29. 阅读材料,解决下列问题.
材料:已知实数$x,y$满足$x＞y＞0$,求证:$x^2＞y^2$.
证明:$\because x＞y＞0$(已知),
$\therefore x^2＞xy,xy＞y^2$(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变).
$\therefore x^2＞xy＞y^2$(不等式的传递性).
即$x^2＞y^2$.
采用上述推理方式,解决下列问题:(可以不写各步骤的依据)
(1)若$a＜b$,求证:$\frac{a+b}{2}＜b$;
(2)已知有理数$a,b,c$满足$a+b+c=0,c≥-3,5a+3b+2c≥0$,试求$a$的最小值.

29.(1)证明:$\because a＜b$,
$\therefore a+b＜b+b$,
$\therefore a+b＜2b$,
$\therefore \frac{a+b}{2}＜b$.
(2)解:$\because a+b+c=0,5a+3b+2c≥0$,
$\therefore 5a+3b+2c=2(a+b+c)+3a+b=3a+b≥0$.
又$\because a+b+c=0$,
$\therefore b=-a-c$,
$\therefore 3a+b=3a-a-c=2a-c≥0$,
$\therefore 2a≥c$.
$\because c≥-3$,
$\therefore 2a≥-3$,
$\therefore a≥-\frac{3}{2}$,
$\therefore a$ 的最小值是$-\frac{3}{2}$.

【分析】
(1)要证明$\frac{a+b}{2}＜b$，可从已知$a＜b$出发，利用不等式基本性质，给不等式两边同时加$b$得到$a+b＜2b$，再给两边同时除以正数2，不等号方向不变，即可推导出待证结论。
(2)要求$a$的最小值，需要建立$a$和已知取值范围的$c$的关系。首先利用$a+b+c=0$对不等式$5a+3b+2c≥0$化简消元，先消去$c$得到关于$a$、$b$的不等式，再将$b$用含$a$、$c$的式子替换，得到$a$和$c$的不等关系，最后结合$c≥-3$求出$a$的取值范围，即可得到$a$的最小值。
【解析】
(1)证明：$\because a＜b$，
$\therefore a+b＜b+b$，
$\therefore a+b＜2b$，
$\therefore \frac{a+b}{2}＜b$。
(2)解：$\because a+b+c=0,5a+3b+2c≥0$，
$\therefore 5a+3b+2c=2(a+b+c)+3a+b=3a+b≥0$，
又$\because a+b+c=0$，
$\therefore b=-a-c$，
$\therefore 3a+b=3a-a-c=2a-c≥0$，
$\therefore 2a≥c$，
$\because c≥-3$，
$\therefore 2a≥-3$，
$\therefore a≥-\frac{3}{2}$，
$\therefore a$的最小值是$-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$a$的最小值为$-\frac{3}{2}$。
【知识点】
不等式的基本性质，代数式化简，不等式求解
【点评】
本题第一问是基础的不等式证明，直接运用不等式性质即可推导；第二问需要灵活运用已知等式对不等式进行消元变形，将多个未知量的关系转化为目标量和已知范围量的关系，考察了代数变形能力和逻辑推理能力，是不等式性质的综合应用题型。
【难度系数】
0.65