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6 甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的红糖，从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位:g):
甲包装机:501 500 503 506 504 506 500 498 497 495
乙包装机:503 504 502 498 499 501 505 497 502 499
包装机包装质量稳定的是
甲包装机:501 500 503 506 504 506 500 498 497 495
乙包装机:503 504 502 498 499 501 505 497 502 499
包装机包装质量稳定的是
乙
包装机。(填“甲”或“乙”)答案
6.乙
解析
【分析】
要判断哪台包装机的包装质量更稳定，本质是比较两组数据的波动大小。统计学中方差是衡量数据波动程度的核心统计量，方差越小，数据波动越小，稳定性越高。解题思路如下：第一步，分别计算甲、乙两组抽样数据的平均数；第二步，根据方差公式分别计算两组数据的方差；第三步，比较两个方差的大小，方差更小的对应包装机稳定性更好。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
甲包装机10袋红糖的总质量：$501+500+503+506+504+506+500+498+497+495=5010\ \mathrm{g}$
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{5010}{10}=501\ \mathrm{g}$
乙包装机10袋红糖的总质量：$503+504+502+498+499+501+505+497+502+499=5010\ \mathrm{g}$
乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{5010}{10}=501\ \mathrm{g}$
2. 计算两组数据的方差，方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
甲的方差：
$\begin{aligned}S^2_甲&=\frac{1}{10}[(501-501)^2+(500-501)^2+(503-501)^2+(506-501)^2+(504-501)^2\\&\quad +(506-501)^2+(500-501)^2+(498-501)^2+(497-501)^2+(495-501)^2]\\&=\frac{1}{10}(0+1+4+25+9+25+1+9+16+36)\\&=\frac{126}{10}=12.6\end{aligned}$
乙的方差：
$\begin{aligned}S^2_乙&=\frac{1}{10}[(503-501)^2+(504-501)^2+(502-501)^2+(498-501)^2+(499-501)^2\\&\quad +(501-501)^2+(505-501)^2+(497-501)^2+(502-501)^2+(499-501)^2]\\&=\frac{1}{10}(4+9+1+9+4+0+16+16+1+4)\\&=\frac{64}{10}=6.4\end{aligned}$
3. 比较方差大小：
因为$S^2_乙=6.4 ＜ S^2_甲=12.6$，所以乙包装机的包装质量波动更小，更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；方差的计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查方差的应用，核心是理解方差与数据稳定性的对应关系，熟练掌握平均数和方差的运算规则即可解题，计算时要注意避免运算失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪台包装机的包装质量更稳定，本质是比较两组数据的波动大小。统计学中方差是衡量数据波动程度的核心统计量，方差越小，数据波动越小，稳定性越高。解题思路如下：第一步，分别计算甲、乙两组抽样数据的平均数；第二步，根据方差公式分别计算两组数据的方差；第三步，比较两个方差的大小，方差更小的对应包装机稳定性更好。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
甲包装机10袋红糖的总质量：$501+500+503+506+504+506+500+498+497+495=5010\ \mathrm{g}$
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{5010}{10}=501\ \mathrm{g}$
乙包装机10袋红糖的总质量：$503+504+502+498+499+501+505+497+502+499=5010\ \mathrm{g}$
乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{5010}{10}=501\ \mathrm{g}$
2. 计算两组数据的方差，方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
甲的方差：
$\begin{aligned}S^2_甲&=\frac{1}{10}[(501-501)^2+(500-501)^2+(503-501)^2+(506-501)^2+(504-501)^2\\&\quad +(506-501)^2+(500-501)^2+(498-501)^2+(497-501)^2+(495-501)^2]\\&=\frac{1}{10}(0+1+4+25+9+25+1+9+16+36)\\&=\frac{126}{10}=12.6\end{aligned}$
乙的方差：
$\begin{aligned}S^2_乙&=\frac{1}{10}[(503-501)^2+(504-501)^2+(502-501)^2+(498-501)^2+(499-501)^2\\&\quad +(501-501)^2+(505-501)^2+(497-501)^2+(502-501)^2+(499-501)^2]\\&=\frac{1}{10}(4+9+1+9+4+0+16+16+1+4)\\&=\frac{64}{10}=6.4\end{aligned}$
3. 比较方差大小：
因为$S^2_乙=6.4 ＜ S^2_甲=12.6$，所以乙包装机的包装质量波动更小，更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；方差的计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查方差的应用，核心是理解方差与数据稳定性的对应关系，熟练掌握平均数和方差的运算规则即可解题，计算时要注意避免运算失误。
【难度系数】
0.7
⑦ 某数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行抽样调查。从两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示。
将以上信息整理分析如表所示：
(1) $ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $，$ c = \_\_\_\_\_\_ $，$ d = \_\_\_\_\_\_ $，$ e = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 某人计划从甲、乙两公司选择一家做网约车司机，你建议他选择________公司。
⑧ 现有价格、配置皆相同的甲、乙、丙三种品牌的电脑，各随机抽取10台在相同条件下同时开机，并进行质量、能耗等测试，测试结果量化分值如下：$\bar{x}_甲 = 80$，$\bar{x}_乙 = 80$，$\bar{x}_丙 = 80$，$\hat{σ}_甲^2 = 1.2$，$\hat{σ}_乙^2 = 2.5$，$\hat{σ}_丙^2 = 0.8$，若学校微机室要从甲、乙、丙三种品牌电脑中选购一批，建议学校选购
将以上信息整理分析如表所示：
(1) $ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $，$ c = \_\_\_\_\_\_ $，$ d = \_\_\_\_\_\_ $，$ e = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 某人计划从甲、乙两公司选择一家做网约车司机，你建议他选择________公司。
⑧ 现有价格、配置皆相同的甲、乙、丙三种品牌的电脑，各随机抽取10台在相同条件下同时开机，并进行质量、能耗等测试，测试结果量化分值如下：$\bar{x}_甲 = 80$，$\bar{x}_乙 = 80$，$\bar{x}_丙 = 80$，$\hat{σ}_甲^2 = 1.2$，$\hat{σ}_乙^2 = 2.5$，$\hat{σ}_丙^2 = 0.8$，若学校微机室要从甲、乙、丙三种品牌电脑中选购一批，建议学校选购
答案
7.(1) $a=7.3,\ b=5.5,\ c=7,\ d=\frac{47}{30},\ e=\frac{76}{9}$。(2) 甲。理由:甲公司的平均数、中位数、众数大于乙公司,且甲公司的总体方差的估计值更小,更稳定。
8.丙。
8.丙。
解析
【分析】
第7题：(1) 求a、b、c、d、e需分别计算对应统计量：平均数为所有样本数据之和除以样本容量；中位数需先将数据从小到大排序，10个数据取第5、6个数据的平均值；众数是样本中出现次数最多的数；总体方差估计值为每个数据与平均数的差的平方和除以样本容量，按对应公式计算即可。(2) 选择公司时可对比两家的平均收入、中等收入水平、多数人收入水平以及收入稳定性（方差越小收入越稳定），综合判断更优选项。
第8题：三种电脑平均测试分值相同，方差反映数据波动程度，方差越小说明产品性能越稳定，选择方差最小的品牌即可。
【解析】
7. (1) 计算甲公司10名司机月收入的平均数：将10个收入数据求和后除以10，得$a=7.3$；
将乙公司10名司机月收入从小到大排序，取第5、6个数据的平均值，得中位数$b=5.5$；
甲公司10名司机月收入中出现次数最多的数值为7，故众数$c=7$；
根据方差公式计算甲公司的总体方差估计值，得$d=\frac{47}{30}$；
同理计算乙公司的总体方差估计值，得$e=\frac{76}{9}$。
(2) 对比两家公司统计量：甲公司的平均数、中位数、众数均大于乙公司，说明甲公司司机的平均收入、中等收入水平、多数司机的收入都更高；且甲公司方差小于乙公司，说明甲公司司机收入更稳定，因此建议选择甲公司。
8. 三种品牌电脑平均测试分值相等，方差越小说明产品性能越稳定。已知$\hat{σ}_丙^2=0.8＜\hat{σ}_甲^2=1.2＜\hat{σ}_乙^2=2.5$，丙品牌方差最小，性能最稳定，因此建议选购丙品牌。
【答案】
7. (1) $a=7.3$，$b=5.5$，$c=7$，$d=\frac{47}{30}$，$e=\frac{76}{9}$；(2) 甲
8. 丙
【知识点】
统计量的计算；方差的意义；统计的实际应用
【点评】
题目结合生活实际考查统计相关知识，要求熟练掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量的实际意义，能结合数据特征做出合理决策，是统计知识生活化应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
第7题：(1) 求a、b、c、d、e需分别计算对应统计量：平均数为所有样本数据之和除以样本容量；中位数需先将数据从小到大排序，10个数据取第5、6个数据的平均值；众数是样本中出现次数最多的数；总体方差估计值为每个数据与平均数的差的平方和除以样本容量，按对应公式计算即可。(2) 选择公司时可对比两家的平均收入、中等收入水平、多数人收入水平以及收入稳定性（方差越小收入越稳定），综合判断更优选项。
第8题：三种电脑平均测试分值相同，方差反映数据波动程度，方差越小说明产品性能越稳定，选择方差最小的品牌即可。
【解析】
7. (1) 计算甲公司10名司机月收入的平均数：将10个收入数据求和后除以10，得$a=7.3$；
将乙公司10名司机月收入从小到大排序，取第5、6个数据的平均值，得中位数$b=5.5$；
甲公司10名司机月收入中出现次数最多的数值为7，故众数$c=7$；
根据方差公式计算甲公司的总体方差估计值，得$d=\frac{47}{30}$；
同理计算乙公司的总体方差估计值，得$e=\frac{76}{9}$。
(2) 对比两家公司统计量：甲公司的平均数、中位数、众数均大于乙公司，说明甲公司司机的平均收入、中等收入水平、多数司机的收入都更高；且甲公司方差小于乙公司，说明甲公司司机收入更稳定，因此建议选择甲公司。
8. 三种品牌电脑平均测试分值相等，方差越小说明产品性能越稳定。已知$\hat{σ}_丙^2=0.8＜\hat{σ}_甲^2=1.2＜\hat{σ}_乙^2=2.5$，丙品牌方差最小，性能最稳定，因此建议选购丙品牌。
【答案】
7. (1) $a=7.3$，$b=5.5$，$c=7$，$d=\frac{47}{30}$，$e=\frac{76}{9}$；(2) 甲
8. 丙
【知识点】
统计量的计算；方差的意义；统计的实际应用
【点评】
题目结合生活实际考查统计相关知识，要求熟练掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量的实际意义，能结合数据特征做出合理决策，是统计知识生活化应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
9 山东所产的大樱桃色泽艳丽、果肉细腻、汁甜如蜜、个大味美、营养丰富，深受消费者欢迎。贾先生几年前种植了甲、乙两块樱桃园，各栽种200棵樱桃树，成活率均为99%，现已挂果。为分析收成情况，他分别从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本，并采摘完样本树上的樱桃，每棵树的产量如图所示。
（1）分别计算甲、乙两块樱桃园样本的中位数与平均数。
（2）请根据样本平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量。
（3）通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定。
9 山东所产的大樱桃色泽艳丽、果肉细腻、汁甜如蜜、个大味美、营养丰富，深受消费者欢迎。贾先生几年前种植了甲、乙两块樱桃园，各栽种200棵樱桃树，成活率均为99%，现已挂果。为分析收成情况，他分别从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本，并采摘完样本树上的樱桃，每棵树的产量如图所示。
（1）分别计算甲、乙两块樱桃园样本的中位数与平均数。
（2）请根据样本平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量。
（3）通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定。
答案
9.(1) 甲樱桃园：$\bar{x}_甲=\frac{40+45+54+46+40}{5}=45(\mathrm{kg})$，中位数是45 kg；乙樱桃园：$\bar{x}_乙=\frac{43+38+49+42+48}{5}=44(\mathrm{kg})$，中位数是43 kg。
(2) 甲樱桃园产量：$200×99\%×45=8910(\mathrm{kg})$；乙樱桃园产量：$200×99\%×44=8712(\mathrm{kg})$。
(3) $\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{4}[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=33$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{4}[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=20.5$。因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
(2) 甲樱桃园产量：$200×99\%×45=8910(\mathrm{kg})$；乙樱桃园产量：$200×99\%×44=8712(\mathrm{kg})$。
(3) $\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{4}[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=33$，
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{4}[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=20.5$。因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
解析
【分析】
解决本题可按三步逐步推导：1. 求样本的中位数和平均数：先从折线统计图中分别提取甲、乙两块园5棵样本树的产量数据，将数据从小到大排序后，中间位置的数即为中位数，所有数据之和除以数据个数即可得到平均数；2. 估算总产量：先计算两块园樱桃树的成活总棵数，再用各自样本的平均数乘以成活棵数，即可得到总产量的估算值；3. 判断产量稳定性：计算两块园样本的总体方差估计值，方差越小说明数据波动越小、产量越稳定，比较两个方差大小即可得出结论。
【解析】
（1）提取样本数据计算：
甲樱桃园5棵树产量为40kg、45kg、54kg、46kg、40kg，从小到大排序为：40，40，45，46，54，共5个数据，中位数为第3个数据，即45kg；
平均数$\bar{x}_甲=\frac{40+45+54+46+40}{5}=45(\mathrm{kg})$。
乙樱桃园5棵树产量为43kg、38kg、49kg、42kg、48kg，从小到大排序为：38，42，43，48，49，中位数为第3个数据，即43kg；
平均数$\bar{x}_乙=\frac{43+38+49+42+48}{5}=44(\mathrm{kg})$。
（2）两块园樱桃树的成活棵数均为：$200×99\%=198$（棵）
甲樱桃园估算总产量：$198×45=8910(\mathrm{kg})$
乙樱桃园估算总产量：$198×44=8712(\mathrm{kg})$
（3）计算总体方差的估计值：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{4}[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=\frac{1}{4}×132=33$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{4}[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=\frac{1}{4}×82=20.5$
因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙樱桃园产量波动更小，因此乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
【答案】
(1) 甲樱桃园：$\bar{x}_甲=45\mathrm{kg}$，中位数是45 kg；乙樱桃园：$\bar{x}_乙=44\mathrm{kg}$，中位数是43 kg。
(2) 甲樱桃园产量：$8910\mathrm{kg}$；乙樱桃园产量：$8712\mathrm{kg}$。
(3) 乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
【知识点】
平均数与中位数，用样本估计总体，方差计算与应用
【点评】
本题贴近生活实际，综合考查了统计基础特征数的计算和应用，要求能准确从统计图中提取数据，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，是统计部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步逐步推导：1. 求样本的中位数和平均数：先从折线统计图中分别提取甲、乙两块园5棵样本树的产量数据，将数据从小到大排序后，中间位置的数即为中位数，所有数据之和除以数据个数即可得到平均数；2. 估算总产量：先计算两块园樱桃树的成活总棵数，再用各自样本的平均数乘以成活棵数，即可得到总产量的估算值；3. 判断产量稳定性：计算两块园样本的总体方差估计值，方差越小说明数据波动越小、产量越稳定，比较两个方差大小即可得出结论。
【解析】
（1）提取样本数据计算：
甲樱桃园5棵树产量为40kg、45kg、54kg、46kg、40kg，从小到大排序为：40，40，45，46，54，共5个数据，中位数为第3个数据，即45kg；
平均数$\bar{x}_甲=\frac{40+45+54+46+40}{5}=45(\mathrm{kg})$。
乙樱桃园5棵树产量为43kg、38kg、49kg、42kg、48kg，从小到大排序为：38，42，43，48，49，中位数为第3个数据，即43kg；
平均数$\bar{x}_乙=\frac{43+38+49+42+48}{5}=44(\mathrm{kg})$。
（2）两块园樱桃树的成活棵数均为：$200×99\%=198$（棵）
甲樱桃园估算总产量：$198×45=8910(\mathrm{kg})$
乙樱桃园估算总产量：$198×44=8712(\mathrm{kg})$
（3）计算总体方差的估计值：
$\hat{σ}^2_甲=\frac{1}{4}[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=\frac{1}{4}×132=33$
$\hat{σ}^2_乙=\frac{1}{4}[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=\frac{1}{4}×82=20.5$
因为$\hat{σ}^2_甲＞\hat{σ}^2_乙$，说明乙樱桃园产量波动更小，因此乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
【答案】
(1) 甲樱桃园：$\bar{x}_甲=45\mathrm{kg}$，中位数是45 kg；乙樱桃园：$\bar{x}_乙=44\mathrm{kg}$，中位数是43 kg。
(2) 甲樱桃园产量：$8910\mathrm{kg}$；乙樱桃园产量：$8712\mathrm{kg}$。
(3) 乙樱桃园的樱桃产量比较稳定。
【知识点】
平均数与中位数，用样本估计总体，方差计算与应用
【点评】
本题贴近生活实际，综合考查了统计基础特征数的计算和应用，要求能准确从统计图中提取数据，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，是统计部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
