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10 [2025宿城期末]设n为正整数，且$n＜\sqrt{73}＜n+1$，则n的值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
B
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
10. B
解析
【分析】
要确定n的值，需先估算出√73介于哪两个相邻的正整数之间。我们可以利用平方与开平方的互逆关系，先找到与73相邻的两个完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到√73的取值范围，最后结合题设的$n＜\sqrt{73}＜n+1$即可求出n的值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $8^2 = 64$，$9^2 = 81$，且 $64 ＜ 73 ＜ 81$
∴ 对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{64} ＜ \sqrt{73} ＜ \sqrt{81}$
即 $8 ＜ \sqrt{73} ＜ 9$
又
∵ $n ＜ \sqrt{73} ＜ n+1$，n为正整数
∴ $n = 8$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟记常见正整数的平方数，利用平方运算确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
要确定n的值，需先估算出√73介于哪两个相邻的正整数之间。我们可以利用平方与开平方的互逆关系，先找到与73相邻的两个完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到√73的取值范围，最后结合题设的$n＜\sqrt{73}＜n+1$即可求出n的值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $8^2 = 64$，$9^2 = 81$，且 $64 ＜ 73 ＜ 81$
∴ 对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{64} ＜ \sqrt{73} ＜ \sqrt{81}$
即 $8 ＜ \sqrt{73} ＜ 9$
又
∵ $n ＜ \sqrt{73} ＜ n+1$，n为正整数
∴ $n = 8$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟记常见正整数的平方数，利用平方运算确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
11 如图，数轴上由左至右的A,B,C,D,E五点对应的数分别为a,b,c,d,e，且$AB=BC=CD=DE$.若原点在AE上，且$|a|+|b|=|e|$，则下列关于原点位置的叙述中，正确的是 （
A.在BC上且较接近点B
B.在BC上且较接近点C
C.在CD上且较接近点C
D.在CD上且较接近点D
B
）A.在BC上且较接近点B
B.在BC上且较接近点C
C.在CD上且较接近点C
D.在CD上且较接近点D
答案
11. B
解析
【分析】
首先设每等段$AB=BC=CD=DE$的长度为$s$，根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可将$b、c、d、e$都用$a$和$s$表示。再结合绝对值的几何意义（绝对值是数轴上对应点到原点的距离），把已知条件$|a|+|b|=|e|$转化为方程求解，最后根据计算结果判断原点所在区间以及和相邻点的距离远近即可。
【解析】
设$AB=BC=CD=DE=s$，由数轴上点的大小规律可得：
$b=a+s$，$c=a+2s$，$d=a+3s$，$e=a+4s$。
因为原点在$AE$上，因此$a＜0$，$e＞0$，故$|a|=-a$，$|e|=e=a+4s$。
将$|a|+|b|=|e|$代入得：$-a + |b| = a + 4s$ ①。
若原点在$BC$上，此时$b＜0$，$c＞0$，因此$|b|=-b=-a-s$，代入①式：
$-a + (-a -s) = a + 4s$
整理得：$-2a -s = a +4s$，解得$a=-\frac{5}{3}s$。
此时$b=a+s=-\frac{2}{3}s$，$c=a+2s=\frac{1}{3}s$：
原点到$B$的距离为$|b|=\frac{2}{3}s$，到$C$的距离为$|c|=\frac{1}{3}s$，$\frac{2}{3}s＞\frac{1}{3}s$，说明原点在$BC$上且更接近点$C$。
若假设原点在$CD$区间，代入后验证不符合$|a|+|b|=|e|$的条件，因此排除。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的几何意义、一元一次方程求解
【点评】
本题将数轴性质和绝对值的意义结合考查，通过设参数表示各点数值，代入条件化简计算即可判断原点位置，解题核心是正确理解绝对值的几何意义，结合数轴点的大小关系化简绝对值。
【难度系数】
0.6
首先设每等段$AB=BC=CD=DE$的长度为$s$，根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可将$b、c、d、e$都用$a$和$s$表示。再结合绝对值的几何意义（绝对值是数轴上对应点到原点的距离），把已知条件$|a|+|b|=|e|$转化为方程求解，最后根据计算结果判断原点所在区间以及和相邻点的距离远近即可。
【解析】
设$AB=BC=CD=DE=s$，由数轴上点的大小规律可得：
$b=a+s$，$c=a+2s$，$d=a+3s$，$e=a+4s$。
因为原点在$AE$上，因此$a＜0$，$e＞0$，故$|a|=-a$，$|e|=e=a+4s$。
将$|a|+|b|=|e|$代入得：$-a + |b| = a + 4s$ ①。
若原点在$BC$上，此时$b＜0$，$c＞0$，因此$|b|=-b=-a-s$，代入①式：
$-a + (-a -s) = a + 4s$
整理得：$-2a -s = a +4s$，解得$a=-\frac{5}{3}s$。
此时$b=a+s=-\frac{2}{3}s$，$c=a+2s=\frac{1}{3}s$：
原点到$B$的距离为$|b|=\frac{2}{3}s$，到$C$的距离为$|c|=\frac{1}{3}s$，$\frac{2}{3}s＞\frac{1}{3}s$，说明原点在$BC$上且更接近点$C$。
若假设原点在$CD$区间，代入后验证不符合$|a|+|b|=|e|$的条件，因此排除。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的几何意义、一元一次方程求解
【点评】
本题将数轴性质和绝对值的意义结合考查，通过设参数表示各点数值，代入条件化简计算即可判断原点位置，解题核心是正确理解绝对值的几何意义，结合数轴点的大小关系化简绝对值。
【难度系数】
0.6
12如图，实数$-\sqrt{5}$，$\sqrt{15}$，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D.若m为整数，则m的值为
$-3$
.答案
12. $-3$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先估算出无理数$\sqrt{5}$、$\sqrt{15}$的取值范围，进而得到$-\sqrt{5}$和点D对应数$-\sqrt{15}$的取值范围；第二步，根据数轴上点C的位置，确定整数m的取值区间；第三步，在区间内找出符合要求的整数即可。首先利用平方数估算无理数大小是解题的基础，再结合关于原点对称的点对应的数互为相反数得到D点的数，最后结合数轴上点的左右位置关系（左边的数小于右边的数）确定m的范围。
【解析】
1. 估算$-\sqrt{5}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，即点A对应的数在$-3$和$-2$之间。
2. 求点D对应的数及范围：
点B对应$\sqrt{15}$，点B关于原点对称的点为D，因此D对应的数为$-\sqrt{15}$。
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜15＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$，不等式两边同乘$-1$得$-4＜-\sqrt{15}＜-3$，即点D对应的数在$-4$和$-3$之间。
3. 确定m的取值：
由数轴可知点C在D、A之间，因此$-\sqrt{15}＜m＜-\sqrt{5}$，结合上述范围可得$-4＜m＜-2$。
又$\because$m为整数，$\therefore m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数大小估算；数轴的应用；相反数的性质
【点评】
本题将无理数估算、数轴、相反数的知识点结合考查，解题的核心是准确估算无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置关系确定未知量的取值区间，只要掌握无理数的估算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先估算出无理数$\sqrt{5}$、$\sqrt{15}$的取值范围，进而得到$-\sqrt{5}$和点D对应数$-\sqrt{15}$的取值范围；第二步，根据数轴上点C的位置，确定整数m的取值区间；第三步，在区间内找出符合要求的整数即可。首先利用平方数估算无理数大小是解题的基础，再结合关于原点对称的点对应的数互为相反数得到D点的数，最后结合数轴上点的左右位置关系（左边的数小于右边的数）确定m的范围。
【解析】
1. 估算$-\sqrt{5}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，即点A对应的数在$-3$和$-2$之间。
2. 求点D对应的数及范围：
点B对应$\sqrt{15}$，点B关于原点对称的点为D，因此D对应的数为$-\sqrt{15}$。
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜15＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$，不等式两边同乘$-1$得$-4＜-\sqrt{15}＜-3$，即点D对应的数在$-4$和$-3$之间。
3. 确定m的取值：
由数轴可知点C在D、A之间，因此$-\sqrt{15}＜m＜-\sqrt{5}$，结合上述范围可得$-4＜m＜-2$。
又$\because$m为整数，$\therefore m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数大小估算；数轴的应用；相反数的性质
【点评】
本题将无理数估算、数轴、相反数的知识点结合考查，解题的核心是准确估算无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置关系确定未知量的取值区间，只要掌握无理数的估算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
13 新考向 探究题 将两块边长均为3 cm的小正方形纸板按如图①所示的方式剪开，拼成如图②所示的一块边长为a cm的大正方形纸板，你能求出这块大正方形纸板的面积吗？如果能，请写出它的面积.a是有理数吗？如果不是，那么请你估计a的值在哪两个相邻的整数之间.
答案
13. 能 根据题意，大正方形纸板是由两块小正方形纸板拼成的，$\therefore$ 这块大正方形纸板的面积为 $3^2+3^2=18(\mathrm{cm}^2),\therefore$ 大正方形纸板的边长为$\sqrt{18}$ cm,即 $a=\sqrt{18}$ $\because$ 找不到平方后等于18的有理数，$\therefore a$ 不是有理数 $\because 16＜18＜25,\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25},$即 $4＜\sqrt{18}＜5,\therefore a$ 的值在4和5之间
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住图形拼接的核心特点：拼接前后图形的总面积保持不变，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，据此可先求出大正方形的面积；再根据正方形面积和边长的关系，得到边长a是面积的算术平方根；接下来判断a是否为有理数，只需看是否存在整数或分数的平方等于18即可；最后估算a的范围时，找到与18相邻的两个完全平方数，对这两个数开平方就能得到a所在的相邻整数区间。
【解析】
解：能求出大正方形纸板的面积。
∵ 大正方形纸板由两块边长为3cm的小正方形纸板拼接而成，拼接前后总面积不变，
∴ 大正方形纸板的面积 = 2个小正方形的面积和 = $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18(\mathrm{cm}^2)$。
由正方形面积公式可得$a^2=18$，因此$a=\sqrt{18}$。
∵ 不存在平方后等于18的有理数，
∴ $a$不是有理数。
∵ $16＜18＜25$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{18}＜5$，
∴ $a$的值在4和5两个相邻整数之间。
【答案】
能求出大正方形纸板的面积，面积为$\boxed{18\mathrm{cm}^2}$；$a$不是有理数；$a$的值在4和5两个相邻整数之间。
【知识点】
面积守恒，算术平方根，无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接的情景，考查了基础的面积计算、无理数的判定和估算方法，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的特点，再结合算术平方根的性质逐步推导，整体侧重对基础方法的应用。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要抓住图形拼接的核心特点：拼接前后图形的总面积保持不变，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，据此可先求出大正方形的面积；再根据正方形面积和边长的关系，得到边长a是面积的算术平方根；接下来判断a是否为有理数，只需看是否存在整数或分数的平方等于18即可；最后估算a的范围时，找到与18相邻的两个完全平方数，对这两个数开平方就能得到a所在的相邻整数区间。
【解析】
解：能求出大正方形纸板的面积。
∵ 大正方形纸板由两块边长为3cm的小正方形纸板拼接而成，拼接前后总面积不变，
∴ 大正方形纸板的面积 = 2个小正方形的面积和 = $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18(\mathrm{cm}^2)$。
由正方形面积公式可得$a^2=18$，因此$a=\sqrt{18}$。
∵ 不存在平方后等于18的有理数，
∴ $a$不是有理数。
∵ $16＜18＜25$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{18}＜5$，
∴ $a$的值在4和5两个相邻整数之间。
【答案】
能求出大正方形纸板的面积，面积为$\boxed{18\mathrm{cm}^2}$；$a$不是有理数；$a$的值在4和5两个相邻整数之间。
【知识点】
面积守恒，算术平方根，无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接的情景，考查了基础的面积计算、无理数的判定和估算方法，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的特点，再结合算术平方根的性质逐步推导，整体侧重对基础方法的应用。
【难度系数】
0.7
14 [2024宿迁期末]已知实数$a+9$的一个平方根是$-5$，$2b-a$的立方根是$-2$，$c$是$\sqrt{43}$的整数部分.求：
(1) $a,b,c$的值；
(2) $2a+b$的算术平方根.
(1) $a,b,c$的值；
(2) $2a+b$的算术平方根.
答案
14. (1) $\because$ 实数 $a+9$ 的一个平方根是$-5,\therefore a+9=25,\therefore a=16. \because 2b-a$ 的立方根是$-2,\therefore 2b-a=-8,\therefore b=4. \because \sqrt{36}＜\sqrt{43}＜\sqrt{49},$即 $6＜\sqrt{43}＜7$，$\therefore \sqrt{43}$ 的整数部分是6. $\therefore c=6$ (2) 由(1),得$a=16$，$b=4,\therefore 2a+b=2×16+4=36. \because 36$ 的算术平方根是6，$\therefore 2a+b$ 的算术平方根是6
解析
【分析】
(1)求a的值：根据平方根的定义，若x是m的平方根，则$x^2=m$，已知$a+9$的一个平方根是$-5$，将$-5$平方即可得到$a+9$的值，进而求出a；
求b的值：根据立方根的定义，若x是m的立方根，则$x^3=m$，已知$2b-a$的立方根是$-2$，将$-2$立方得到$2b-a$的值，代入已求出的a即可计算出b；
求c的值：找到与43相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{43}$的取值范围，较小的相邻整数就是$\sqrt{43}$的整数部分，即c的值。
(2)求$2a+b$的算术平方根：先将(1)中得到的a、b代入$2a+b$算出结果，再根据算术平方根是非负平方根的定义，求出该结果的算术平方根即可。
【解析】
(1)解：
∵实数$a+9$的一个平方根是$-5$，
∴$a+9=(-5)^2=25$，解得$a=16$。
∵$2b-a$的立方根是$-2$，
∴$2b-a=(-2)^3=-8$，
将$a=16$代入得：$2b-16=-8$，解得$b=4$。
∵$\sqrt{36}＜\sqrt{43}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{43}＜7$，
∴$\sqrt{43}$的整数部分是6，即$c=6$。
(2)解：由(1)可知$a=16$，$b=4$，
∴$2a+b=2×16+4=36$，
∵36的算术平方根为$\sqrt{36}=6$，
∴$2a+b$的算术平方根是6。
【答案】
(1) $a=16$，$b=4$，$c=6$；
(2) $6$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了实数相关的核心概念，解题关键是熟练区分平方根、立方根、算术平方根的定义，掌握无理数整数部分的估算方法，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
(1)求a的值：根据平方根的定义，若x是m的平方根，则$x^2=m$，已知$a+9$的一个平方根是$-5$，将$-5$平方即可得到$a+9$的值，进而求出a；
求b的值：根据立方根的定义，若x是m的立方根，则$x^3=m$，已知$2b-a$的立方根是$-2$，将$-2$立方得到$2b-a$的值，代入已求出的a即可计算出b；
求c的值：找到与43相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{43}$的取值范围，较小的相邻整数就是$\sqrt{43}$的整数部分，即c的值。
(2)求$2a+b$的算术平方根：先将(1)中得到的a、b代入$2a+b$算出结果，再根据算术平方根是非负平方根的定义，求出该结果的算术平方根即可。
【解析】
(1)解：
∵实数$a+9$的一个平方根是$-5$，
∴$a+9=(-5)^2=25$，解得$a=16$。
∵$2b-a$的立方根是$-2$，
∴$2b-a=(-2)^3=-8$，
将$a=16$代入得：$2b-16=-8$，解得$b=4$。
∵$\sqrt{36}＜\sqrt{43}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{43}＜7$，
∴$\sqrt{43}$的整数部分是6，即$c=6$。
(2)解：由(1)可知$a=16$，$b=4$，
∴$2a+b=2×16+4=36$，
∵36的算术平方根为$\sqrt{36}=6$，
∴$2a+b$的算术平方根是6。
【答案】
(1) $a=16$，$b=4$，$c=6$；
(2) $6$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了实数相关的核心概念，解题关键是熟练区分平方根、立方根、算术平方根的定义，掌握无理数整数部分的估算方法，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
