概念建构
1.分母中含的方程叫作分式方程.
2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同乘最简公分母，该最简公分母的值可能为，因此解分式方程一定要检验.检验时，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
基础巩固

1.未知数 2.零

【分析】
本题考查分式方程的基础概念，解题思路如下：
1. 第1题需回忆分式方程的定义，对比整式方程的特征，明确分式方程区别于整式方程的核心是分母中含有未知数，即可确定答案；
2. 第2题需理解分式方程验根的原因：分式的分母不能为0，去分母时乘的最简公分母如果为0，会导致原方程无意义，可能产生增根，因此要考虑最简公分母的取值情况。
【解析】
1. 根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此第一空填“未知数”；
2. 解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母的值可能为0，此时得到的整式方程的解会让原分式方程的分母为0，属于增根，因此解分式方程必须检验，因此第二空填“零”。
【答案】
1.未知数 2.零
【知识点】
分式方程的定义；分式方程的验根
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对分式方程核心特征和解法注意事项的掌握，牢记相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

知识点1 分式方程的概念
1.(新知回顾)因为方程$\frac{2}{2x+3}-\frac{3-x}{x-5}=1$的分母中含有，所以这个方程（填“是”或“不是”）分式方程.
2.[2026宿州月考]下列关于$x$的方程：①$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{5}=10$；②$\frac{x}{600}=\frac{400}{x-30}$；③$\frac{x}{4}+1=\frac{5}{2}x$；④$\frac{a}{2x}=\frac{1}{x}$，其中是分式方程的为.（填序号）

1.未知数；是 2.②④

【分析】
解题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。对于第1题，先观察所给方程的分母，判断是否含有未知数，再对照定义确认是否为分式方程；对于第2题，逐个分析每个方程的分母，只要分母中含有未知数x的就是分式方程，反之属于整式方程，据此筛选即可。
【解析】
1. 观察方程$\frac{2}{2x+3}-\frac{3-x}{x-5}=1$的分母分别为$2x+3$和$x-5$，两个分母中都含有未知数$x$，根据分式方程的定义，分母含未知数的方程是分式方程，因此这个方程是分式方程。
2. 逐个判断如下：
①$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{5}=10$的分母是2和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程；
②$\frac{x}{600}=\frac{400}{x-30}$的分母有$x-30$，含有未知数$x$，是分式方程；
③$\frac{x}{4}+1=\frac{5}{2}x$的分母是4和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程；
④$\frac{a}{2x}=\frac{1}{x}$的分母有$2x$和$x$，含有未知数$x$，是分式方程。
因此是分式方程的为②④。
【答案】
1.未知数；是 2.②④
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式方程的定义，判定时只需观察方程分母中是否含有未知数即可，注意区分整式方程和分式方程的核心差异。
【难度系数】
0.9

3.新考法 如图所示，点点总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别代表的是（）


A.分式的基本性质，最简公分母=0
B.分式的基本性质，最简公分母≠0
C.等式的基本性质2，最简公分母=0
D.等式的基本性质2，最简公分母≠0

C

【分析】
解题时先回忆解分式方程各步骤的原理，分两步判断A和B：第一步先确定去分母的依据，要注意区分等式的基本性质和分式的基本性质，去分母是对等式两边做相同的乘法变形，依据是等式的基本性质2，据此可以先排除错误选项；第二步看检验的两种情况，已知最简公分母≠0时解为原方程的解，那么对应无解、增根的情况就是最简公分母为0，即可确定B的内容，最终选出正确选项。
【解析】
1. 判断A的内容：
解分式方程去分母时，需要给等式两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为一元一次方程，该操作的依据是等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数或整式，等式仍然成立），因此A是等式的基本性质2，排除A、B选项。
2. 判断B的内容：
检验整式方程的解时，将解代入原方程的最简公分母：若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解；若最简公分母=0，则这个解会让原分式方程的分母为0，是增根，原分式方程无解，因此B为最简公分母=0，排除D选项。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；等式的基本性质；增根的概念
【点评】
本题考查解分式方程的流程及各步骤的原理，是分式方程模块的基础考点，只要熟练掌握分式方程的求解步骤和每一步的注意事项，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8

4. [2026安庆期末]解方程$\frac{2}{x-1} - 3 = \frac{x}{1-x}$，两边同乘以$(x-1)$后得到的式子为（）

A.$2 - 3 = -x$
B.$2 - 3(x - 1) = -x$
C.$2 - 3(x - 1) = x$
D.$2 + 3(x - 1) = -x$

B

【分析】
这道题考查分式方程去分母的操作，解题思路如下：首先明确去分母的规则：给方程两边的每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项，同时要注意分母的符号变换。本题中最简公分母是$x-1$，先观察右边分母$1-x$与$x-1$的关系：$1-x=-(x-1)$，再给每一项乘$x-1$即可得到变形后的式子。
【解析】
原方程为$\frac{2}{x-1} - 3 = \frac{x}{1-x}$，首先将右边分母变形：$\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=-\frac{x}{x-1}$。
给方程两边每一项同乘以$(x-1)$：
1. 第一项$\frac{2}{x-1}×(x-1)=2$；
2. 第二项常数项$-3×(x-1)=-3(x-1)$；
3. 右边$\frac{x}{1-x}×(x-1)=-x$。
整理后得到：$2 - 3(x - 1) = -x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；分式符号变换
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，易错点有两个：一是漏乘不含分母的常数项$-3$，二是忽略分母$1-x$和$x-1$互为相反数的关系导致符号错误，解题时要牢记去分母需乘遍所有项，遇互为相反数的分母要先处理符号。
【难度系数】
0.8

5.分式方程$\frac{2}{x-6}=\frac{1}{x}$的解为。

$x=-6$

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考路径如下：首先确定方程中两个分式的最简公分母为$x(x-6)$，给方程两边同时乘最简公分母可去掉分母，得到一元一次方程；再求解一元一次方程得到未知数的值；最后必须检验，因为去分母时乘的整式可能为0，会产生不满足原方程的增根，需验证解是否使原方程分母不为0。
【解析】
解：方程两边同时乘以最简公分母$x(x-6)$（$x≠0$且$x≠6$），去分母得：
$2x = x - 6$
移项得：$2x - x = -6$
合并同类项得：$x = -6$
检验：将$x=-6$代入最简公分母$x(x-6)$，得$(-6)×(-6-6)=72≠0$，因此$x=-6$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-6$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程解法的基础考查题，解题关键是掌握去分母的转化方法，易错点是求解后遗漏检验增根的步骤。
【难度系数】
0.85

6.解方程：
(1)$\frac{x-2}{x-4}-2=\frac{x}{x-4}$；
(2)$\frac{3}{x+2}+1=\frac{x}{x-2}$；
(3)$\frac{3}{x^2 -9}-\frac{2}{x-3}=\frac{1}{x+3}$。

(1)$x=3$. (2)$x=10$. (3)$x=0$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤如下：①确定最简公分母：先将可因式分解的分母分解因式，找到所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③解整式方程：按照整式方程的运算规则求解；④检验：将求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0则是增根，需要舍去。
对应各小题的最简公分母：(1)为$x-4$；(2)为$(x+2)(x-2)$；(3)先将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，得最简公分母为$(x+3)(x-3)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x-4$，得：
$x-2 - 2(x-4) = x$
去括号：$x-2-2x+8=x$
移项、合并同类项：$-2x=-6$
系数化为1：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-4=3-4=-1≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$3(x-2) + (x+2)(x-2) = x(x+2)$
去括号：$3x-6+x^2-4=x^2+2x$
移项、合并同类项：$x=10$
检验：当$x=10$时，$(x+2)(x-2)=12×8=96≠0$，因此$x=10$是原方程的解。
(3) 先将分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，得：
$3 - 2(x+3) = x-3$
去括号：$3-2x-6=x-3$
移项、合并同类项：$-3x=0$
系数化为1：$x=0$
检验：当$x=0$时，$(x+3)(x-3)=-9≠0$，因此$x=0$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=10$；(3)$x=0$
【知识点】
分式方程的解法，去分母运算，分式方程验根
【点评】
这三道是分式方程求解的基础题型，重点考察分式方程求解的规范步骤，解题时需要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解完后务必检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7