，求解后要注意检验分式方程的解是否满足分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
