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1 如图，这是由边长为1个单位长度的正方形组成的网格，线段AB的端点在格点（网格中正方形的顶点）上，则$AB^2$的值为 （
A.6
B.18
C.20
D.22
（第1题）
C
）A.6
B.18
C.20
D.22
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
要求网格中线段AB的平方，可利用勾股定理求解。首先将线段AB作为直角三角形的斜边，构造两条直角边分别沿网格水平、竖直方向的直角三角形；再通过数格数得到两条直角边的长度；最后根据勾股定理“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”，即可计算出$AB^2$的值。
【解析】
以AB为斜边构造直角三角形，观察网格可得：该直角三角形的水平直角边长为4个单位，竖直直角边长为2个单位。
根据勾股定理可得：
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题关键是将所求线段转化为直角三角形的斜边，结合网格特征快速确定直角边长度，是勾股定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
要求网格中线段AB的平方，可利用勾股定理求解。首先将线段AB作为直角三角形的斜边，构造两条直角边分别沿网格水平、竖直方向的直角三角形；再通过数格数得到两条直角边的长度；最后根据勾股定理“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”，即可计算出$AB^2$的值。
【解析】
以AB为斜边构造直角三角形，观察网格可得：该直角三角形的水平直角边长为4个单位，竖直直角边长为2个单位。
根据勾股定理可得：
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题关键是将所求线段转化为直角三角形的斜边，结合网格特征快速确定直角边长度，是勾股定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
2 已知一个直角三角形的两直角边的长分别为7和24,则下列说法正确的是 （
A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168
C
）A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168
答案
2. C
解析
【分析】
本题是直角三角形相关的计算题，解题思路如下：①首先明确直角三角形中已知两直角边长，可直接运用勾股定理计算斜边长；②再分别计算该直角三角形的周长和面积；③将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确的说法即可。要注意勾股定理是两直角边的平方和等于斜边的平方，不要混淆平方和与斜边长。
【解析】
解：已知直角三角形两直角边长分别为7和24，
1. 计算斜边长：根据勾股定理，斜边的平方 = 7² + 24² = 49 + 576 = 625，因此斜边长 = √625 = 25，故选项A错误，选项C正确；
2. 计算周长：三角形周长 = 7 + 24 + 25 = 56，故选项B错误；
3. 计算面积：直角三角形面积 = ½×7×24 = 84，故选项D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形周长计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查勾股定理的直接应用，同时涉及直角三角形周长、面积的计算，解题时注意运算准确性，不要误将斜边的平方当成斜边长，也不要漏除面积公式里的½。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形相关的计算题，解题思路如下：①首先明确直角三角形中已知两直角边长，可直接运用勾股定理计算斜边长；②再分别计算该直角三角形的周长和面积；③将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确的说法即可。要注意勾股定理是两直角边的平方和等于斜边的平方，不要混淆平方和与斜边长。
【解析】
解：已知直角三角形两直角边长分别为7和24，
1. 计算斜边长：根据勾股定理，斜边的平方 = 7² + 24² = 49 + 576 = 625，因此斜边长 = √625 = 25，故选项A错误，选项C正确；
2. 计算周长：三角形周长 = 7 + 24 + 25 = 56，故选项B错误；
3. 计算面积：直角三角形面积 = ½×7×24 = 84，故选项D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形周长计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查勾股定理的直接应用，同时涉及直角三角形周长、面积的计算，解题时注意运算准确性，不要误将斜边的平方当成斜边长，也不要漏除面积公式里的½。
【难度系数】
0.8
3 已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和$\sqrt{2}$，则其斜边的长为
$\sqrt{3}$
.答案
3. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是已知直角三角形的两条直角边求斜边的基础题型，核心解题依据是勾股定理。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先明确两条直角边的长度，代入勾股定理公式求出斜边的平方，再结合边长为正数的实际意义，对结果开平方取正的平方根即可得到斜边长度。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$ c $，两条直角边长分别为$ a=1 $，$ b=\sqrt{2} $。
根据勾股定理可得：$ c^2 = a^2 + b^2 $
代入数值计算：$ c^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 $
由于三角形边长为正数，因此$ c = \sqrt{3} $。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；二次根式运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，主要考查对勾股定理公式的记忆和简单的根式计算能力，只要熟练掌握勾股定理的内容就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是已知直角三角形的两条直角边求斜边的基础题型，核心解题依据是勾股定理。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先明确两条直角边的长度，代入勾股定理公式求出斜边的平方，再结合边长为正数的实际意义，对结果开平方取正的平方根即可得到斜边长度。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$ c $，两条直角边长分别为$ a=1 $，$ b=\sqrt{2} $。
根据勾股定理可得：$ c^2 = a^2 + b^2 $
代入数值计算：$ c^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 $
由于三角形边长为正数，因此$ c = \sqrt{3} $。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；二次根式运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，主要考查对勾股定理公式的记忆和简单的根式计算能力，只要熟练掌握勾股定理的内容就能快速解答。
【难度系数】
0.9
4 如图，阴影部分是半圆，这个半圆的面积为
$8π$
cm²（结果保留π）。答案
4. $8π$
解析
【分析】
要计算阴影半圆的面积，首先需要确定半圆的半径：
1. 观察图形可知，半圆的直径等于下方直角三角形的水平直角边；
2. 已知直角三角形的一条直角边为6cm，斜边为10cm，可通过勾股定理求出未知直角边（即半圆的直径）；
3. 得到直径后算出半径，代入半圆面积公式即可求出结果。
【解析】
首先利用勾股定理计算直角三角形的水平直角边长度：
直角三角形中，未知直角边长度 = √(斜边² - 已知直角边²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8(cm)
即半圆的直径为8cm，因此半圆的半径$r = 8÷2 = 4\,\mathrm{cm}$
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=4$得：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是明确半圆直径与直角三角形边长的对应关系，熟练掌握勾股定理和半圆面积公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要计算阴影半圆的面积，首先需要确定半圆的半径：
1. 观察图形可知，半圆的直径等于下方直角三角形的水平直角边；
2. 已知直角三角形的一条直角边为6cm，斜边为10cm，可通过勾股定理求出未知直角边（即半圆的直径）；
3. 得到直径后算出半径，代入半圆面积公式即可求出结果。
【解析】
首先利用勾股定理计算直角三角形的水平直角边长度：
直角三角形中，未知直角边长度 = √(斜边² - 已知直角边²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8(cm)
即半圆的直径为8cm，因此半圆的半径$r = 8÷2 = 4\,\mathrm{cm}$
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=4$得：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是明确半圆直径与直角三角形边长的对应关系，熟练掌握勾股定理和半圆面积公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以AB，AC为边的正方形的面积分别为$S_1$，$S_2$。若$S_1=21$，$S_2=12$，则BC的长为
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
首先明确正方形的面积等于边长的平方，因此$S_1$对应直角三角形斜边$AB$的平方，$S_2$对应直角边$AC$的平方。已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，满足勾股定理的使用条件，我们可以通过勾股定理建立三边的数量关系，代入已知的面积值求出$BC$的平方，再开平方即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：$\because$ 以$AB$为边的正方形面积为$S_1$，$\therefore S_1=AB^2=21$，
$\because$ 以$AC$为边的正方形面积为$S_2$，$\therefore S_2=AC^2=12$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=S_1-S_2=21-12=9$，
又$\because BC$为三角形的边长，长度为正数，
$\therefore BC=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是将正方形面积转化为对应边长的平方，再结合直角三角形的勾股定理列式计算，思路直观，运算量小。
【难度系数】
0.8
首先明确正方形的面积等于边长的平方，因此$S_1$对应直角三角形斜边$AB$的平方，$S_2$对应直角边$AC$的平方。已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，满足勾股定理的使用条件，我们可以通过勾股定理建立三边的数量关系，代入已知的面积值求出$BC$的平方，再开平方即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：$\because$ 以$AB$为边的正方形面积为$S_1$，$\therefore S_1=AB^2=21$，
$\because$ 以$AC$为边的正方形面积为$S_2$，$\therefore S_2=AC^2=12$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore BC^2=AB^2-AC^2=S_1-S_2=21-12=9$，
又$\because BC$为三角形的边长，长度为正数，
$\therefore BC=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是将正方形面积转化为对应边长的平方，再结合直角三角形的勾股定理列式计算，思路直观，运算量小。
【难度系数】
0.8
6 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O.求:
(1) AB 的长;
(2) AO 的长.
(1) AB 的长;
(2) AO 的长.
答案
6. (1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,\therefore AC^2+BC^2=AB^2.\because AC=5,BC=12,\therefore AB^2=5^2+12^2=169$,$\therefore AB= 13$
(2) $\because ∠ ACB = 90°,\ CO ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CO$,即 $AC · BC=AB · CO$,$\therefore 5 × 12 = 13CO$,$\therefore CO = \frac{60}{13}$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中, $AO^2 + CO^2 = AC^2$,$\therefore AO^2 = AC^2 - CO^2=5^2-(\frac{60}{13})^2=\frac{625}{169}$,$\therefore AO=\frac{25}{13}$
(2) $\because ∠ ACB = 90°,\ CO ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CO$,即 $AC · BC=AB · CO$,$\therefore 5 × 12 = 13CO$,$\therefore CO = \frac{60}{13}$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中, $AO^2 + CO^2 = AC^2$,$\therefore AO^2 = AC^2 - CO^2=5^2-(\frac{60}{13})^2=\frac{625}{169}$,$\therefore AO=\frac{25}{13}$
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求AB的长：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且给出了两条直角边AC、BC的长度，直接利用勾股定理就能求出斜边AB的长度。
(2) 求AO的长：AO位于Rt△AOC中，已知AC的长度，只需要先求出高CO的长度即可。我们可以利用三角形面积的两种计算方式：一是两直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，通过等面积法算出CO的长度，再在Rt△AOC中用勾股定理计算AO的长度即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将AC=5，BC=12代入上式得：
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
由于AB为三角形边长，取正值，因此$AB=\sqrt{169}=13$。
(2)
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC的面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CO$，
联立两个面积公式可得：$AC·BC = AB·CO$，
代入数值：$5×12 = 13·CO$，解得$CO=\frac{60}{13}$。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：$AO^2 + CO^2 = AC^2$，
则$AO^2 = AC^2 - CO^2 = 5^2 - (\frac{60}{13})^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{625}{169}$，
由于AO为线段长度，取正值，因此$AO=\sqrt{\frac{625}{169}}=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $AB=13$；(2) $AO=\frac{25}{13}$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问直接考查直角三角形中利用勾股定理求斜边，第二问结合等面积法求斜边上的高，再通过勾股定理求直角边长，解题逻辑清晰，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求AB的长：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且给出了两条直角边AC、BC的长度，直接利用勾股定理就能求出斜边AB的长度。
(2) 求AO的长：AO位于Rt△AOC中，已知AC的长度，只需要先求出高CO的长度即可。我们可以利用三角形面积的两种计算方式：一是两直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，通过等面积法算出CO的长度，再在Rt△AOC中用勾股定理计算AO的长度即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将AC=5，BC=12代入上式得：
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
由于AB为三角形边长，取正值，因此$AB=\sqrt{169}=13$。
(2)
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC的面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CO$，
联立两个面积公式可得：$AC·BC = AB·CO$，
代入数值：$5×12 = 13·CO$，解得$CO=\frac{60}{13}$。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：$AO^2 + CO^2 = AC^2$，
则$AO^2 = AC^2 - CO^2 = 5^2 - (\frac{60}{13})^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{625}{169}$，
由于AO为线段长度，取正值，因此$AO=\sqrt{\frac{625}{169}}=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $AB=13$；(2) $AO=\frac{25}{13}$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问直接考查直角三角形中利用勾股定理求斜边，第二问结合等面积法求斜边上的高，再通过勾股定理求直角边长，解题逻辑清晰，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7 [2025 苏州改编]如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$AB=40\ \mathrm{m}$,$BC=30\ \mathrm{m}$.若直线 $BD$ 平分$△ ABC$ 的面积,点 $D$ 在边 $AC$ 上,则线段 $BD$ 的长为 (
A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
B
)A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先理解BD平分△ABC面积的含义：△ABD和△CBD面积相等，这两个三角形以AD、DC为底时，高都是点B到AC的距离，根据三角形面积公式，面积相等、高相等则底相等，可推出D是AC的中点。再结合△ABC是直角三角形的特征，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需先用勾股定理求出斜边AC的长度，即可算出BD的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，$BC=30\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
已知BD平分$△ ABC$的面积，$△ ABD$和$△ CBD$以AD、DC为底时高相同，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，面积相等、高相等则底相等，因此$AD=DC$，即D是AC的中点。
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题解题核心是通过面积平分的条件推导得出D为AC中点，再结合直角三角形的特性快速求解，无需复杂计算，主要考查对基础定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先理解BD平分△ABC面积的含义：△ABD和△CBD面积相等，这两个三角形以AD、DC为底时，高都是点B到AC的距离，根据三角形面积公式，面积相等、高相等则底相等，可推出D是AC的中点。再结合△ABC是直角三角形的特征，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需先用勾股定理求出斜边AC的长度，即可算出BD的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，$BC=30\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
已知BD平分$△ ABC$的面积，$△ ABD$和$△ CBD$以AD、DC为底时高相同，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，面积相等、高相等则底相等，因此$AD=DC$，即D是AC的中点。
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题解题核心是通过面积平分的条件推导得出D为AC中点，再结合直角三角形的特性快速求解，无需复杂计算，主要考查对基础定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
