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1 把数据2、8、10、4、12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（
A.{2}，{4，8，10，12}
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}
D.{2，4，8，10}，{12}
B
）。A.{2}，{4，8，10，12}
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}
D.{2，4，8，10}，{12}
答案
1 B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是每组内各数据与该组平均数的差的平方之和，两组的离差平方和相加的总数值越小，越符合题目要求。解题时我们可以先将原数据从小到大排序，再分别计算四个选项对应的两组离差平方和的总和，通过比较总和大小就能选出正确答案。
【解析】
首先将已知数据从小到大排序：2，4，8，10，12。我们分别计算每个选项的总离差平方和：
1. 计算选项A的总离差平方和：
第一组{2}：平均数为2，离差平方和=(2-2)²=0；
第二组{4,8,10,12}：平均数=(4+8+10+12)÷4=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=20.25+0.25+2.25+12.25=35；
总离差平方和=0+35=35。
2. 计算选项B的总离差平方和：
第一组{2,4}：平均数=(2+4)÷2=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；
第二组{8,10,12}：平均数=(8+10+12)÷3=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=4+0+4=8；
总离差平方和=2+8=10。
3. 计算选项C的总离差平方和：
第一组{2,4,8}：平均数=(2+4+8)÷3=$\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})²+(4-\frac{14}{3})²+(8-\frac{14}{3})²=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}≈18.67$；
第二组{10,12}：平均数=11，离差平方和=(10-11)²+(12-11)²=1+1=2；
总离差平方和≈18.67+2=20.67。
4. 计算选项D的总离差平方和：
第一组{2,4,8,10}：平均数=(2+4+8+10)÷4=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=16+4+4+16=40；
第二组{12}：离差平方和=0；
总离差平方和=40+0=40。
比较四个选项的总离差平方和，10最小，因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和计算、平均数计算
【点评】
本题主要考查对离差平方和概念的理解与应用，解题核心是掌握离差平方和的计算方法，通过逐一计算比较各选项的总离差平方和即可得出结果，计算时注意平均数求解要准确，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是每组内各数据与该组平均数的差的平方之和，两组的离差平方和相加的总数值越小，越符合题目要求。解题时我们可以先将原数据从小到大排序，再分别计算四个选项对应的两组离差平方和的总和，通过比较总和大小就能选出正确答案。
【解析】
首先将已知数据从小到大排序：2，4，8，10，12。我们分别计算每个选项的总离差平方和：
1. 计算选项A的总离差平方和：
第一组{2}：平均数为2，离差平方和=(2-2)²=0；
第二组{4,8,10,12}：平均数=(4+8+10+12)÷4=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=20.25+0.25+2.25+12.25=35；
总离差平方和=0+35=35。
2. 计算选项B的总离差平方和：
第一组{2,4}：平均数=(2+4)÷2=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；
第二组{8,10,12}：平均数=(8+10+12)÷3=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=4+0+4=8；
总离差平方和=2+8=10。
3. 计算选项C的总离差平方和：
第一组{2,4,8}：平均数=(2+4+8)÷3=$\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})²+(4-\frac{14}{3})²+(8-\frac{14}{3})²=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}≈18.67$；
第二组{10,12}：平均数=11，离差平方和=(10-11)²+(12-11)²=1+1=2；
总离差平方和≈18.67+2=20.67。
4. 计算选项D的总离差平方和：
第一组{2,4,8,10}：平均数=(2+4+8+10)÷4=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=16+4+4+16=40；
第二组{12}：离差平方和=0；
总离差平方和=40+0=40。
比较四个选项的总离差平方和，10最小，因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和计算、平均数计算
【点评】
本题主要考查对离差平方和概念的理解与应用，解题核心是掌握离差平方和的计算方法，通过逐一计算比较各选项的总离差平方和即可得出结果，计算时注意平均数求解要准确，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
② 把5个数据－1、3、1、5、4分成{－1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为
4
。答案
2 4
解析
【分析】
解题时需遵循组内离差平方和的计算逻辑：首先明确计算步骤，第一步先算出每组数据的平均数，第二步计算每组内各数据与本组平均数的差的平方和，得到单组的组内离差平方和，第三步将两组的结果相加得到总的组内离差平方和，即可得到对应答案。
【解析】
1. 计算第一组$\{-1,1\}$的组内离差平方和：
该组平均数：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
组内离差平方和：$S_1=(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{3,4,5\}$的组内离差平方和：
该组平均数：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
组内离差平方和：$S_2=(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$
3. 计算该分组的总组内离差平方和：
$S_{总}=S_1+S_2=2+2=4$
【答案】2、4
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算
【点评】
本题是离差平方和的基础应用题型，只要熟练掌握组内离差平方和的计算步骤，准确计算平均数和平方和，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题时需遵循组内离差平方和的计算逻辑：首先明确计算步骤，第一步先算出每组数据的平均数，第二步计算每组内各数据与本组平均数的差的平方和，得到单组的组内离差平方和，第三步将两组的结果相加得到总的组内离差平方和，即可得到对应答案。
【解析】
1. 计算第一组$\{-1,1\}$的组内离差平方和：
该组平均数：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
组内离差平方和：$S_1=(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{3,4,5\}$的组内离差平方和：
该组平均数：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
组内离差平方和：$S_2=(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$
3. 计算该分组的总组内离差平方和：
$S_{总}=S_1+S_2=2+2=4$
【答案】2、4
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算
【点评】
本题是离差平方和的基础应用题型，只要熟练掌握组内离差平方和的计算步骤，准确计算平均数和平方和，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
3 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位:分)如下:15、18、15、24,按照“组内离差平方和最小”的方法,将竞赛成绩分成两组。
答案
3 把数据从小到大排序15、15、18、24。
① 第一组数据为15;第二组数据为15、18、24；
$\bar{x}_{1}=15,\bar{x}_{2}=\frac{15+18+24}{3}=19$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-15)^2+(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$。
② 第一组数据为15、15;第二组数据为18、24；
$\bar{x}_{1}=15,\bar{x}_{2}=\frac{18+24}{2}=21$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-15)^2+(15-15)^2+(18-21)^2+(24-21)^2=18$。
③ 第一组数据为15、15、18;第二组数据为24；
$\bar{x}_{1}=16,\bar{x}_{2}=24$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2+(24-24)^2=6$。
综上所述,甲、乙、丙一组,丁一组。
① 第一组数据为15;第二组数据为15、18、24；
$\bar{x}_{1}=15,\bar{x}_{2}=\frac{15+18+24}{3}=19$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-15)^2+(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$。
② 第一组数据为15、15;第二组数据为18、24；
$\bar{x}_{1}=15,\bar{x}_{2}=\frac{18+24}{2}=21$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-15)^2+(15-15)^2+(18-21)^2+(24-21)^2=18$。
③ 第一组数据为15、15、18;第二组数据为24；
$\bar{x}_{1}=16,\bar{x}_{2}=24$，
组内离差平方和$S_1^2=(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2+(24-24)^2=6$。
综上所述,甲、乙、丙一组,丁一组。
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确分组目标是总组内离差平方和最小，而数值越接近的数分为一组，组内离散程度越小，离差平方和就越小。因此第一步先将数据从小到大排序，4个数据分两组共有3种相邻分组方式（1个和3个、2个和2个、3个和1个），我们只需分别计算每种分组的总组内离差平方和，再比较大小，选择和最小的分组即可。
【解析】
1. 先将竞赛成绩从小到大排序：15、15、18、24。
2. 分别计算3种分组的总组内离差平方和：
① 分组：第一组{15}，第二组{15、18、24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=15$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=\frac{15+18+24}{3}=19$
总离差平方和$S=(15-15)^2+(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=0+16+1+25=42$
② 分组：第一组{15、15}，第二组{18、24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=\frac{15+15}{2}=15$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=\frac{18+24}{2}=21$
总离差平方和$S=(15-15)^2+(15-15)^2+(18-21)^2+(24-21)^2=0+0+9+9=18$
③ 分组：第一组{15、15、18}，第二组{24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=\frac{15+15+18}{3}=16$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=24$
总离差平方和$S=(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2+(24-24)^2=1+1+4+0=6$
3. 比较大小：$6＜18＜42$，因此第三种分组为最优分组。
【答案】
甲、乙、丙为一组，丁为一组
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，数据分组
【点评】
本题考察对离差平方和含义的理解，离差平方和越小说明组内数据离散程度越低、数值越接近。解题时需先对数据排序，再逐一计算不同分组的离差平方和比较结果，计算过程需细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先明确分组目标是总组内离差平方和最小，而数值越接近的数分为一组，组内离散程度越小，离差平方和就越小。因此第一步先将数据从小到大排序，4个数据分两组共有3种相邻分组方式（1个和3个、2个和2个、3个和1个），我们只需分别计算每种分组的总组内离差平方和，再比较大小，选择和最小的分组即可。
【解析】
1. 先将竞赛成绩从小到大排序：15、15、18、24。
2. 分别计算3种分组的总组内离差平方和：
① 分组：第一组{15}，第二组{15、18、24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=15$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=\frac{15+18+24}{3}=19$
总离差平方和$S=(15-15)^2+(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=0+16+1+25=42$
② 分组：第一组{15、15}，第二组{18、24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=\frac{15+15}{2}=15$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=\frac{18+24}{2}=21$
总离差平方和$S=(15-15)^2+(15-15)^2+(18-21)^2+(24-21)^2=0+0+9+9=18$
③ 分组：第一组{15、15、18}，第二组{24}
第一组平均数$\bar{x}_{1}=\frac{15+15+18}{3}=16$，第二组平均数$\bar{x}_{2}=24$
总离差平方和$S=(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2+(24-24)^2=1+1+4+0=6$
3. 比较大小：$6＜18＜42$，因此第三种分组为最优分组。
【答案】
甲、乙、丙为一组，丁为一组
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，数据分组
【点评】
本题考察对离差平方和含义的理解，离差平方和越小说明组内数据离散程度越低、数值越接近。解题时需先对数据排序，再逐一计算不同分组的离差平方和比较结果，计算过程需细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.7
4 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个数据分成两组。
答案
4 把数据从小到大排列65、69、70、75、76、76、78、80、80、81。
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| 第一组前1个、第二组后9个数据 | 146.889 |
| 第一组前2个、第二组后8个数据 | 98 |
| 第一组前3个、第二组后7个数据 | 48 |
| 第一组前4个、第二组后6个数据 | 74.25 |
| 第一组前5个、第二组后5个数据 | 98 |
| 第一组前6个、第二组后4个数据 | 107.583 |
| 第一组前7个、第二组后3个数据 | 136.095 |
| 第一组前8个、第二组后2个数据 | 182.375 |
| 第一组前9个、第二组后1个数据 | 218 |
由表可知,当数据分为第一组是65、69、70,第二组是75、76、76、78、80、80、81时,组内离差平方和最小。
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| 第一组前1个、第二组后9个数据 | 146.889 |
| 第一组前2个、第二组后8个数据 | 98 |
| 第一组前3个、第二组后7个数据 | 48 |
| 第一组前4个、第二组后6个数据 | 74.25 |
| 第一组前5个、第二组后5个数据 | 98 |
| 第一组前6个、第二组后4个数据 | 107.583 |
| 第一组前7个、第二组后3个数据 | 136.095 |
| 第一组前8个、第二组后2个数据 | 182.375 |
| 第一组前9个、第二组后1个数据 | 218 |
由表可知,当数据分为第一组是65、69、70,第二组是75、76、76、78、80、80、81时,组内离差平方和最小。
解析
【分析】
要解决该分组问题，核心目标是使两组的组内离差平方和总和最小。首先将10个数据从小到大排序，因为最优分组在有序序列中必然是连续分割的（若存在交叉分组，交换组内高低数据会使离差平方和变大），无需考虑无序分组的情况。接下来依次尝试在第1到第9个数据后分割，分别计算每种分割下两组的离差平方和再求和，对比所有结果找到总和最小的分割方式即可。
【解析】
1. 先将10个数据从小到大排列：65、69、70、75、76、76、78、80、80、81。
2. 离差平方和计算公式：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，组均值$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$，组内离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$。
3. 依次计算所有连续分割的总离差平方和，结果如下：
| 分组情况 | 组内离差平方和总和 |
| ---- | ---- |
| 第一组前1个、第二组后9个数据 | 146.889 |
| 第一组前2个、第二组后8个数据 | 98 |
| 第一组前3个、第二组后7个数据 | 48 |
| 第一组前4个、第二组后6个数据 | 74.25 |
| 第一组前5个、第二组后5个数据 | 98 |
| 第一组前6个、第二组后4个数据 | 107.583 |
| 第一组前7个、第二组后3个数据 | 136.095 |
| 第一组前8个、第二组后2个数据 | 182.375 |
| 第一组前9个、第二组后1个数据 | 218 |
4. 对比所有总离差平方和，最小值为48，对应前3个数据为一组、后7个数据为一组的分割方式。
【答案】
第一组：65、69、70；第二组：75、76、76、78、80、80、81
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据分组方法
3. 平均数计算
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解，需要结合有序分割的思路简化计算量，计算过程需细致认真，能帮助学生理解“组内数据差异越小，组内离差平方和越小”的分组原则。
【难度系数】
0.6
要解决该分组问题，核心目标是使两组的组内离差平方和总和最小。首先将10个数据从小到大排序，因为最优分组在有序序列中必然是连续分割的（若存在交叉分组，交换组内高低数据会使离差平方和变大），无需考虑无序分组的情况。接下来依次尝试在第1到第9个数据后分割，分别计算每种分割下两组的离差平方和再求和，对比所有结果找到总和最小的分割方式即可。
【解析】
1. 先将10个数据从小到大排列：65、69、70、75、76、76、78、80、80、81。
2. 离差平方和计算公式：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，组均值$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$，组内离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$。
3. 依次计算所有连续分割的总离差平方和，结果如下：
| 分组情况 | 组内离差平方和总和 |
| ---- | ---- |
| 第一组前1个、第二组后9个数据 | 146.889 |
| 第一组前2个、第二组后8个数据 | 98 |
| 第一组前3个、第二组后7个数据 | 48 |
| 第一组前4个、第二组后6个数据 | 74.25 |
| 第一组前5个、第二组后5个数据 | 98 |
| 第一组前6个、第二组后4个数据 | 107.583 |
| 第一组前7个、第二组后3个数据 | 136.095 |
| 第一组前8个、第二组后2个数据 | 182.375 |
| 第一组前9个、第二组后1个数据 | 218 |
4. 对比所有总离差平方和，最小值为48，对应前3个数据为一组、后7个数据为一组的分割方式。
【答案】
第一组：65、69、70；第二组：75、76、76、78、80、80、81
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据分组方法
3. 平均数计算
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解，需要结合有序分割的思路简化计算量，计算过程需细致认真，能帮助学生理解“组内数据差异越小，组内离差平方和越小”的分组原则。
【难度系数】
0.6
