1.(2024秋·建湖县期末)在平面直角坐标系中,点A(2025,−1)位于 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1.D

【分析】
要判断点所在的象限，需先牢记平面直角坐标系中四个象限内点的横、纵坐标的符号规律，再确定所给点的横坐标、纵坐标的正负，最后将符号对应到相应象限即可得到答案。
【解析】
平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号特征如下：
1. 第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，符号为(+, +)；
2. 第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，符号为(-, +)；
3. 第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，符号为(-, -)；
4. 第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，符号为(+, -)。
已知点A坐标为(2025, -1)，其中横坐标2025＞0为正，纵坐标-1＜0为负，符号符合第四象限的特征，因此点A位于第四象限。
【答案】
D
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查对平面直角坐标系象限坐标符号规律的掌握，牢记各象限横纵坐标的正负特点即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

2.(2024秋·新沂月考)过点(2,-1)且平行于y轴的直线上任意一点的 （）

A.横坐标都是2
B.纵坐标都是2
C.横坐标都是－1
D.纵坐标都是－1

2.A

【分析】
解题时先回忆平行于y轴的直线的坐标特征：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，纵坐标可取任意实数。接下来结合直线过点(2,-1)的条件，确定这条直线的固定横坐标值，再逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
在平面直角坐标系中，平行于y轴的直线的坐标特点为：直线上所有点的横坐标相同，纵坐标为任意实数。
已知该直线过点(2,-1)，因此这条直线上所有点的横坐标都等于该点的横坐标2，纵坐标可以是任意实数。
对选项逐一判断：
A. 横坐标都是2，符合结论，正确；
B. 纵坐标都是2，不符合特征，错误；
C. 横坐标都是-1，不符合特征，错误；
D. 纵坐标都是-1是过点(2,-1)且平行于x轴的直线的特征，不符合题意，错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行于y轴的直线的坐标特征
2. 点的坐标定义
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查平行于坐标轴的直线的坐标规律，牢记“平行于y轴横坐标相等，平行于x轴纵坐标相等”的结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(8,0),点B的坐标是(0,6),把线段AB绕点B逆时针旋转$90°$得到线段BC,则点C的坐标是 ()

A.(6,8)
B.(8,6)
C.(8,14)
D.(6,14)

3.D

【分析】
解决平面直角坐标系中线段旋转90°求对应点坐标的问题，可通过作垂线构造直角三角形，利用旋转的性质得到边相等、角的关系，证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，计算所求点到x轴、y轴的距离，结合点所在象限得到坐标。
【解析】
过点C作CD⊥y轴于点D，可得∠CDB=∠BOA=90°。
由旋转的性质可知：AB=BC，∠ABC=90°，因此∠ABO + ∠CBD = 90°。
在Rt△AOB中，∠ABO + ∠BAO = 90°，所以∠CBD=∠BAO。
在△CDB和△BOA中：
$\{\begin{array}{l}∠CDB=∠BOA \\∠CBD=∠BAO \\CB=BA\end{array} $
所以△CDB≌△BOA（AAS）。
已知A(8,0)，B(0,6)，则OA=8，OB=6。
根据全等三角形对应边相等，得CD=OB=6，BD=OA=8。
因此点C到y轴的距离为CD=6，到x轴的距离为OD=OB+BD=6+8=14，又点C在第一象限，故点C的坐标为(6,14)。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是坐标系与旋转结合的典型题，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，将已知线段长度转化为所求点到坐标轴的距离，计算时要注意结合点的位置判断坐标符号。
【难度系数】
0.7

4.点$P(3,-4)$关于$y$轴对称的点的坐标是.

4.(-3,-4)

【分析】
要解决求已知点关于y轴对称点的坐标的问题，首先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数。我们先提取已知点P的横、纵坐标，再按照规律将横坐标替换为它的相反数，纵坐标不变，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征：若两点关于y轴对称，则它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(3,-4)$，其中横坐标为3，3的相反数是$-3$，纵坐标为$-4$保持不变，因此点P关于y轴对称的点的坐标为$(-3,-4)$。
【答案】
$(-3,-4)$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标规律、相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中点的对称坐标变换，只要牢记不同对称方式对应的坐标变化规则即可快速求解，是平面直角坐标系章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9

5.(2024秋·建湖县期末)如图,在围棋盘上有三枚棋子,如果黑棋①的位置用坐标表示为(1,-1),黑棋②的位置用坐标表示为(-2,0),则白棋③的位置用坐标表示为.

5.(-3,2)

【分析】
要确定白棋③的坐标，首先需要根据已知的两个黑棋坐标建立正确的平面直角坐标系：首先明确坐标的含义，横坐标表示点在水平方向相对原点的位置（右正左负），纵坐标表示点在竖直方向相对原点的位置（上正下负）。先根据黑棋①(1,-1)推算原点的位置，再用黑棋②的坐标验证坐标系是否正确，最后读取白棋③的坐标即可。
【解析】
1. 确定坐标轴与原点：根据坐标的定义，x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向。已知黑棋①的坐标为(1,-1)，说明该点在原点右侧1格、下方1格，因此原点的位置为黑棋①向左1格、向上1格的格点处。
2. 验证坐标系：观察黑棋②的位置，它在原点左侧2格、同一水平线上，坐标为(-2,0)，与题目给出的坐标一致，说明坐标系建立正确。
3. 读取白棋③的坐标：白棋③在原点左侧3格、上方2格，因此横坐标为-3，纵坐标为2，坐标为(-3,2)。
【答案】
(-3,2)
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示；坐标定位
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标的确定，解题核心是先利用已知点坐标准确定位原点和坐标轴方向，再读取未知点坐标，属于基础类题型，熟练掌握坐标的含义是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6.(徐州二模)如图,在平面直角坐标系中,函数$y=2x$和$y=-x$的图象分别为直线$l_1,l_2$,过点$(1,0)$作$x$轴的垂线交$l_1$于点$A_1$,过点$A_1$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_2$,过点$A_2$作$x$轴的垂线交$l_1$于点$A_3$,过点$A_3$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_4$.依次进行下去,则点$A_{2025}$的坐标为.

6.$(2^{1012},2^{1013})$

【分析】
要解决本题，我们可以先按照题目给出的作图步骤，依次计算前几个点的坐标，观察奇数下标点的坐标变化规律，再结合2025是奇数的特征，推导得到$A_{2025}$的坐标。首先明确：过点作x轴垂线时，垂线上所有点横坐标相同；过点作y轴垂线时，垂线上所有点纵坐标相同，代入对应直线解析式即可求出下一个点的坐标。
【解析】
我们先依次计算前几个点的坐标：
1. 求$A_1$：过点$(1,0)$作x轴的垂线，此时$x=1$，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×1=2$，故$A_1(1,2)$；
2. 求$A_2$：过$A_1$作y轴的垂线，此时$y=2$，代入$l_2:y=-x$，得$2=-x$即$x=-2$，故$A_2(-2,2)$；
3. 求$A_3$：过$A_2$作x轴的垂线，此时$x=-2$，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×(-2)=-4$，故$A_3(-2,-4)$；
4. 求$A_4$：过$A_3$作y轴的垂线，此时$y=-4$，代入$l_2:y=-x$，得$-4=-x$即$x=4$，故$A_4(4,-4)$；
5. 求$A_5$：过$A_4$作x轴的垂线，此时$x=4$，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×4=8$，故$A_5(4,8)$；
观察奇数下标的点的坐标规律：
下标为$1=2×1-1$时，$A_1(2^0,2^1)$，在第一象限；
下标为$3=2×2-1$时，$A_3(-2^1,-2^2)$，在第三象限；
下标为$5=2×3-1$时，$A_5(2^2,2^3)$，在第一象限；
可得规律：当下标为$2m-1$（$m$为正整数）时，若$m$为奇数，点在第一象限，坐标为$(2^{m-1},2^m)$；若$m$为偶数，点在第三象限，坐标为$(-2^{m-1},-2^m)$。
现在求$A_{2025}$，令$2m-1=2025$，解得$m=1013$，$1013$是奇数，因此$A_{2025}$在第一象限，坐标为$(2^{1013-1},2^{1013})=(2^{1012},2^{1013})$。
【答案】
$(2^{1012},2^{1013})$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先通过枚举前几个点的坐标归纳出通用规律，再结合所求点的下标特征求解，既考查了一次函数的基础性质，也考查了归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6

7.(徐州期末)如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(1,0),点C在第一象限,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)求点C到y轴的距离;
(2)点C的坐标为.

7.(1)解:过点C作$CD⊥y$轴于点D,
则$∠CDA=∠AOB=90°$.
$∵∠BAC=90°,∴∠CAD+∠BAO=90°$.
$∵∠AOB=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°$,
$∴∠CAD=∠ABO$.
在$△CAD$和$△ABO$中,$\{\begin{array}{l} ∠CDA=∠AOB,\\ ∠CAD=∠ABO,\\ AC=BA,\end{array} $
$∴△CAD≌△ABO(AAS),∴CD=AO$.
$∵$点A的坐标是$(0,2)$,
$∴CD=AO=2$,即点C到y轴的距离是2.
(2)(2,3)

【分析】
(1) 求点C到y轴的距离即求点C横坐标的绝对值，结合已知∠BAC=90°、AB=AC的条件，可通过作辅助线构造全等三角形求解：过C作CD垂直y轴于D，得到两个直角三角形△CDA和△AOB，先利用同角的余角相等推出两组角对应相等，结合AB=AC证明两个三角形全等，根据全等对应边相等即可得到CD的长度，也就是点C到y轴的距离。
(2) 在全等的基础上得到AD=OB，结合A、B的坐标计算出C点的纵坐标，再结合第一问的横坐标结果，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥y$轴于点D，则$∠CDA=∠AOB=90°$。
∵$∠BAC=90°$，
∴$∠CAD+∠BAO=90°$。
∵$∠AOB=90°$，
∴$∠ABO+∠BAO=90°$，
∴$∠CAD=∠ABO$。
在$△CAD$和$△ABO$中：
$\{\begin{array}{l} ∠CDA=∠AOB\\ ∠CAD=∠ABO\\ AC=BA\end{array} $
∴$△CAD≌△ABO(AAS)$，
∴$CD=AO$。
∵点A的坐标是$(0,2)$，
∴$AO=2$，即$CD=2$，
故点C到y轴的距离是2。
(2) 由$△CAD≌△ABO$可得$AD=OB$，
∵点B的坐标是$(1,0)$，
∴$OB=1$，即$AD=1$，
∴$OD=OA+AD=2+1=3$。
∵点C在第一象限，横坐标等于CD的长度2，纵坐标等于OD的长度3，
∴点C的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) 点C到y轴的距离为2；
(2) $(2,3)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标，余角的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何全等结合的常规题型，解题核心是根据已知的垂直、等线段条件合理作辅助线构造全等模型，通过角的互余关系推导等角，为证明全等提供条件，进而求解线段长度和点的坐标。
【难度系数】
0.7