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9.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的顶点均为格点.判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
9.解:$△ ABC$是直角三角形.理由如下：
$\because AC^2=2^2+4^2=20,BC^2=2^2+1^2=5,AB^2=3^2+4^2=25$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,
$\therefore△ ABC$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$.
$\because AC^2=2^2+4^2=20,BC^2=2^2+1^2=5,AB^2=3^2+4^2=25$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,
$\therefore△ ABC$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$.
解析
【分析】
要判断格点三角形的形状，可通过边长关系判定。首先借助网格特征，将三角形的三条边分别看作对应直角三角形的斜边，利用勾股定理计算三条边长度的平方（计算平方可避免开方运算，更加简便），再验证是否满足勾股定理的逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，按此思路推导即可得出结论。
【解析】
$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理，分别计算三条边的平方：
$AC^2=4^2+2^2=16+4=20$，
$BC^2=2^2+1^2=4+1=5$，
$AB^2=4^2+3^2=16+9=25$，
$\because 20+5=25$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore$ 由勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；格点图形计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常见基础题型，解题核心是结合网格特征用勾股定理求出各边的平方，再通过逆定理判定三角形形状，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断格点三角形的形状，可通过边长关系判定。首先借助网格特征，将三角形的三条边分别看作对应直角三角形的斜边，利用勾股定理计算三条边长度的平方（计算平方可避免开方运算，更加简便），再验证是否满足勾股定理的逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，按此思路推导即可得出结论。
【解析】
$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理，分别计算三条边的平方：
$AC^2=4^2+2^2=16+4=20$，
$BC^2=2^2+1^2=4+1=5$，
$AB^2=4^2+3^2=16+9=25$，
$\because 20+5=25$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore$ 由勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；格点图形计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常见基础题型，解题核心是结合网格特征用勾股定理求出各边的平方，再通过逆定理判定三角形形状，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用就能快速解答。
【难度系数】
0.8
10.(2024秋·高邮期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$M$,$N$是$△ ABC$边上的两个动点,其中点$N$从点$A$开始沿$A\rightarrow B$方向运动,且速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$M$从点$B$开始沿$B\rightarrow C\rightarrow A$方向运动,且速度为$4\ \mathrm{cm/s}$,它们同时出发,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)出发2 s后,求$MN$的长;
(2)当点$M$在边$BC$上运动时,出发几秒钟,$△ MNB$是等腰三角形?
(3)当点$M$在边$CA$上运动时,求能使$△ BCM$成为等腰三角形的$t$的值.
(1)出发2 s后,求$MN$的长;
(2)当点$M$在边$BC$上运动时,出发几秒钟,$△ MNB$是等腰三角形?
(3)当点$M$在边$CA$上运动时,求能使$△ BCM$成为等腰三角形的$t$的值.
答案
10.解:(1)当$t=2$时,$AN=2t=4\ \mathrm{cm}$,$BM=4t=8\ \mathrm{cm}$.
$\because AB=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BN=AB-AN=16-4=12(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中,由勾股定理可得
$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}(\mathrm{cm})$,
即$MN$的长为$4\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意,可知$AN=2t$,$BM=4t$.
又$\because AB=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BN=AB-AN=(16-2t)\mathrm{cm}$.
当$△ MNB$为等腰三角形时,$BN=BM$,
即$16-2t=4t$,解得$t=\dfrac{8}{3}$.
答:出发$\dfrac{8}{3}\ \mathrm{s}$后,$△ MNB$是等腰三角形.
(3)在$△ ABC$中,由勾股定理可求得$AC=20\ \mathrm{cm}$.
当点$M$在$AC$上运动时,$AM=BC+AC-4t=32-4t$,
$\therefore CM=AC-AM=20-(32-4t)=4t-12$.
$\because△ BCM$为等腰三角形,
$\therefore$分$BM=BC$,$CM=BC$和$CM=BM$三种情况:
①当$BM=BC=12$时,过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$,则
$CE=\dfrac{1}{2}CM=2t-6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,可求得$BE=\dfrac{48}{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,由勾股定理可得$BC^2=BE^2+CE^2$,即
$12^2=(\dfrac{48}{5})^2+(2t-6)^2$,解得$t=6.6$或$t=-0.6$(舍去).
②当$CM=BC=12$时,$4t-12=12$,解得$t=6$.
③当$CM=BM$时,$∠ C=∠ MBC$.
$\because∠ C+∠ A=90°$,$∠ CBM+∠ MBA=90°$,
$\therefore∠ A=∠ MBA$,$\therefore MB=MA$,
$\therefore CM=AM=10$,即$4t-12=10$,解得$t=5.5$.
综上可知,当$t$的值为$6.6$或$6$或$5.5$时,$△ BCM$为等腰三角形.
$\because AB=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BN=AB-AN=16-4=12(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中,由勾股定理可得
$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}(\mathrm{cm})$,
即$MN$的长为$4\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意,可知$AN=2t$,$BM=4t$.
又$\because AB=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BN=AB-AN=(16-2t)\mathrm{cm}$.
当$△ MNB$为等腰三角形时,$BN=BM$,
即$16-2t=4t$,解得$t=\dfrac{8}{3}$.
答:出发$\dfrac{8}{3}\ \mathrm{s}$后,$△ MNB$是等腰三角形.
(3)在$△ ABC$中,由勾股定理可求得$AC=20\ \mathrm{cm}$.
当点$M$在$AC$上运动时,$AM=BC+AC-4t=32-4t$,
$\therefore CM=AC-AM=20-(32-4t)=4t-12$.
$\because△ BCM$为等腰三角形,
$\therefore$分$BM=BC$,$CM=BC$和$CM=BM$三种情况:
①当$BM=BC=12$时,过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$,则
$CE=\dfrac{1}{2}CM=2t-6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,可求得$BE=\dfrac{48}{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,由勾股定理可得$BC^2=BE^2+CE^2$,即
$12^2=(\dfrac{48}{5})^2+(2t-6)^2$,解得$t=6.6$或$t=-0.6$(舍去).
②当$CM=BC=12$时,$4t-12=12$,解得$t=6$.
③当$CM=BM$时,$∠ C=∠ MBC$.
$\because∠ C+∠ A=90°$,$∠ CBM+∠ MBA=90°$,
$\therefore∠ A=∠ MBA$,$\therefore MB=MA$,
$\therefore CM=AM=10$,即$4t-12=10$,解得$t=5.5$.
综上可知,当$t$的值为$6.6$或$6$或$5.5$时,$△ BCM$为等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 先根据运动速度和时间计算t=2时AN、BM的长度，再结合AB的长度求出BN的长度，由于∠B=90°，△BMN是直角三角形，直接利用勾股定理即可求出MN的长。
(2) 点M在BC上运动时，△MNB的内角∠B为直角，若该三角形为等腰三角形，仅需两条直角边BN=BM，分别用含t的代数式表示BN和BM，列一元一次方程求解即可。
(3) 首先用勾股定理求出AC的长度，再用含t的代数式表示出CM的长度；当△BCM为等腰三角形时，分三种情况讨论：①CM=BC，②BM=BC，③CM=BM，分别结合勾股定理、等腰三角形等角对等边的性质列方程求解，舍去不符合动点运动范围的解即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 当$t=2$时，$AN=2t=4\ \mathrm{cm}$，$BM=4t=8\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AB-AN=16-4=12(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中，由勾股定理可得
$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意，可知$AN=2t$，$BM=4t$。
又$\because AB=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AB-AN=(16-2t)\mathrm{cm}$。
当$△ MNB$为等腰三角形时，$BN=BM$，
即$16-2t=4t$，解得$t=\dfrac{8}{3}$。
(3) 在$△ ABC$中，由勾股定理可求得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\ \mathrm{cm}$。
当点$M$在$AC$上运动时，$M$运动的总路程为$4t$，则$CM=4t-BC=4t-12$。
$\because△ BCM$为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$BM=BC=12$时，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，则$CE=\dfrac{1}{2}CM=2t-6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用面积法可求得$BE=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{16×12}{20}=\dfrac{48}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理可得$BC^2=BE^2+CE^2$，即
$12^2=(\dfrac{48}{5})^2+(2t-6)^2$，解得$t=6.6$或$t=-0.6$(舍去)。
②当$CM=BC=12$时，$4t-12=12$，解得$t=6$。
③当$CM=BM$时，$∠ C=∠ MBC$。
$\because∠ C+∠ A=90°$，$∠ CBM+∠ MBA=90°$，
$\therefore∠ A=∠ MBA$，$\therefore MB=MA$，
$\therefore CM=AM=\dfrac{1}{2}AC=10$，即$4t-12=10$，解得$t=5.5$。
综上，符合条件的t的值为5.5、6、6.6。
【答案】
(1) $4\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$；
(2) $\dfrac{8}{3}\ \mathrm{s}$；
(3) $5.5$或$6$或$6.6$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合动点问题综合考查勾股定理与等腰三角形的性质，解题时需注意结合动点的运动范围判断解的合理性，对于等腰三角形的存在性问题要按腰的不同情况分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.5
(1) 先根据运动速度和时间计算t=2时AN、BM的长度，再结合AB的长度求出BN的长度，由于∠B=90°，△BMN是直角三角形，直接利用勾股定理即可求出MN的长。
(2) 点M在BC上运动时，△MNB的内角∠B为直角，若该三角形为等腰三角形，仅需两条直角边BN=BM，分别用含t的代数式表示BN和BM，列一元一次方程求解即可。
(3) 首先用勾股定理求出AC的长度，再用含t的代数式表示出CM的长度；当△BCM为等腰三角形时，分三种情况讨论：①CM=BC，②BM=BC，③CM=BM，分别结合勾股定理、等腰三角形等角对等边的性质列方程求解，舍去不符合动点运动范围的解即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
(1) 当$t=2$时，$AN=2t=4\ \mathrm{cm}$，$BM=4t=8\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AB-AN=16-4=12(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ BMN$中，由勾股定理可得
$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意，可知$AN=2t$，$BM=4t$。
又$\because AB=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AB-AN=(16-2t)\mathrm{cm}$。
当$△ MNB$为等腰三角形时，$BN=BM$，
即$16-2t=4t$，解得$t=\dfrac{8}{3}$。
(3) 在$△ ABC$中，由勾股定理可求得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\ \mathrm{cm}$。
当点$M$在$AC$上运动时，$M$运动的总路程为$4t$，则$CM=4t-BC=4t-12$。
$\because△ BCM$为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$BM=BC=12$时，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，则$CE=\dfrac{1}{2}CM=2t-6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用面积法可求得$BE=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{16×12}{20}=\dfrac{48}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理可得$BC^2=BE^2+CE^2$，即
$12^2=(\dfrac{48}{5})^2+(2t-6)^2$，解得$t=6.6$或$t=-0.6$(舍去)。
②当$CM=BC=12$时，$4t-12=12$，解得$t=6$。
③当$CM=BM$时，$∠ C=∠ MBC$。
$\because∠ C+∠ A=90°$，$∠ CBM+∠ MBA=90°$，
$\therefore∠ A=∠ MBA$，$\therefore MB=MA$，
$\therefore CM=AM=\dfrac{1}{2}AC=10$，即$4t-12=10$，解得$t=5.5$。
综上，符合条件的t的值为5.5、6、6.6。
【答案】
(1) $4\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$；
(2) $\dfrac{8}{3}\ \mathrm{s}$；
(3) $5.5$或$6$或$6.6$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合动点问题综合考查勾股定理与等腰三角形的性质，解题时需注意结合动点的运动范围判断解的合理性，对于等腰三角形的存在性问题要按腰的不同情况分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.5
