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9.把一次函数$y=2x-1$的图象沿$y$轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为
$y=2x+1$
.答案
9.$y=2x+1$
解析
【分析】
解决本题首先要明确一次函数纵向平移的规律：一次函数沿y轴上下平移时，直线的倾斜程度不变，即表达式中x的系数k不变，仅常数项b发生变化，遵循“上加下减”的原则：向上平移n个单位，就在原函数的常数项上加n；向下平移n个单位，就在原函数的常数项上减n。本题是向上平移2个单位，直接套用该规律计算即可。
【解析】
已知原一次函数的表达式为$y=2x-1$，将其图象沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减常数项”的平移规律，平移后的函数表达式为：
$y=2x - 1 + 2$
化简后可得：$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
一次函数图象平移、一次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的平移规则，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀，明确不同平移方向对应的变化规则，即可快速求出正确结果，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确一次函数纵向平移的规律：一次函数沿y轴上下平移时，直线的倾斜程度不变，即表达式中x的系数k不变，仅常数项b发生变化，遵循“上加下减”的原则：向上平移n个单位，就在原函数的常数项上加n；向下平移n个单位，就在原函数的常数项上减n。本题是向上平移2个单位，直接套用该规律计算即可。
【解析】
已知原一次函数的表达式为$y=2x-1$，将其图象沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减常数项”的平移规律，平移后的函数表达式为：
$y=2x - 1 + 2$
化简后可得：$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
一次函数图象平移、一次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的平移规则，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀，明确不同平移方向对应的变化规则，即可快速求出正确结果，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，将△ABC沿BC方向平移a(a＜5)个单位长度得到△DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD，则阴影部分的周长为
12
。答案
10.12
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件入手，先用勾股定理求出AC的长度；再结合平移的性质，得到对应边、对应点连线的等量关系；最后将阴影部分的周长拆解重组，会发现含有平移距离a的项可以相互抵消，代入已知边长即可求出结果，不需要单独计算a的数值。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵△ABC沿BC方向平移a个单位得到△DEF，
∴AD=BE=a，DE=AB=4。
∴EC=BC-BE=5 - a。
阴影部分由△ADG和△ECG组成，其周长为：
$C_{阴影}=AD+AG+DG + EC+EG+CG$
$=(AD+EC)+(AG+CG)+(DG+EG)$
$=(AD+EC)+AC+DE$
代入对应边长计算：
$C_{阴影}=a + (5 - a) + 3 + 4 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质对阴影周长进行拆分重组，通过整体运算消去未知的平移量，避免了复杂的线段长度求解，考查了整体思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形条件入手，先用勾股定理求出AC的长度；再结合平移的性质，得到对应边、对应点连线的等量关系；最后将阴影部分的周长拆解重组，会发现含有平移距离a的项可以相互抵消，代入已知边长即可求出结果，不需要单独计算a的数值。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵△ABC沿BC方向平移a个单位得到△DEF，
∴AD=BE=a，DE=AB=4。
∴EC=BC-BE=5 - a。
阴影部分由△ADG和△ECG组成，其周长为：
$C_{阴影}=AD+AG+DG + EC+EG+CG$
$=(AD+EC)+(AG+CG)+(DG+EG)$
$=(AD+EC)+AC+DE$
代入对应边长计算：
$C_{阴影}=a + (5 - a) + 3 + 4 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质对阴影周长进行拆分重组，通过整体运算消去未知的平移量，避免了复杂的线段长度求解，考查了整体思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
11.若$x - y - 7 = 0$,则代数式$x^2 - y^2 - 14y$的值为
49
.答案
11.49
解析
【分析】
首先从已知等式可推出$x-y=7$，观察所求代数式的结构，$x^2-y^2$符合平方差公式的因式分解形式，因此先利用平方差公式对代数式变形，再将$x-y=7$整体代入化简，最后再次整体代入$x-y$的值即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：由$x - y - 7 = 0$，可得$x - y = 7$。
对代数式$x^2 - y^2 - 14y$因式分解：
$x^2 - y^2 - 14y = (x-y)(x+y) - 14y$
将$x - y = 7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7(x+y)-14y\\&=7x + 7y -14y\\&=7x -7y\\&=7(x-y)\end{aligned}$
再将$x - y =7$代入，得：
$原式=7×7=49$
【答案】
49
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数求值类常见题型，核心是灵活运用平方差公式对目标代数式变形，结合整体代入的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对公式的运用能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
首先从已知等式可推出$x-y=7$，观察所求代数式的结构，$x^2-y^2$符合平方差公式的因式分解形式，因此先利用平方差公式对代数式变形，再将$x-y=7$整体代入化简，最后再次整体代入$x-y$的值即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：由$x - y - 7 = 0$，可得$x - y = 7$。
对代数式$x^2 - y^2 - 14y$因式分解：
$x^2 - y^2 - 14y = (x-y)(x+y) - 14y$
将$x - y = 7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7(x+y)-14y\\&=7x + 7y -14y\\&=7x -7y\\&=7(x-y)\end{aligned}$
再将$x - y =7$代入，得：
$原式=7×7=49$
【答案】
49
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数求值类常见题型，核心是灵活运用平方差公式对目标代数式变形，结合整体代入的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对公式的运用能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
12.如图,我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”.设直角三角形的直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$.若$b-a=4,c=20$,则每个直角三角形的面积为
96
.答案
12.96
解析
【分析】
要求每个直角三角形的面积，已知面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此只需算出$ab$的值即可。题目给出$b-a=4$和斜边长$c=20$，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可将$b-a=4$两边平方，展开后把$a^2+b^2$替换为$c^2$，即可求出$ab$的值，进而得到三角形面积。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$b-a=4$两边同时平方，根据完全平方公式展开：
$(b-a)^2 = 4^2$
$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
把$a^2 + b^2=400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 400 -16 = 384$，即$ab=192$。
因此每个直角三角形的面积为：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$。
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与代数式变形的结合应用，不需要单独求出a、b的具体值，利用整体代入的思想即可快速求解，能有效检验对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求每个直角三角形的面积，已知面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此只需算出$ab$的值即可。题目给出$b-a=4$和斜边长$c=20$，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可将$b-a=4$两边平方，展开后把$a^2+b^2$替换为$c^2$，即可求出$ab$的值，进而得到三角形面积。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$b-a=4$两边同时平方，根据完全平方公式展开：
$(b-a)^2 = 4^2$
$b^2 - 2ab + a^2 = 16$
把$a^2 + b^2=400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：$2ab = 400 -16 = 384$，即$ab=192$。
因此每个直角三角形的面积为：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$。
【答案】
96
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与代数式变形的结合应用，不需要单独求出a、b的具体值，利用整体代入的思想即可快速求解，能有效检验对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13.已知一次函数的图象经过点$(2,5)$和$(-2,-7)$.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点$(a,6)$在这个一次函数的图象上，求$a$的值.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点$(a,6)$在这个一次函数的图象上，求$a$的值.
答案
13.解:(1)这个一次函数的解析式为$y=3x-1$.
(2)$a$的值为$\frac{7}{3}$.
(2)$a$的值为$\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
(2)点在一次函数图象上说明该点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点$(a,6)$的坐标代入第一问求出的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1)设这个一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(2,5)$和$(-2,-7)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 5 \\ -2k + b = -7 \end{cases}$
将两个方程相加消去$k$，得$2b=-2$，解得$b=-1$。
把$b=-1$代入$2k + b = 5$，得$2k -1 =5$，解得$k=3$。
所以这个一次函数的解析式为$y=3x-1$。
(2)因为点$(a,6)$在这个一次函数的图象上，所以将$x=a$，$y=6$代入$y=3x-1$，得：
$3a - 1 = 6$
移项得$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$y=3x-1$；(2)$a=\frac{7}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法的解题步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
(2)点在一次函数图象上说明该点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点$(a,6)$的坐标代入第一问求出的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1)设这个一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(2,5)$和$(-2,-7)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 5 \\ -2k + b = -7 \end{cases}$
将两个方程相加消去$k$，得$2b=-2$，解得$b=-1$。
把$b=-1$代入$2k + b = 5$，得$2k -1 =5$，解得$k=3$。
所以这个一次函数的解析式为$y=3x-1$。
(2)因为点$(a,6)$在这个一次函数的图象上，所以将$x=a$，$y=6$代入$y=3x-1$，得：
$3a - 1 = 6$
移项得$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$y=3x-1$；(2)$a=\frac{7}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法的解题步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,E为AB的中点,连接CE并延长,与DA的延长线相交于点F,连接DE.求证:
(1)$△ AEF ≌ △ BEC$;
(2)DE是$∠ CDF$的平分线.
(1)$△ AEF ≌ △ BEC$;
(2)DE是$∠ CDF$的平分线.
答案
14.证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$.
∴$∠F=∠BCE$.
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$.
在$△AEF$和$△BEC$中，
$\begin{cases} ∠F=∠BCE, \\ ∠AEF=∠BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴$△AEF≌△BEC$(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD,AD=BC$.
∴$∠AED=∠CDE$.
∵$AB=2BC$,E为AB的中点，
∴$AE=AD$.
∴$∠AED=∠ADE$.
∴$∠ADE=∠CDE$.
∴DE是$∠CDF$的平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$.
∴$∠F=∠BCE$.
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$.
在$△AEF$和$△BEC$中，
$\begin{cases} ∠F=∠BCE, \\ ∠AEF=∠BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴$△AEF≌△BEC$(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD,AD=BC$.
∴$∠AED=∠CDE$.
∵$AB=2BC$,E为AB的中点，
∴$AE=AD$.
∴$∠AED=∠ADE$.
∴$∠ADE=∠CDE$.
∴DE是$∠CDF$的平分线.
解析
【分析】
（1）要证明$△ AEF ≌ △ BEC$，首先利用平行四边形对边平行的性质，可得$AD// BC$，进而得到一组内错角$∠ F=∠ BCE$相等；再结合E是AB中点得到$AE=BE$，加上对顶角$∠ AEF=∠ BEC$，即可通过AAS判定定理证明两个三角形全等。
（2）要证明DE是$∠ CDF$的平分线，本质是证明$∠ ADE=∠ CDE$。首先由平行四边形对边平行的性质得$AB// CD$，推出内错角$∠ AED=∠ CDE$；再结合已知$AB=2BC$、E为AB中点，可推出$AE=BC$，结合平行四边形对边相等$AD=BC$，得到$AE=AD$，利用等腰三角形等边对等角的性质得$∠ AED=∠ ADE$，通过等量代换即可得到$∠ ADE=∠ CDE$，完成证明。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ F=∠ BCE$。
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BEC$中，
$\begin{cases} ∠ F=∠ BCE, \\ ∠ AEF=∠ BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴$△ AEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD,AD=BC$，
∴$∠ AED=∠ CDE$。
∵$AB=2BC$，E为AB的中点，
∴$AE=AD$，
∴$∠ AED=∠ ADE$，
∴$∠ ADE=∠ CDE$，
∴DE是$∠ CDF$的平分线。
【答案】
(1) 已证$△ AEF ≌ △ BEC$；
(2) 已证DE是$∠ CDF$的平分线。（完整证明过程见解析）
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是结合图形特征灵活运用相关性质定理，找准边、角之间的等量关系，对锻炼几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ AEF ≌ △ BEC$，首先利用平行四边形对边平行的性质，可得$AD// BC$，进而得到一组内错角$∠ F=∠ BCE$相等；再结合E是AB中点得到$AE=BE$，加上对顶角$∠ AEF=∠ BEC$，即可通过AAS判定定理证明两个三角形全等。
（2）要证明DE是$∠ CDF$的平分线，本质是证明$∠ ADE=∠ CDE$。首先由平行四边形对边平行的性质得$AB// CD$，推出内错角$∠ AED=∠ CDE$；再结合已知$AB=2BC$、E为AB中点，可推出$AE=BC$，结合平行四边形对边相等$AD=BC$，得到$AE=AD$，利用等腰三角形等边对等角的性质得$∠ AED=∠ ADE$，通过等量代换即可得到$∠ ADE=∠ CDE$，完成证明。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ F=∠ BCE$。
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BEC$中，
$\begin{cases} ∠ F=∠ BCE, \\ ∠ AEF=∠ BEC, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴$△ AEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD,AD=BC$，
∴$∠ AED=∠ CDE$。
∵$AB=2BC$，E为AB的中点，
∴$AE=AD$，
∴$∠ AED=∠ ADE$，
∴$∠ ADE=∠ CDE$，
∴DE是$∠ CDF$的平分线。
【答案】
(1) 已证$△ AEF ≌ △ BEC$；
(2) 已证DE是$∠ CDF$的平分线。（完整证明过程见解析）
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是结合图形特征灵活运用相关性质定理，找准边、角之间的等量关系，对锻炼几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.8
