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6. (★★)某项目小组研究完成一项任务所需时间y(单位:h)与参与人数x(单位:人)的关系，由于人员效率差异、协作损耗等因素，实际测得以下6组数据：
组号 1 2 3 4 5 6
人数x/人 3
5 6 8 10
完成时间y/h 19.8 15.1 12 10.2 7.5 6.1
所需时间y与参与人数x之间是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并解决下面两个问题：
(1)若安排7个人工作，按此模型估算需要多少小时.(保留一位小数)
(2)若要求8 h内完成，至少需要安排多少人？
组号 1 2 3 4 5 6
人数x/人 3
5 6 8 10完成时间y/h 19.8 15.1 12 10.2 7.5 6.1
所需时间y与参与人数x之间是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并解决下面两个问题：
(1)若安排7个人工作，按此模型估算需要多少小时.(保留一位小数)
(2)若要求8 h内完成，至少需要安排多少人？
答案
解：
计算各组数据中x与y的乘积：
$3×19.8\approx60$，$4×15.1\approx60$，$5×12=60$，$6×10.2\approx60$，$8×7.5=60$，$10×6.1\approx60$，
可知y与x存在反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），取$k\approx60$，得到函数模型：
$y=\frac{60}{x}(x＞0)$
(1) 把$x=7$代入$y=\frac{60}{x}$，得
$y=\frac{60}{7}\approx8.6$
(2) 由题意得$y≤8$，即$\frac{60}{x}≤8$，
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得：$60≤8x$，
解得$x≥7.5$，
由于x是正整数，因此x的最小取值为8。
答：(1) 安排7个人工作，估算需要约8.6小时；(2) 若要求8h内完成，至少需要安排8人。
计算各组数据中x与y的乘积：
$3×19.8\approx60$，$4×15.1\approx60$，$5×12=60$，$6×10.2\approx60$，$8×7.5=60$，$10×6.1\approx60$，
可知y与x存在反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），取$k\approx60$，得到函数模型：
$y=\frac{60}{x}(x＞0)$
(1) 把$x=7$代入$y=\frac{60}{x}$，得
$y=\frac{60}{7}\approx8.6$
(2) 由题意得$y≤8$，即$\frac{60}{x}≤8$，
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得：$60≤8x$，
解得$x≥7.5$，
由于x是正整数，因此x的最小取值为8。
答：(1) 安排7个人工作，估算需要约8.6小时；(2) 若要求8h内完成，至少需要安排8人。
解析
【分析】
拿到两个变量的对应数据后，首先观察变化规律：人数x增大时，完成时间y减小，可先计算每组x与y的乘积判断关系。经计算发现x与y的乘积近似为定值60，因此判断y和x符合反比例函数关系，先建立反比例函数模型确定参数k；解决问题(1)时直接将x=7代入解析式求值即可；解决问题(2)时根据“8h内完成”的要求列不等式，解不等式后结合人数为正整数的实际要求得到最小取值。
【解析】
首先计算各组数据中x与y的乘积：
$3×19.8\approx60$，$4×15.1\approx60$，$5×12=60$，$6×10.2\approx60$，$8×7.5=60$，$10×6.1\approx60$，
可知y与x近似满足反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），取$k\approx60$，得到函数模型：$y=\frac{60}{x}(x＞0)$。
(1) 将$x=7$代入$y=\frac{60}{x}$，得：
$y=\frac{60}{7}\approx8.6$
(2) 由题意得完成时间不超过8h，即$y≤8$，代入解析式得：
$\frac{60}{x}≤8$
由于x代表人数，因此$x＞0$，不等式两边同乘x得：
$60≤8x$
解得$x≥7.5$，又因为x为正整数，因此x的最小取值为8。
【答案】
(1) 安排7个人工作，估算需要约8.6小时；(2) 若要求8h内完成，至少需要安排8人。
【知识点】
反比例函数的应用，解一元一次不等式，函数建模
【点评】
本题结合实际工作场景考查函数关系的探究，解题关键是从给定数据中发现x与y乘积近似为定值的规律，建立反比例函数模型，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实要求（人数为正整数），能有效锻炼学生的数据处理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
拿到两个变量的对应数据后，首先观察变化规律：人数x增大时，完成时间y减小，可先计算每组x与y的乘积判断关系。经计算发现x与y的乘积近似为定值60，因此判断y和x符合反比例函数关系，先建立反比例函数模型确定参数k；解决问题(1)时直接将x=7代入解析式求值即可；解决问题(2)时根据“8h内完成”的要求列不等式，解不等式后结合人数为正整数的实际要求得到最小取值。
【解析】
首先计算各组数据中x与y的乘积：
$3×19.8\approx60$，$4×15.1\approx60$，$5×12=60$，$6×10.2\approx60$，$8×7.5=60$，$10×6.1\approx60$，
可知y与x近似满足反比例函数关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），取$k\approx60$，得到函数模型：$y=\frac{60}{x}(x＞0)$。
(1) 将$x=7$代入$y=\frac{60}{x}$，得：
$y=\frac{60}{7}\approx8.6$
(2) 由题意得完成时间不超过8h，即$y≤8$，代入解析式得：
$\frac{60}{x}≤8$
由于x代表人数，因此$x＞0$，不等式两边同乘x得：
$60≤8x$
解得$x≥7.5$，又因为x为正整数，因此x的最小取值为8。
【答案】
(1) 安排7个人工作，估算需要约8.6小时；(2) 若要求8h内完成，至少需要安排8人。
【知识点】
反比例函数的应用，解一元一次不等式，函数建模
【点评】
本题结合实际工作场景考查函数关系的探究，解题关键是从给定数据中发现x与y乘积近似为定值的规律，建立反比例函数模型，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合现实要求（人数为正整数），能有效锻炼学生的数据处理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
7. (★★)某物理实验小组研究压强$p$(单位:$\mathrm{Pa}$)与受力面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)的关系,通过实验得到了6组数据:
则能较好地反映$p$与$S$之间的关系式是
【 】
A.$p=\dfrac{540}{S}$
B.$p=\dfrac{580}{S}$
C.$p=\dfrac{600}{S}$
D.$p=\dfrac{610}{S}$
则能较好地反映$p$与$S$之间的关系式是
【 】
A.$p=\dfrac{540}{S}$
B.$p=\dfrac{580}{S}$
C.$p=\dfrac{600}{S}$
D.$p=\dfrac{610}{S}$
答案
C
解析
【分析】
根据物理规律，压力一定时压强与受力面积成反比例关系，因此可设$p$与$S$的关系式为$p=\frac{k}{S}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$k=pS$。我们只需计算每组实验数据中$p$和$S$的乘积，观察乘积最接近的常数值，即可确定$k$，选出正确关系式。
【解析】
解：设$p$与$S$的函数关系式为$p=\frac{k}{S}$，则$k=pS$。
分别计算6组数据的$p· S$值：
1. $S=10\mathrm{m}^2$，$p=55\mathrm{Pa}$时，$pS=10×55=550$
2. $S=20\mathrm{m}^2$，$p=29\mathrm{Pa}$时，$pS=20×29=580$
3. $S=30\mathrm{m}^2$，$p=21\mathrm{Pa}$时，$pS=30×21=630$
4. $S=40\mathrm{m}^2$，$p=16\mathrm{Pa}$时，$pS=40×16=640$
5. $S=50\mathrm{m}^2$，$p=12\mathrm{Pa}$时，$pS=50×12=600$
6. $S=60\mathrm{m}^2$，$p=10\mathrm{Pa}$时，$pS=60×10=600$
计算6组乘积的平均值：$\frac{550+580+630+640+600+600}{6}=600$
受实验误差影响，所有乘积都接近600，因此$k=600$，即$p=\frac{600}{S}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理实验场景考查反比例函数的应用，解题核心是明确反比例函数的形式，通过计算数据乘积确定常数项，需注意实验数据存在合理误差，取最接近的平均数值即可。
【难度系数】
0.7
根据物理规律，压力一定时压强与受力面积成反比例关系，因此可设$p$与$S$的关系式为$p=\frac{k}{S}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$k=pS$。我们只需计算每组实验数据中$p$和$S$的乘积，观察乘积最接近的常数值，即可确定$k$，选出正确关系式。
【解析】
解：设$p$与$S$的函数关系式为$p=\frac{k}{S}$，则$k=pS$。
分别计算6组数据的$p· S$值：
1. $S=10\mathrm{m}^2$，$p=55\mathrm{Pa}$时，$pS=10×55=550$
2. $S=20\mathrm{m}^2$，$p=29\mathrm{Pa}$时，$pS=20×29=580$
3. $S=30\mathrm{m}^2$，$p=21\mathrm{Pa}$时，$pS=30×21=630$
4. $S=40\mathrm{m}^2$，$p=16\mathrm{Pa}$时，$pS=40×16=640$
5. $S=50\mathrm{m}^2$，$p=12\mathrm{Pa}$时，$pS=50×12=600$
6. $S=60\mathrm{m}^2$，$p=10\mathrm{Pa}$时，$pS=60×10=600$
计算6组乘积的平均值：$\frac{550+580+630+640+600+600}{6}=600$
受实验误差影响，所有乘积都接近600，因此$k=600$，即$p=\frac{600}{S}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理实验场景考查反比例函数的应用，解题核心是明确反比例函数的形式，通过计算数据乘积确定常数项，需注意实验数据存在合理误差，取最接近的平均数值即可。
【难度系数】
0.7
8. (★★)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动. 在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F(单位:N)与l(单位:m)有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
(1)表格中a的值是.
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图②所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
(1)表格中a的值是.
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图②所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
答案
解：
(1) 由表格数据可得$F· l = 300$，即函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，
当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 在平面直角坐标系中依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线顺次连接各点，得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，其中$k=300＞0$，且自变量$l＞0$，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
(1) 由表格数据可得$F· l = 300$，即函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，
当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 在平面直角坐标系中依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线顺次连接各点，得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，其中$k=300＞0$，且自变量$l＞0$，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
解析
【分析】
本题结合古代汲水工具的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：(1)先观察表格中F和l的对应数据，计算每组的乘积，发现乘积为定值300，确定F是l的反比例函数，写出函数解析式后将l=3代入即可求出a的值；(2)根据表格给出的5组对应值，在坐标系中准确描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象，注意自变量l为长度，取值为正，图象仅在第一象限；(3)根据反比例函数的比例系数k的正负，结合自变量的取值范围，判断函数的增减性，即可得出拉力F随OA长度变化的规律。
【解析】
(1) 观察表格数据可得，每组F与l的乘积均为300，因此F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 先在平面直角坐标系中依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：由(1)可知F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，其中$k=300＞0$，且自变量$l＞0$，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$
(2) 画出第一象限内过点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$的平滑反比例函数图象即可
(3) 拉力F减小，理由见上述解析
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题结合传统文化中的古代工具创设情境，将数学知识与实际生活紧密结合，既考查了学生从数据中归纳函数关系的能力，也考查了反比例函数图象绘制、性质应用的核心知识点，引导学生体会数学的实用价值。
【难度系数】
0.8
本题结合古代汲水工具的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：(1)先观察表格中F和l的对应数据，计算每组的乘积，发现乘积为定值300，确定F是l的反比例函数，写出函数解析式后将l=3代入即可求出a的值；(2)根据表格给出的5组对应值，在坐标系中准确描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象，注意自变量l为长度，取值为正，图象仅在第一象限；(3)根据反比例函数的比例系数k的正负，结合自变量的取值范围，判断函数的增减性，即可得出拉力F随OA长度变化的规律。
【解析】
(1) 观察表格数据可得，每组F与l的乘积均为300，因此F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 先在平面直角坐标系中依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：由(1)可知F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$，其中$k=300＞0$，且自变量$l＞0$，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$
(2) 画出第一象限内过点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$的平滑反比例函数图象即可
(3) 拉力F减小，理由见上述解析
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题结合传统文化中的古代工具创设情境，将数学知识与实际生活紧密结合，既考查了学生从数据中归纳函数关系的能力，也考查了反比例函数图象绘制、性质应用的核心知识点，引导学生体会数学的实用价值。
【难度系数】
0.8
