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20.设“△”“○”“□”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么下列式子成立的是（
A.$□=2×◯$
B.$□＞2×◯$
C.$□＜2×◯$
D.$□＞3×◯$
B
）A.$□=2×◯$
B.$□＞2×◯$
C.$□＜2×◯$
D.$□＞3×◯$
答案
20.B
解析
【分析】
解题时先利用天平平衡时左右质量相等的特点，得出△和○的质量关系，再根据天平下沉侧质量更大的规律，得到□和△的质量关系，最后通过等量代换即可推导出□和○的质量关系，对应选出正确选项。
【解析】
设△的质量为$a$，○的质量为$b$，□的质量为$c$：
1. 观察右侧平衡的天平，左右两边质量相等，可得：
$a + b = 3b$
根据等式的性质，两边同时减去$b$，得$a=2b$，即1个△的质量等于2个○的质量。
2. 观察左侧倾斜的天平，左侧下沉说明左侧质量更大，可得：
$c + a ＞ 2a$
根据不等式的性质，两边同时减去$a$，得$c＞a$。
3. 将$a=2b$代入$c＞a$，可得$c＞2b$，也就是$□＞2×○$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质，不等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平称重的生活场景，考查对等式、不等式性质的运用能力，解题关键是先从平衡天平得到两个物体的等量关系，再代入不等关系推导，逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
解题时先利用天平平衡时左右质量相等的特点，得出△和○的质量关系，再根据天平下沉侧质量更大的规律，得到□和△的质量关系，最后通过等量代换即可推导出□和○的质量关系，对应选出正确选项。
【解析】
设△的质量为$a$，○的质量为$b$，□的质量为$c$：
1. 观察右侧平衡的天平，左右两边质量相等，可得：
$a + b = 3b$
根据等式的性质，两边同时减去$b$，得$a=2b$，即1个△的质量等于2个○的质量。
2. 观察左侧倾斜的天平，左侧下沉说明左侧质量更大，可得：
$c + a ＞ 2a$
根据不等式的性质，两边同时减去$a$，得$c＞a$。
3. 将$a=2b$代入$c＞a$，可得$c＞2b$，也就是$□＞2×○$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质，不等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平称重的生活场景，考查对等式、不等式性质的运用能力，解题关键是先从平衡天平得到两个物体的等量关系，再代入不等关系推导，逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
21.已知$a,b$为常数，若$ax+b＞0$的解集为$x＜\frac{1}{5}$，则$bx - a＜0$的解集是（
A.$x＞-5$
B.$x＜-5$
C.$x＞5$
D.$x＜5$
B
）A.$x＞-5$
B.$x＜-5$
C.$x＞5$
D.$x＜5$
答案
21.B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合已知不等式的解集，利用不等式的性质逐步推导：①先解不等式$ax+b＞0$，根据解集的不等号方向与原不等式相反，可判断系数$a$为负数，进而得到$x$的解集表达式，和已知解集对比就能得出$a$、$b$的数量关系；②根据$a$的正负推导$b$的正负；③将$a$用含$b$的式子代入所求不等式$bx - a＜0$，再根据不等式的性质求解集即可。
【解析】
解：先解不等式$ax + b ＞ 0$，
移项得：$ax ＞ -b$，
∵ 该不等式的解集为$x ＜ \frac{1}{5}$，不等号方向发生改变，
∴ 未知数系数$a ＜ 0$，
不等式两边同时除以$a$（负数），得：$x ＜ \frac{-b}{a}$，
∴ $\frac{-b}{a} = \frac{1}{5}$，交叉相乘得$a = -5b$，
又
∵ $a ＜ 0$，即$-5b ＜ 0$，解得$b ＞ 0$，
再解不等式$bx - a ＜ 0$，将$a = -5b$代入得：
$bx - (-5b) ＜ 0$，即$bx + 5b ＜ 0$，
移项得：$bx ＜ -5b$，
∵ $b ＞ 0$，不等式两边同时除以$b$（正数），不等号方向不变，
∴ $x ＜ -5$。
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解法；不等式的解集
【点评】
本题核心考查不等式性质的应用，解题的关键是根据已知不等式的解集确定未知系数的正负以及系数之间的数量关系，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，这是这类题的易错点。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合已知不等式的解集，利用不等式的性质逐步推导：①先解不等式$ax+b＞0$，根据解集的不等号方向与原不等式相反，可判断系数$a$为负数，进而得到$x$的解集表达式，和已知解集对比就能得出$a$、$b$的数量关系；②根据$a$的正负推导$b$的正负；③将$a$用含$b$的式子代入所求不等式$bx - a＜0$，再根据不等式的性质求解集即可。
【解析】
解：先解不等式$ax + b ＞ 0$，
移项得：$ax ＞ -b$，
∵ 该不等式的解集为$x ＜ \frac{1}{5}$，不等号方向发生改变，
∴ 未知数系数$a ＜ 0$，
不等式两边同时除以$a$（负数），得：$x ＜ \frac{-b}{a}$，
∴ $\frac{-b}{a} = \frac{1}{5}$，交叉相乘得$a = -5b$，
又
∵ $a ＜ 0$，即$-5b ＜ 0$，解得$b ＞ 0$，
再解不等式$bx - a ＜ 0$，将$a = -5b$代入得：
$bx - (-5b) ＜ 0$，即$bx + 5b ＜ 0$，
移项得：$bx ＜ -5b$，
∵ $b ＞ 0$，不等式两边同时除以$b$（正数），不等号方向不变，
∴ $x ＜ -5$。
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解法；不等式的解集
【点评】
本题核心考查不等式性质的应用，解题的关键是根据已知不等式的解集确定未知系数的正负以及系数之间的数量关系，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，这是这类题的易错点。
【难度系数】
0.6
22.若$a＜-1$,则$a^2$
＞
$a$.(选填“＞”或“＜”)答案
22.＞
解析
【分析】
要比较$a^2$和$a$的大小，可结合已知条件$a＜-1$先判断两个式子的符号：首先$a$小于$-1$，说明$a$是负数；而任何非零数的平方都是正数，所以$a^2$是正数，根据“正数大于所有负数”的性质就能直接得出大小关系，也可以通过举符合条件的特例代入计算验证结果。
【解析】
解：$\because a＜-1$，
$\therefore a$是负数，即$a＜0$，
又$\because$负数的平方是正数，即$a^2＞0$，
根据正数大于负数的规律，可得$a^2＞0＞a$，
$\therefore a^2＞a$。
也可举例验证：取$a=-2$（满足$a＜-1$），此时$a^2=(-2)^2=4$，$4＞-2$，即$a^2＞a$。
【答案】
＞
【知识点】
有理数大小比较；有理数的乘方
【点评】
本题考查有理数基本性质的应用，解题时既可以通过判断代数式的符号快速比较大小，也可以用特值法代入验证，方法灵活，属于基础题型，需熟练掌握有理数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.9
要比较$a^2$和$a$的大小，可结合已知条件$a＜-1$先判断两个式子的符号：首先$a$小于$-1$，说明$a$是负数；而任何非零数的平方都是正数，所以$a^2$是正数，根据“正数大于所有负数”的性质就能直接得出大小关系，也可以通过举符合条件的特例代入计算验证结果。
【解析】
解：$\because a＜-1$，
$\therefore a$是负数，即$a＜0$，
又$\because$负数的平方是正数，即$a^2＞0$，
根据正数大于负数的规律，可得$a^2＞0＞a$，
$\therefore a^2＞a$。
也可举例验证：取$a=-2$（满足$a＜-1$），此时$a^2=(-2)^2=4$，$4＞-2$，即$a^2＞a$。
【答案】
＞
【知识点】
有理数大小比较；有理数的乘方
【点评】
本题考查有理数基本性质的应用，解题时既可以通过判断代数式的符号快速比较大小，也可以用特值法代入验证，方法灵活，属于基础题型，需熟练掌握有理数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.9
23.已知$x＜y$，实数$a$使得$ax＞ay$，则$a$为
负实
数.答案
23.负实
解析
【分析】
解题时先回忆不等式的基本性质，观察已知不等式的变化：原不等式为$x＜y$，两边同时乘$a$后不等号方向发生了改变，根据不等式乘除运算时不等号方向变化的规律，就能判断$a$的正负性，再结合题目给出$a$是实数的条件，就能得到最终结论。
【解析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。
已知$x ＜ y$，两边同时乘实数$a$后得到$ax ＞ ay$，不等号方向反向，说明$a$是小于0的实数，即负实数。
【答案】
负实
【知识点】
不等式的基本性质、实数的分类
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对不等式性质的掌握，需要准确区分不等式两边乘正数和负数时不等号方向的变化规律，避免混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆不等式的基本性质，观察已知不等式的变化：原不等式为$x＜y$，两边同时乘$a$后不等号方向发生了改变，根据不等式乘除运算时不等号方向变化的规律，就能判断$a$的正负性，再结合题目给出$a$是实数的条件，就能得到最终结论。
【解析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。
已知$x ＜ y$，两边同时乘实数$a$后得到$ax ＞ ay$，不等号方向反向，说明$a$是小于0的实数，即负实数。
【答案】
负实
【知识点】
不等式的基本性质、实数的分类
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对不等式性质的掌握，需要准确区分不等式两边乘正数和负数时不等号方向的变化规律，避免混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
24.在0,3,4,6四个数中，
6
是不等式$x+1＞5$的解。答案
24.6
解析
【分析】
解题时首先要先求出不等式$x+1＞5$的解集，再将给出的四个数字和解集对比，符合解集范围的就是不等式的解。求解集时可以利用不等式的基本性质，给不等式两边同时减去1得到$x$的取值范围，再逐一验证四个数是否符合要求即可。
【解析】
1. 先求解不等式$x+1＞5$：
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$x+1-1＞5-1$，即$x＞4$。
2. 逐一验证给出的四个数：
$0＜4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$3＜4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$4=4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$6＞4$，满足$x＞4$，是不等式的解。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的解的判定
【点评】
本题是基础题型，主要考查不等式基本性质的应用以及不等式解的判断，掌握基础的解不等式步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要先求出不等式$x+1＞5$的解集，再将给出的四个数字和解集对比，符合解集范围的就是不等式的解。求解集时可以利用不等式的基本性质，给不等式两边同时减去1得到$x$的取值范围，再逐一验证四个数是否符合要求即可。
【解析】
1. 先求解不等式$x+1＞5$：
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$x+1-1＞5-1$，即$x＞4$。
2. 逐一验证给出的四个数：
$0＜4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$3＜4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$4=4$，不满足$x＞4$，不是不等式的解；
$6＞4$，满足$x＞4$，是不等式的解。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的解的判定
【点评】
本题是基础题型，主要考查不等式基本性质的应用以及不等式解的判断，掌握基础的解不等式步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
25.若$a＞b$，则$ac^2$
≥
$bc^2.$答案
25.≥
解析
【分析】
解题时首先要明确平方数的性质：任何实数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，再结合不等式的基本性质分两种情况讨论：①当$c≠0$时，$c^2＞0$，此时在不等式$a＞b$两边同时乘正数$c^2$，不等号方向不变；②当$c=0$时，$c^2=0$，此时在不等式两边同时乘0，两边结果相等。综合两种情况即可判断大小关系。
【解析】
解：
∵ 任何数的平方都为非负数，
∴ $c^2≥0$，
又
∵ $a＞b$，
分两种情况讨论：
1. 当$c^2＞0$（即$c≠0$）时，根据不等式的性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得$ac^2＞bc^2$；
2. 当$c^2=0$（即$c=0$）时，$ac^2=a×0=0$，$bc^2=b×0=0$，可得$ac^2=bc^2$。
综上，$ac^2≥ bc^2$。
【答案】
$≥$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略$c=0$的特殊情况，直接判断为$ac^2＞bc^2$，解题时要注意全面考虑平方的取值情况，结合不等式性质分类讨论即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平方数的性质：任何实数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，再结合不等式的基本性质分两种情况讨论：①当$c≠0$时，$c^2＞0$，此时在不等式$a＞b$两边同时乘正数$c^2$，不等号方向不变；②当$c=0$时，$c^2=0$，此时在不等式两边同时乘0，两边结果相等。综合两种情况即可判断大小关系。
【解析】
解：
∵ 任何数的平方都为非负数，
∴ $c^2≥0$，
又
∵ $a＞b$，
分两种情况讨论：
1. 当$c^2＞0$（即$c≠0$）时，根据不等式的性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得$ac^2＞bc^2$；
2. 当$c^2=0$（即$c=0$）时，$ac^2=a×0=0$，$bc^2=b×0=0$，可得$ac^2=bc^2$。
综上，$ac^2≥ bc^2$。
【答案】
$≥$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略$c=0$的特殊情况，直接判断为$ac^2＞bc^2$，解题时要注意全面考虑平方的取值情况，结合不等式性质分类讨论即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
26.如图,要使输出值y大于100,则输入的最小正整数x是
21
. 答案
26.21
解析
【分析】
解题时首先要读懂程序流程图的运算规则，需要分x为奇数、x为偶数两种情况讨论：分别列出两种情况对应的y与x的关系式，再根据y＞100列出不等式，求解得到每种情况下x的最小正整数值，最后对比两个值，更小的就是所求的最小正整数x。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当输入的x为奇数时，根据程序规则可得：$y=5x$
要求$y＞100$，代入得不等式：$5x＞100$
解得：$x＞20$
大于20的最小正奇数是21，即此时最小x为21。
2. 当输入的x为偶数时，根据程序规则可得：$y=4x+13$
要求$y＞100$，代入得不等式：$4x+13＞100$
移项计算得：$4x＞87$，即$x＞21.75$
大于21.75的最小正偶数是22，即此时最小x为22。
对比两种情况的结果，$21＜22$，因此输入的最小正整数x是21。
【答案】
21
【知识点】
一元一次不等式求解，分类讨论思想，程序流程图运算
【点评】
本题结合程序流程图考查不等式的实际应用，解题的关键是不漏掉x的奇偶性分类，分别计算后再对比结果得到最小值，能有效考查学生的分类讨论意识和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂程序流程图的运算规则，需要分x为奇数、x为偶数两种情况讨论：分别列出两种情况对应的y与x的关系式，再根据y＞100列出不等式，求解得到每种情况下x的最小正整数值，最后对比两个值，更小的就是所求的最小正整数x。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当输入的x为奇数时，根据程序规则可得：$y=5x$
要求$y＞100$，代入得不等式：$5x＞100$
解得：$x＞20$
大于20的最小正奇数是21，即此时最小x为21。
2. 当输入的x为偶数时，根据程序规则可得：$y=4x+13$
要求$y＞100$，代入得不等式：$4x+13＞100$
移项计算得：$4x＞87$，即$x＞21.75$
大于21.75的最小正偶数是22，即此时最小x为22。
对比两种情况的结果，$21＜22$，因此输入的最小正整数x是21。
【答案】
21
【知识点】
一元一次不等式求解，分类讨论思想，程序流程图运算
【点评】
本题结合程序流程图考查不等式的实际应用，解题的关键是不漏掉x的奇偶性分类，分别计算后再对比结果得到最小值，能有效考查学生的分类讨论意识和运算能力。
【难度系数】
0.7
27.给出下列结论：
①不等式 $ x + a ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＞ -a $；
②不等式 $ 4x ＜ -48 $ 与不等式 $ 2x ＞ -24 $ 的解集相同；
③不等式 $ x ＞ 1 $ 与不等式 $ ax ＞ a(a ≠ 0) $ 有相同的解集；
④若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $；
⑤若 $ a ＞ b $，则 $ 3a ＞ 3b $；
⑥若 $ a ＞ b $，则 $ a + 5 ＞ b + 5 $；
⑦若 $ a ＞ b $，则 $ ac^2 ＞ bc^2 $。
其中不正确的是
①不等式 $ x + a ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＞ -a $；
②不等式 $ 4x ＜ -48 $ 与不等式 $ 2x ＞ -24 $ 的解集相同；
③不等式 $ x ＞ 1 $ 与不等式 $ ax ＞ a(a ≠ 0) $ 有相同的解集；
④若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $；
⑤若 $ a ＞ b $，则 $ 3a ＞ 3b $；
⑥若 $ a ＞ b $，则 $ a + 5 ＞ b + 5 $；
⑦若 $ a ＞ b $，则 $ ac^2 ＞ bc^2 $。
其中不正确的是
②③④⑦
(填序号).答案
27.②③④⑦
解析
【分析】
本题考查不等式相关结论的正误判断，解题核心是熟练掌握不等式的基本性质，逐个分析每个结论：首先回忆不等式的三条基本性质：1.不等式两边加/减同一个数/式子，不等号方向不变；2.不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3.不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。判断时注意特殊值的代入验证，以及含字母系数时要分类讨论正负性。
【解析】
我们逐个判断各结论的正误：
① 对不等式$x+a＞0$移项，得$x＞-a$，该结论正确；
② 解$4x＜-48$，两边同除以4得$x＜-12$；解$2x＞-24$，两边同除以2得$x＞-12$，两个不等式解集不同，该结论错误；
③ 对不等式$ax＞a(a≠0)$，若$a＞0$，解得$x＞1$；若$a＜0$，解得$x＜1$，与$x＞1$的解集不一定相同，该结论错误；
④ 举反例：$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$a^2=1＜b^2=4$，该结论错误；
⑤ 根据不等式性质2，$a＞b$两边同乘正数3，不等号方向不变，得$3a＞3b$，该结论正确；
⑥ 根据不等式性质1，$a＞b$两边同加5，不等号方向不变，得$a+5＞b+5$，该结论正确；
⑦ 当$c=0$时，$c^2=0$，此时$ac^2=bc^2=0$，不满足$ac^2＞bc^2$，该结论错误。
综上，不正确的是②③④⑦。
【答案】
②③④⑦
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式，命题真假判断
【点评】
本题易错点在于忽略含字母系数的正负分类、特殊值0的情况，以及误用不等式性质（比如乘负数忘记变号，默认乘的是正数），判断时可以结合举反例的方法快速验证结论是否成立。
【难度系数】
0.6
本题考查不等式相关结论的正误判断，解题核心是熟练掌握不等式的基本性质，逐个分析每个结论：首先回忆不等式的三条基本性质：1.不等式两边加/减同一个数/式子，不等号方向不变；2.不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3.不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。判断时注意特殊值的代入验证，以及含字母系数时要分类讨论正负性。
【解析】
我们逐个判断各结论的正误：
① 对不等式$x+a＞0$移项，得$x＞-a$，该结论正确；
② 解$4x＜-48$，两边同除以4得$x＜-12$；解$2x＞-24$，两边同除以2得$x＞-12$，两个不等式解集不同，该结论错误；
③ 对不等式$ax＞a(a≠0)$，若$a＞0$，解得$x＞1$；若$a＜0$，解得$x＜1$，与$x＞1$的解集不一定相同，该结论错误；
④ 举反例：$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$a^2=1＜b^2=4$，该结论错误；
⑤ 根据不等式性质2，$a＞b$两边同乘正数3，不等号方向不变，得$3a＞3b$，该结论正确；
⑥ 根据不等式性质1，$a＞b$两边同加5，不等号方向不变，得$a+5＞b+5$，该结论正确；
⑦ 当$c=0$时，$c^2=0$，此时$ac^2=bc^2=0$，不满足$ac^2＞bc^2$，该结论错误。
综上，不正确的是②③④⑦。
【答案】
②③④⑦
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式，命题真假判断
【点评】
本题易错点在于忽略含字母系数的正负分类、特殊值0的情况，以及误用不等式性质（比如乘负数忘记变号，默认乘的是正数），判断时可以结合举反例的方法快速验证结论是否成立。
【难度系数】
0.6
28.不等式$-4 ＜ -x$的正整数解为
1,2,3
。答案
28.1,2,3
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：第一步先解给定的一元一次不等式，求出x的取值范围；第二步在x的取值范围内筛选出正整数，就是要求的解。解不等式时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向需要改变，这是解题的关键。
【解析】
解不等式$-4 ＜ -x$：
根据不等式的性质，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得：
$4 ＞ x$，即$x ＜ 4$。
正整数是指大于0的整数，因此满足$x ＜ 4$的正整数为1、2、3。
【答案】
1,2,3
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的性质、正整数概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的解法及特殊解的筛选，易错点是处理负系数时忘记改变不等号的方向，掌握不等式的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们分两步思考：第一步先解给定的一元一次不等式，求出x的取值范围；第二步在x的取值范围内筛选出正整数，就是要求的解。解不等式时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向需要改变，这是解题的关键。
【解析】
解不等式$-4 ＜ -x$：
根据不等式的性质，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得：
$4 ＞ x$，即$x ＜ 4$。
正整数是指大于0的整数，因此满足$x ＜ 4$的正整数为1、2、3。
【答案】
1,2,3
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的性质、正整数概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的解法及特殊解的筛选，易错点是处理负系数时忘记改变不等号的方向，掌握不等式的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
