1. [2026合肥期末]若方程$\frac{2-x}{x-5}=2+\frac{a}{x-3}$的解为$x=4$,则$a$的值为（）

A.0
B.$-2$
C.3
D.4

1.A

【分析】
本题已知分式方程的解求参数值，解题核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知的解$x=4$代入原方程，就可以把原方程转化为只含参数$a$的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出$a$的值，代入前可先验证$x=4$不会使原方程分母为0，可直接代入。
【解析】
∵$x=4$是方程$\frac{2-x}{x-5}=2+\frac{a}{x-3}$的解
∴将$x=4$代入原方程，等式左右两边相等，可得：
左边：$\frac{2-4}{4-5}=\frac{-2}{-1}=2$
右边：$2+\frac{a}{4-3}=2+a$
根据左右两边相等列方程：
$2=2+a$
解得：$a=0$
【答案】
A
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程含参问题的基础题型，解题关键是熟练运用方程解的性质代入已知解，将含参问题转化为普通一元一次方程求解，计算量小，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9

2.已知关于$x$的分式方程$\frac{3}{x-a}=\frac{2}{x}$的解为$x=2$，则常数$a$的值为（）

A.1
B.$-1$
C.2
D.5

2.B

【分析】
已知分式方程的解，根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以将x=2代入原分式方程，得到一个关于常数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值，最后要记得验证分式的分母不为0，确保解有效。
【解析】
将x=2代入原分式方程$\frac{3}{x-a}=\frac{2}{x}$，可得：
$\frac{3}{2-a}=\frac{2}{2}$
化简右边得：$\frac{3}{2-a}=1$
方程两边同时乘以$(2-a)$（$2-a≠0$），得：
$3=2-a$
移项求解得：$a=2-3=-1$
检验：当a=-1时，分母$2-a=2-(-1)=3≠0$，$x=2≠0$，符合分式有意义的条件，因此a=-1是符合要求的解。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的解的定义
2. 解一元一次方程
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程含参问题的基础题型，核心解题思路是利用方程解的定义代入原方程，将含参分式方程转化为关于参数的一元一次方程求解，求解后注意验证分母不为0即可，是对基础概念和基本方法的考查。
【难度系数】
0.8

3.已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x^2 -4} + \frac{x}{x-2}=1$的解与分式方程$\frac{3}{5x}=\frac{1}{x-2}$的解相同，求$m$的值.

3.解：$m=2.$

【分析】
本题属于分式方程同解问题，解题思路清晰可分为两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{3}{5x}=\frac{1}{x-2}$，得到它的解并检验是否为非增根的有效解；第二步利用两个方程解相同的性质，将求得的x值代入含参数m的分式方程，建立关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。解题时要注意分式方程必须验根，避免代入增根计算出错。
【解析】
1. 求解分式方程$\frac{3}{5x}=\frac{1}{x-2}$：
去分母，两边同乘最简公分母$5x(x-2)$，得：
$3(x-2)=5x$
去括号：$3x-6=5x$
移项合并同类项：$-2x=6$
系数化为1：$x=-3$
检验：将$x=-3$代入$5x(x-2)$，得$5×(-3)×(-3-2)=75≠0$，因此$x=-3$是该方程的有效解。
2. 由于两个分式方程解相同，将$x=-3$代入$\frac{m}{x^2-4}+\frac{x}{x-2}=1$：
代入得：$\frac{m}{(-3)^2-4}+\frac{-3}{-3-2}=1$
化简：$\frac{m}{5}+\frac{3}{5}=1$
两边同乘5得：$m+3=5$
解得：$m=2$
【答案】
$m=2$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程同解问题
3. 分式方程验根
【点评】
本题是分式方程含参类的基础题型，核心是利用同解的性质建立参数的求解方程，解题过程中牢记分式方程验根的步骤，能有效避免计算错误。
【难度系数】
0.7

4. [2026淮北期末]若关于x的方程$\frac{2x+a}{x-1}=1$的解是正数，则a的取值范围是（）

A.$a＞-1$
B.$a＞-1$且$a≠0$
C.$a＜-1$
D.$a＜-1$且$a≠-2$

4.D

【分析】
要解决这个含参分式方程求参数范围的问题，我们可以按以下思路思考：首先将分式方程转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；再根据“解是正数”的要求列出关于a的不等式，同时注意分式方程的分母不能为0，也就是解不能使原方程的分母为0，需要排除增根的情况，联立两个约束条件就能求出a的取值范围。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$，去分母得：
$2x + a = x - 1$
移项、合并同类项得：
$x = -1 - a$
$\because$ 方程的解是正数
$\therefore x＞0$，即$-1 - a ＞ 0$，解得$a ＜ -1$
又$\because$ 原分式的分母不能为0，即$x-1 ≠ 0$，$x ≠ 1$
$\therefore -1 - a ≠ 1$，解得$a ≠ -2$
综上，a的取值范围是$a ＜ -1$且$a ≠ -2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题时需注意两个约束条件：一是方程的解要满足题目给出的正负要求，二是解不能使原分式的分母为0，很多考生容易忽略增根的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.6

5.若关于$x$的方程$\frac{x+m}{x-2} -1 = \frac{x-1}{2-x}$的解为非负数，则$m$的取值范围是。

5.$m≤ -1$且$m≠ -3$

【分析】
解决本题需按两步思路推导：第一步先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步结合“解为非负数”的要求得到x≥0，同时牢记分式方程分母不能为0（避免出现增根），即x≠2，将表示x的代数式代入这两个限制条件，分别解不等式后合并范围即可，要注意不能漏掉增根的排除。
【解析】
解：给原分式方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（注意$2-x=-(x-2)$），去分母得：
$x+m - (x-2) = -(x-1)$
化简左边：$x+m -x +2 = m+2$
展开右边：$-x+1$
整理等式得：$m+2 = -x +1$
移项求解x得：$x = -m -1$
∵ 方程的解为非负数
∴ $x≥0$，即$-m -1 ≥ 0$，解得$m≤ -1$
又
∵ 分式方程分母不能为0，即$x-2≠0$，得$x≠2$
∴ $-m -1 ≠ 2$，解得$m≠ -3$
综上，m的取值范围为$m≤ -1$且$m≠ -3$
【答案】
$m≤ -1$且$m≠ -3$
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题核心是先求出用参数表示的方程解，再结合解的限制条件推导参数范围，易错点是容易忽略分式分母不为0的要求，漏掉排除增根对应的参数值。
【难度系数】
0.6

6.若关于$x$的分式方程$\frac{2x+3}{x-2}=\frac{k}{(x-2)(x+3)}+2$的解满足$-4＜x＜-1$，则$k$的取值范围是。

6.$-7＜k＜14$且$k≠ 0$

【分析】
解决本题的思路为：①先将分式方程去分母转化为整式方程，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时明确分母不为0的限制条件（$x≠2$且$x≠-3$）；②解整式方程，用含$k$的代数式表示$x$；③结合题目给出的$x$的取值范围$-4＜x＜-1$，代入$x$的表达式解不等式组，同时排除增根$x=-3$对应的$k$值，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
首先确定分式方程的最简公分母为$(x-2)(x+3)$，且$x≠2$，$x≠-3$（分母不为0）。
方程两边同时乘$(x-2)(x+3)$，得：
$(2x+3)(x+3)=k + 2(x-2)(x+3)$
展开左右两边：
左边：$2x^2 + 6x + 3x + 9 = 2x^2 + 9x + 9$
右边：$k + 2(x^2 + x - 6) = k + 2x^2 + 2x - 12$
两边消去$2x^2$，移项合并同类项：
$9x + 9 = 2x + k - 12$
$7x = k - 21$
解得：$x=\frac{k-21}{7}$
接下来根据条件求解：
1. 由解满足$-4＜x＜-1$，代入得：
$-4 ＜ \frac{k-21}{7} ＜ -1$
三边同时乘7得：$-28 ＜ k - 21 ＜ -7$
三边同时加21得：$-7 ＜ k ＜ 14$
2. 由分母不为0，$x≠-3$（$x=2$不在$-4＜x＜-1$范围内，无需考虑），代入$x=\frac{k-21}{7}=-3$，解得$k=0$，故$k≠0$。
综上，$k$的取值范围是$-7＜k＜14$且$k≠0$。
【答案】
$-7＜k＜14$且$k≠ 0$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考题，解题核心是先化分为整得到参数与方程解的关系，需特别注意分式方程隐含的分母不为0的条件，避免遗漏增根对应的参数排除项，再结合解的范围求解即可。
【难度系数】
0.6

7. 已知 $ A = \dfrac{x^2 + x}{x - 4} ÷ \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 8x + 16} $，$ B = \dfrac{x^2 - 2m}{1 - x} $。若关于 $ x $ 的分式方程 $ A + B = 1 $ 的解是非正数，求 $ m $ 的取值范围。

7.解：$m$的取值范围为$m≤ -\dfrac{1}{2}$且$m≠ -3.$

【分析】
解题思路如下：第一步先对分式A进行因式分解、约分化简；第二步将化简后的A和B代入方程A+B=1，通过去分母转化为整式方程，求出用m表示的x的表达式；第三步根据“解是非正数”得到x≤0，列不等式求出m的初步范围；第四步结合分式方程分母不为0的要求，排除增根对应的m值，最终得到m的取值范围。
【解析】
1. 化简$A$：
先对各部分因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-8x+16=(x-4)^2$
则$A=\dfrac{x(x+1)}{x-4} ÷ \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-4)^2}$
除法转化为乘法：$A=\dfrac{x(x+1)}{x-4} × \dfrac{(x-4)^2}{(x+1)(x-1)}$
约分化简得：$A=\dfrac{x(x-4)}{x-1}$（此时需满足$x≠4$且$x≠±1$）
2. 代入方程$A+B=1$求解：
$\dfrac{x(x-4)}{x-1} + \dfrac{x^2 - 2m}{1 - x} = 1$
将第二个分式变形为同分母：$\dfrac{x(x-4)}{x-1} - \dfrac{x^2 - 2m}{x - 1} = 1$
合并分子：$\dfrac{x(x-4) - (x^2 - 2m)}{x - 1} = 1$
分子展开化简：$\dfrac{-4x + 2m}{x-1} = 1$
去分母（两边乘$x-1$，$x≠1$）得：$-4x + 2m = x - 1$
移项整理得：$5x = 2m + 1$，即$x=\dfrac{2m+1}{5}$
3. 根据条件求$m$范围：
① 解是非正数：$\dfrac{2m+1}{5} ≤ 0$，解得$m ≤ -\dfrac{1}{2}$
② 排除增根：原分式分母不能为0，即$x≠1$且$x≠-1$且$x≠4$
若$x=\dfrac{2m+1}{5}=1$，得$m=2$，不在$m ≤ -\dfrac{1}{2}$范围内，无需排除
若$x=\dfrac{2m+1}{5}=-1$，得$m=-3$，在$m ≤ -\dfrac{1}{2}$范围内，需排除
若$x=\dfrac{2m+1}{5}=4$，得$m=\dfrac{19}{2}$，不在$m ≤ -\dfrac{1}{2}$范围内，无需排除
综上可得$m$的取值范围。
【答案】
$m≤ -\dfrac{1}{2}$且$m≠ -3$
【知识点】
分式化简，分式方程含参求解，增根识别
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题核心是先化简分式再求解整式方程，需要特别注意的是，除了满足题中给出的解的限制条件，必须排除使原分式分母为0的增根对应的参数值，避免出现漏判的错误。
【难度系数】
0.5