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10 两台全自动机床都生产直径为$(30\pm0.3)\ \mathrm{mm}$的零件。为了检验产品质量，从这两台机床生产的零件中随机抽出10个进行检测，结果如表所示(单位：mm)：
根据结果推测：哪台机床生产的零件更稳定？如果某公司采购员需要采购这类全自动机床，在甲、乙两台机床中，他会选择哪一台？
根据结果推测：哪台机床生产的零件更稳定？如果某公司采购员需要采购这类全自动机床，在甲、乙两台机床中，他会选择哪一台？
答案
10.$\bar{x}_甲=30,\ \bar{x}_乙=30$，
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[2×(30-30)^2+3×(30.2-30)^2+3×(29.8-30)^2+(30.1-30)^2+(29.9-30)^2]\approx0.0289$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[4×(30-30)^2+(30.2-30)^2+2×(30.1-30)^2+2×(29.9-30)^2+(29.8-30)^2]\approx0.0133$。
因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，所以乙机床更稳定，所以选乙机床。
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[2×(30-30)^2+3×(30.2-30)^2+3×(29.8-30)^2+(30.1-30)^2+(29.9-30)^2]\approx0.0289$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[4×(30-30)^2+(30.2-30)^2+2×(30.1-30)^2+2×(29.9-30)^2+(29.8-30)^2]\approx0.0133$。
因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，所以乙机床更稳定，所以选乙机床。
解析
【分析】
要判断哪台机床生产的零件更稳定，需通过比较两组数据的方差判断：方差越小，数据波动越小，产品质量越稳定。解题步骤为：第一步分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步分别计算两组数据的样本方差（估计总体方差时除以样本量减1），第三步比较方差大小，方差更小的机床性能更优，是采购的选择对象。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
$\bar{x}_甲 = \frac{1}{10}×(30.0+29.8+30.1+30.2+29.9+30.0+30.2+29.8+30.2+29.8) = 30$
$\bar{x}_乙 = \frac{1}{10}×(30.0+30.0+29.9+30.0+29.9+30.2+30.0+30.1+30.1+29.8) = 30$
2. 计算两组数据的样本方差：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[2×(30-30)^2+3×(30.2-30)^2+3×(29.8-30)^2+(30.1-30)^2+(29.9-30)^2]\approx0.0289$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[4×(30-30)^2+(30.2-30)^2+2×(30.1-30)^2+2×(29.9-30)^2+(29.8-30)^2]\approx0.0133$
3. 比较方差大小：
$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙机床生产的零件直径波动更小，稳定性更好。
【答案】
乙机床生产的零件更稳定，采购员会选择乙机床。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际生产场景的典型应用，重点考查对方差反映数据波动程度这一性质的理解，解题时需注意方差计算的准确性，避免漏项或平方计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪台机床生产的零件更稳定，需通过比较两组数据的方差判断：方差越小，数据波动越小，产品质量越稳定。解题步骤为：第一步分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步分别计算两组数据的样本方差（估计总体方差时除以样本量减1），第三步比较方差大小，方差更小的机床性能更优，是采购的选择对象。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
$\bar{x}_甲 = \frac{1}{10}×(30.0+29.8+30.1+30.2+29.9+30.0+30.2+29.8+30.2+29.8) = 30$
$\bar{x}_乙 = \frac{1}{10}×(30.0+30.0+29.9+30.0+29.9+30.2+30.0+30.1+30.1+29.8) = 30$
2. 计算两组数据的样本方差：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{10-1}[2×(30-30)^2+3×(30.2-30)^2+3×(29.8-30)^2+(30.1-30)^2+(29.9-30)^2]\approx0.0289$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{10-1}[4×(30-30)^2+(30.2-30)^2+2×(30.1-30)^2+2×(29.9-30)^2+(29.8-30)^2]\approx0.0133$
3. 比较方差大小：
$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙机床生产的零件直径波动更小，稳定性更好。
【答案】
乙机床生产的零件更稳定，采购员会选择乙机床。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际生产场景的典型应用，重点考查对方差反映数据波动程度这一性质的理解，解题时需注意方差计算的准确性，避免漏项或平方计算错误。
【难度系数】
0.7
11 A、B两家公司生产同种产品，10天内产生的次品个数如表所示：
根据表格数据分别计算两家公司生产产品时产生的次品个数的平均数与总体方差的估计值，根据计算结果估计哪家公司的产品会更受消费者的青睐。
根据表格数据分别计算两家公司生产产品时产生的次品个数的平均数与总体方差的估计值，根据计算结果估计哪家公司的产品会更受消费者的青睐。
答案
11.由题意可得$\bar{x}_A=\frac{3×0+2×1+3×2+3+4}{5}=1.5$，$\bar{x}_B=\frac{1×0+4×1+4×2+3}{5}=1.5$。
$\hat{σ}^2_A=\frac{1}{10-1}×[3×(0-1.5)^2+2×(1-1.5)^2+3×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2+(4-1.5)^2]\approx1.83$；
$\hat{σ}^2_B=\frac{1}{10-1}×[1×(0-1.5)^2+4×(1-1.5)^2+4×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2]\approx0.72$。
所以B公司的产品会更受消费者的青睐。理由:两家公司产品的次品数的平均数相同，而$\hat{σ}^2_A＞\hat{σ}^2_B$，所以B公司的产品质量更稳定。
$\hat{σ}^2_A=\frac{1}{10-1}×[3×(0-1.5)^2+2×(1-1.5)^2+3×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2+(4-1.5)^2]\approx1.83$；
$\hat{σ}^2_B=\frac{1}{10-1}×[1×(0-1.5)^2+4×(1-1.5)^2+4×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2]\approx0.72$。
所以B公司的产品会更受消费者的青睐。理由:两家公司产品的次品数的平均数相同，而$\hat{σ}^2_A＞\hat{σ}^2_B$，所以B公司的产品质量更稳定。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先计算两家公司次品数的平均数，平均数等于所有数据的总和除以数据总个数（本题中是10天，即10个数据）；第二步，计算总体方差的估计值，即样本方差，用每个数据减去平均数的平方和除以（数据个数-1），以此估计总体的波动情况；第三步，比较两家的统计量：若平均数相同，方差越小说明数据波动越小，产品质量越稳定，更受消费者青睐。
【解析】
1. 计算平均数：
A公司10天的次品数总和为$3×0 + 2×1 + 3×2 + 3 + 4 = 15$，因此$\bar{x}_A=\frac{15}{10}=1.5$；
B公司10天的次品数总和为$1×0 + 4×1 + 4×2 + 3 = 15$，因此$\bar{x}_B=\frac{15}{10}=1.5$。
2. 计算总体方差的估计值（样本方差，样本量$n=10$，故除以$n-1=9$）：
A公司的方差估计值：
$\hat{σ}^2_A=\frac{1}{9}×[3×(0-1.5)^2+2×(1-1.5)^2+3×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2+(4-1.5)^2]=\frac{16.5}{9}\approx1.83$
B公司的方差估计值：
$\hat{σ}^2_B=\frac{1}{9}×[1×(0-1.5)^2+4×(1-1.5)^2+4×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2]=\frac{6.5}{9}\approx0.72$
3. 比较判断：
两家公司次品数的平均数相同，均为1.5，但$\hat{σ}^2_A＞\hat{σ}^2_B$，说明B公司生产的次品数波动更小，产品质量更稳定。
【答案】
A公司次品数平均数为1.5，总体方差估计值约为1.83；B公司次品数平均数为1.5，总体方差估计值约为0.72；B公司的产品会更受消费者的青睐。
【知识点】
平均数的计算，样本方差估计总体方差，方差的意义
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了统计中常用统计量的计算与应用，既要求掌握平均数、样本方差的计算方法，也要求理解方差反映数据稳定性的实际意义，能够用统计结论指导实际决策。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先计算两家公司次品数的平均数，平均数等于所有数据的总和除以数据总个数（本题中是10天，即10个数据）；第二步，计算总体方差的估计值，即样本方差，用每个数据减去平均数的平方和除以（数据个数-1），以此估计总体的波动情况；第三步，比较两家的统计量：若平均数相同，方差越小说明数据波动越小，产品质量越稳定，更受消费者青睐。
【解析】
1. 计算平均数：
A公司10天的次品数总和为$3×0 + 2×1 + 3×2 + 3 + 4 = 15$，因此$\bar{x}_A=\frac{15}{10}=1.5$；
B公司10天的次品数总和为$1×0 + 4×1 + 4×2 + 3 = 15$，因此$\bar{x}_B=\frac{15}{10}=1.5$。
2. 计算总体方差的估计值（样本方差，样本量$n=10$，故除以$n-1=9$）：
A公司的方差估计值：
$\hat{σ}^2_A=\frac{1}{9}×[3×(0-1.5)^2+2×(1-1.5)^2+3×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2+(4-1.5)^2]=\frac{16.5}{9}\approx1.83$
B公司的方差估计值：
$\hat{σ}^2_B=\frac{1}{9}×[1×(0-1.5)^2+4×(1-1.5)^2+4×(2-1.5)^2+(3-1.5)^2]=\frac{6.5}{9}\approx0.72$
3. 比较判断：
两家公司次品数的平均数相同，均为1.5，但$\hat{σ}^2_A＞\hat{σ}^2_B$，说明B公司生产的次品数波动更小，产品质量更稳定。
【答案】
A公司次品数平均数为1.5，总体方差估计值约为1.83；B公司次品数平均数为1.5，总体方差估计值约为0.72；B公司的产品会更受消费者的青睐。
【知识点】
平均数的计算，样本方差估计总体方差，方差的意义
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了统计中常用统计量的计算与应用，既要求掌握平均数、样本方差的计算方法，也要求理解方差反映数据稳定性的实际意义，能够用统计结论指导实际决策。
【难度系数】
0.7
