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8 整体思想 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长.若$a+b=14\ \mathrm{cm}$，$c=10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为（
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
A
）A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
8. A
解析
【分析】
要求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积，已知直角边为$a$、$b$，面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。已知$a+b=14$、斜边$c=10$，结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，把$a^2+b^2$用$c^2$代换，整体求出$ab$的值，不需要单独计算$a$、$b$的具体数值，简化运算。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$
又
∵ $a + b = 14\ \mathrm{cm}$
将等式两边同时平方得：$(a+b)^2 = 14^2 = 196$
展开完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
把$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24\ \mathrm{cm}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题运用整体思想解题，无需单独求解两条直角边的长度，通过完全平方公式结合勾股定理直接求出两条直角边的乘积，大幅简化了计算过程，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积，已知直角边为$a$、$b$，面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。已知$a+b=14$、斜边$c=10$，结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，把$a^2+b^2$用$c^2$代换，整体求出$ab$的值，不需要单独计算$a$、$b$的具体数值，简化运算。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$
又
∵ $a + b = 14\ \mathrm{cm}$
将等式两边同时平方得：$(a+b)^2 = 14^2 = 196$
展开完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
把$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24\ \mathrm{cm}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题运用整体思想解题，无需单独求解两条直角边的长度，通过完全平方公式结合勾股定理直接求出两条直角边的乘积，大幅简化了计算过程，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
9 [2025 沭阳期末]如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，$E$是对角线$AC$的中点，$F$是对角线$BD$上的动点，连接$EF$。若$AC=10$，$BD=6$，则$EF$长的最小值为 (
A.4
B.3
C.5
D.2
（第9题）
A
)A.4
B.3
C.5
D.2
（第9题）答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：存在两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，首先联想直角三角形斜边中线的性质，连接BE、DE，可得到BE=DE，△BED为等腰三角形；再根据点到直线的距离垂线段最短，可知当EF⊥BD时，EF长度最小，此时结合等腰三角形三线合一得到BD一半的长度，最后用勾股定理即可求出EF的最小值。
【解析】
解：连接BE、DE。
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
同理，
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC = 5，
∴ BE=DE=5，即△BED是等腰三角形。
根据垂线段最短可知：当EF⊥BD时，EF的长度最小。
由等腰三角形三线合一的性质可得，此时F为BD的中点，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
EF = $\sqrt{BE^2 - BF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25-9}$ = $\sqrt{16}$ = 4，
即EF长的最小值为4。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类常考题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质构造等腰三角形，再结合垂线段最短确定EF取最小值的位置，最后用勾股定理计算即可，较好地考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题干条件：存在两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，首先联想直角三角形斜边中线的性质，连接BE、DE，可得到BE=DE，△BED为等腰三角形；再根据点到直线的距离垂线段最短，可知当EF⊥BD时，EF长度最小，此时结合等腰三角形三线合一得到BD一半的长度，最后用勾股定理即可求出EF的最小值。
【解析】
解：连接BE、DE。
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
同理，
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC = 5，
∴ BE=DE=5，即△BED是等腰三角形。
根据垂线段最短可知：当EF⊥BD时，EF的长度最小。
由等腰三角形三线合一的性质可得，此时F为BD的中点，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
EF = $\sqrt{BE^2 - BF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25-9}$ = $\sqrt{16}$ = 4，
即EF长的最小值为4。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类常考题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质构造等腰三角形，再结合垂线段最短确定EF取最小值的位置，最后用勾股定理计算即可，较好地考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
10 [2025 宿城期中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,涂色部分表示以$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记作$S_1$和$S_2$.若$S_1+S_2=7$,$AB=6$,则$△ ABC$的周长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
10. 14
解析
【分析】
解题先从阴影面积的构成入手：观察图形可知，$S_1+S_2$等于以AC、BC为直径的两个小半圆面积加上$△ ABC$的面积，再减去以AB为直径的大半圆面积。结合直角三角形的勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可推导出两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，因此$S_1+S_2$就等于$△ ABC$的面积。得到三角形面积后，再结合勾股定理和完全平方公式求出两直角边的和，最后加上AB的长度即可得到三角形周长。
【解析】
设$AC=b$，$BC=a$，已知$AB=c=6$。
1. 计算各半圆面积：
以AC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
以BC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
以AB为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
2. 推导$S_1+S_2$的表达式：
$S_1+S_2=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}+S_{△ ABC}-\frac{π c^2}{8}$
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$
$\therefore \frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}$，代入上式可得$S_1+S_2=S_{△ ABC}=7$
3. 求两直角边的和：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=7$，得$ab=14$
又$\because a^2+b^2=c^2=36$
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36+2×14=64$
$\because a、b$为边长，均为正数，$\therefore a+b=8$
4. 计算周长：
$△ ABC$的周长为$a+b+c=8+6=14$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理，面积割补法，完全平方公式
【点评】
本题将勾股定理与面积计算相结合，解题的核心是通过割补法消去半圆面积，得到阴影面积与三角形面积的等量关系，再结合完全平方公式求解边长和，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
解题先从阴影面积的构成入手：观察图形可知，$S_1+S_2$等于以AC、BC为直径的两个小半圆面积加上$△ ABC$的面积，再减去以AB为直径的大半圆面积。结合直角三角形的勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可推导出两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，因此$S_1+S_2$就等于$△ ABC$的面积。得到三角形面积后，再结合勾股定理和完全平方公式求出两直角边的和，最后加上AB的长度即可得到三角形周长。
【解析】
设$AC=b$，$BC=a$，已知$AB=c=6$。
1. 计算各半圆面积：
以AC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
以BC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
以AB为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
2. 推导$S_1+S_2$的表达式：
$S_1+S_2=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}+S_{△ ABC}-\frac{π c^2}{8}$
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$
$\therefore \frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}$，代入上式可得$S_1+S_2=S_{△ ABC}=7$
3. 求两直角边的和：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=7$，得$ab=14$
又$\because a^2+b^2=c^2=36$
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36+2×14=64$
$\because a、b$为边长，均为正数，$\therefore a+b=8$
4. 计算周长：
$△ ABC$的周长为$a+b+c=8+6=14$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理，面积割补法，完全平方公式
【点评】
本题将勾股定理与面积计算相结合，解题的核心是通过割补法消去半圆面积，得到阴影面积与三角形面积的等量关系，再结合完全平方公式求解边长和，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
11 如图,在$△ ABC$中,按尺规作图的痕迹作直线$MN$,交边$AB$于点$E$.若$AC=5$,$BE=4$,$∠ B=45°$,则$AB$的长为________.
答案
11. 7
解析
【分析】
首先识别尺规作图痕迹：直线MN是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$BE=EC$；接着在$△ BEC$中，已知$∠ B=45°$，结合等边对等角可推出$△ BEC$是等腰直角三角形，得到$∠ BEC=90°$，进而可知$∠ AEC=90°$；最后在$Rt△ AEC$中用勾股定理求出$AE$的长度，与$BE$相加即可得到$AB$的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，直线$MN$是线段$BC$的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点$E$在$MN$上，因此$EC=BE=4$。
在$△ BEC$中，$BE=EC$，$∠ B=45°$，所以$∠ ECB=∠ B=45°$，则$∠ BEC=180°-45°-45°=90°$，因此$EC⊥ AB$，即$∠ AEC=90°$，$△ AEC$是直角三角形。
在$Rt△ AEC$中，$AC=5$，$EC=4$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
因此$AB=AE+BE=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、垂直平分线性质、等腰三角形性质及勾股定理的应用，解题的关键是先判断出$MN$是$BC$的垂直平分线，再逐步推导得到直角三角形后利用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图痕迹：直线MN是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$BE=EC$；接着在$△ BEC$中，已知$∠ B=45°$，结合等边对等角可推出$△ BEC$是等腰直角三角形，得到$∠ BEC=90°$，进而可知$∠ AEC=90°$；最后在$Rt△ AEC$中用勾股定理求出$AE$的长度，与$BE$相加即可得到$AB$的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，直线$MN$是线段$BC$的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点$E$在$MN$上，因此$EC=BE=4$。
在$△ BEC$中，$BE=EC$，$∠ B=45°$，所以$∠ ECB=∠ B=45°$，则$∠ BEC=180°-45°-45°=90°$，因此$EC⊥ AB$，即$∠ AEC=90°$，$△ AEC$是直角三角形。
在$Rt△ AEC$中，$AC=5$，$EC=4$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
因此$AB=AE+BE=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、垂直平分线性质、等腰三角形性质及勾股定理的应用，解题的关键是先判断出$MN$是$BC$的垂直平分线，再逐步推导得到直角三角形后利用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
12 方程思想 如图,将长方形ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,求AE的长.
答案
12. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,$\therefore ∠ A=∠ D=90°$,$CD=AB=3$,$AD=BC=5$. $\because CE$ 是折痕,$\therefore FC=BC=5$,$EF=BE$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$DF^2+CD^2=FC^2$,$\therefore DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16$,$\therefore DF=4$,$\therefore AF=AD-DF=1$.设 $AE=x$,则 $BE=EF=3-x$.$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,$EF^2=AE^2+AF^2$,$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$,解得 $x=\frac{4}{3}$,$\therefore AE=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题是长方形折叠结合勾股定理的计算问题，解题可按以下思路推导：第一步，先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件；第二步，根据折叠前后对应边相等的性质，得到FC=BC、EF=BE，先在Rt△CDF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到AF的长度；第三步，设AE的长为未知数，将EF的长度用含未知数的式子表示，最后在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。
∵ CE是折痕，
∴ FC=BC=5，EF=BE。
在$\mathrm{Rt}△CDF$中，由勾股定理得$DF^2+CD^2=FC^2$，
∴ $DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，解得$DF=4$，
∴ $AF=AD-DF=5-4=1$。
设$AE=x$，则$BE=EF=3-x$，
在$\mathrm{Rt}△AEF$中，由勾股定理得$EF^2=AE^2+AF^2$，
∴ $(3-x)^2=x^2+1^2$，
展开得$9-6x+x^2=x^2+1$，
移项化简得$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$AE=\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题，解题关键是利用折叠的性质转化相等线段，再结合勾股定理构建方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能有效考查学生对图形变换的理解和分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是长方形折叠结合勾股定理的计算问题，解题可按以下思路推导：第一步，先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件；第二步，根据折叠前后对应边相等的性质，得到FC=BC、EF=BE，先在Rt△CDF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到AF的长度；第三步，设AE的长为未知数，将EF的长度用含未知数的式子表示，最后在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。
∵ CE是折痕，
∴ FC=BC=5，EF=BE。
在$\mathrm{Rt}△CDF$中，由勾股定理得$DF^2+CD^2=FC^2$，
∴ $DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，解得$DF=4$，
∴ $AF=AD-DF=5-4=1$。
设$AE=x$，则$BE=EF=3-x$，
在$\mathrm{Rt}△AEF$中，由勾股定理得$EF^2=AE^2+AF^2$，
∴ $(3-x)^2=x^2+1^2$，
展开得$9-6x+x^2=x^2+1$，
移项化简得$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$AE=\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题，解题关键是利用折叠的性质转化相等线段，再结合勾股定理构建方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能有效考查学生对图形变换的理解和分析能力。
【难度系数】
0.7
13 勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边，分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”。如图，设大正方形Y的边长为定值$y$，四个小正方形M，N，P，Q的边长分别为$m$，$n$，$p$，$q$，且三个直角三角形中$∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$，当$α$变化时，下列说法错误的是（
A.$n=p$
B.$m+q=y$
C.$y=mq$
D.$m^2 + n^2 + p^2 + q^2 = y^2$
（第13题）
C
）A.$n=p$
B.$m+q=y$
C.$y=mq$
D.$m^2 + n^2 + p^2 + q^2 = y^2$
（第13题）答案
13. C 【解析】如图,连接 BF,过点 E 作 $EC ⊥ BF$ 于点C.依题意,得 $EB = EH = KB$,$EF = EI = FT$,$∠ BEF=∠ HEI=90°$,$∠ BAK=90°$,$∠ FDT=90°$. 在$△ EBF$ 和$△ EHI$ 中,$\begin{cases} EB=EH, \\ ∠ BEF=∠ HEI, \\ EF=EI, \end{cases}$ $\therefore △ EBF ≌ △ EHI (\mathrm{SAS})$,$\therefore BF = HI = y$,$∠ 4=∠ 1$. $\because ∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$,$\therefore ∠ 4=∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$. $\because EC ⊥ BF$于点 C, $\therefore ∠ ECB = ∠ ECF = 90°$,$\therefore ∠ BAK = ∠ ECB = 90°$,$∠ ECF = ∠ FDT = 90°$. 在$△ KAB$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} ∠ BAK=∠ ECB, \\ ∠ 2=∠ 4, \\ KB=EB, \end{cases}$ $\therefore △ KAB ≌ △ BCE$(AAS), $\therefore AB = CE = n$,$AK = CB = m$. $\because ∠ 4 + ∠ BEC=90°$,$∠ BEC+∠ CEF=90°$,$\therefore ∠ 4=∠ CEF$,$\therefore ∠ 3 = ∠ CEF$. 在 $△ FDT$ 和 $△ ECF$ 中,$\begin{cases} ∠ 3=∠ CEF, \\ ∠ FDT=∠ ECF, \\ FT=EF, \end{cases}$ $\therefore △ FDT ≌ △ ECF (\mathrm{AAS})$,$\therefore FD=EC=p$,$DT=CF=q$,$\therefore AB=EC=FD$,即$n=p$. $\because BF=BC+CF=m+q$,$BF=HI=y$,$\therefore y=m+q$. $\because y=m+q$ 正确,显然 $y=mq$ 不正确. 在$\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+EC^2=BE^2$,即$m^2+n^2=BE^2$.在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得 $EC^2+CF^2=EF^2$,即 $p^2+q^2=EF^2$.在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,由勾股定理,得 $BE^2+EF^2=BF^2$,即 $m^2+n^2+p^2+q^2=y^2$.
解析
【分析】
这是一道结合勾股树模型的几何综合题，解题可按以下思路思考：1. 先明确正方形的性质：四条边相等、四个角都是直角；2. 结合已知∠1=∠2=∠3=α的条件，通过构造辅助线证明三角形全等，推导各小正方形边长的等量关系；3. 再结合勾股定理逐一判断四个选项的正误，最终选出错误选项。
【解析】
如图，连接BF，过点E作$EC ⊥ BF$于点C。
依题意，得 $EB = EH = KB$,$EF = EI = FT$,$∠ BEF=∠ HEI=90°$,$∠ BAK=90°$,$∠ FDT=90°$。
在$△ EBF$ 和$△ EHI$ 中,
$\begin{cases} EB=EH, \\ ∠ BEF=∠ HEI, \\ EF=EI, \end{cases}$
$\therefore △ EBF ≌ △ EHI (\mathrm{SAS})$,$\therefore BF = HI = y$,$∠ 4=∠ 1$。
$\because ∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$,$\therefore ∠ 4=∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$。
$\because EC ⊥ BF$于点 C, $\therefore ∠ ECB = ∠ ECF = 90°$,$\therefore ∠ BAK = ∠ ECB = 90°$,$∠ ECF = ∠ FDT = 90°$。
在$△ KAB$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ BAK=∠ ECB, \\ ∠ 2=∠ 4, \\ KB=EB, \end{cases}$
$\therefore △ KAB ≌ △ BCE$(AAS), $\therefore AB = CE = n$,$AK = CB = m$。
$\because ∠ 4 + ∠ BEC=90°$,$∠ BEC+∠ CEF=90°$,$\therefore ∠ 4=∠ CEF$,$\therefore ∠ 3 = ∠ CEF$。
在 $△ FDT$ 和 $△ ECF$ 中,
$\begin{cases} ∠ 3=∠ CEF, \\ ∠ FDT=∠ ECF, \\ FT=EF, \end{cases}$
$\therefore △ FDT ≌ △ ECF (\mathrm{AAS})$,$\therefore FD=EC=p$,$DT=CF=q$,$\therefore AB=EC=FD$,即$n=p$，A选项正确。
$\because BF=BC+CF=m+q$,$BF=HI=y$,$\therefore y=m+q$，B选项正确。
由$y=m+q$可判断$y=mq$普遍不成立，C选项错误。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+EC^2=BE^2$,即$m^2+n^2=BE^2$。在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得 $EC^2+CF^2=EF^2$,即 $p^2+q^2=EF^2$。在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,由勾股定理,得 $BE^2+EF^2=BF^2$,即 $m^2+n^2+p^2+q^2=y^2$，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题以经典的勾股树为载体，综合考查了正方形性质、全等三角形的证明以及勾股定理的应用，需要学生准确挖掘图形中的边角等量关系，对几何综合推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
这是一道结合勾股树模型的几何综合题，解题可按以下思路思考：1. 先明确正方形的性质：四条边相等、四个角都是直角；2. 结合已知∠1=∠2=∠3=α的条件，通过构造辅助线证明三角形全等，推导各小正方形边长的等量关系；3. 再结合勾股定理逐一判断四个选项的正误，最终选出错误选项。
【解析】
如图，连接BF，过点E作$EC ⊥ BF$于点C。
依题意，得 $EB = EH = KB$,$EF = EI = FT$,$∠ BEF=∠ HEI=90°$,$∠ BAK=90°$,$∠ FDT=90°$。
在$△ EBF$ 和$△ EHI$ 中,
$\begin{cases} EB=EH, \\ ∠ BEF=∠ HEI, \\ EF=EI, \end{cases}$
$\therefore △ EBF ≌ △ EHI (\mathrm{SAS})$,$\therefore BF = HI = y$,$∠ 4=∠ 1$。
$\because ∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$,$\therefore ∠ 4=∠ 1=∠ 2=∠ 3=α$。
$\because EC ⊥ BF$于点 C, $\therefore ∠ ECB = ∠ ECF = 90°$,$\therefore ∠ BAK = ∠ ECB = 90°$,$∠ ECF = ∠ FDT = 90°$。
在$△ KAB$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ BAK=∠ ECB, \\ ∠ 2=∠ 4, \\ KB=EB, \end{cases}$
$\therefore △ KAB ≌ △ BCE$(AAS), $\therefore AB = CE = n$,$AK = CB = m$。
$\because ∠ 4 + ∠ BEC=90°$,$∠ BEC+∠ CEF=90°$,$\therefore ∠ 4=∠ CEF$,$\therefore ∠ 3 = ∠ CEF$。
在 $△ FDT$ 和 $△ ECF$ 中,
$\begin{cases} ∠ 3=∠ CEF, \\ ∠ FDT=∠ ECF, \\ FT=EF, \end{cases}$
$\therefore △ FDT ≌ △ ECF (\mathrm{AAS})$,$\therefore FD=EC=p$,$DT=CF=q$,$\therefore AB=EC=FD$,即$n=p$，A选项正确。
$\because BF=BC+CF=m+q$,$BF=HI=y$,$\therefore y=m+q$，B选项正确。
由$y=m+q$可判断$y=mq$普遍不成立，C选项错误。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+EC^2=BE^2$,即$m^2+n^2=BE^2$。在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得 $EC^2+CF^2=EF^2$,即 $p^2+q^2=EF^2$。在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,由勾股定理,得 $BE^2+EF^2=BF^2$,即 $m^2+n^2+p^2+q^2=y^2$，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题以经典的勾股树为载体，综合考查了正方形性质、全等三角形的证明以及勾股定理的应用，需要学生准确挖掘图形中的边角等量关系，对几何综合推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
