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1.(2024秋·江阴月考)如图,数轴上表示$3,\sqrt{13}$的对应点分别为C,B.若C是AB的中点,则点A表示的数是 (
A.$-\sqrt{13}$
B.$3-\sqrt{13}$
C.$6-\sqrt{13}$
D.$\sqrt{13}-3$
C
)A.$-\sqrt{13}$
B.$3-\sqrt{13}$
C.$6-\sqrt{13}$
D.$\sqrt{13}-3$
答案
1.C
解析
【分析】
本题可利用数轴上线段中点的性质求解，首先明确：若点C是线段AB的中点，则C到A、C到B的距离相等，或中点对应的数是线段两端点对应数的平均值。我们可以先设点A表示的数为x，再根据中点的等量关系列方程，最后解方程即可得到A表示的数。
【解析】
设点A表示的数为$ x $。
因为数轴上点C是AB的中点，C对应的数为3，B对应的数为$ \sqrt{13} $，根据中点坐标的性质，中点对应的数等于两端点对应数的平均数，可得：
$\frac{x + \sqrt{13}}{2} = 3$
等式两边同时乘2得：
$ x + \sqrt{13} = 6 $
移项得：
$ x = 6 - \sqrt{13} $
也可通过距离计算：先算线段BC的长度为$ \sqrt{13} - 3 $，由C是中点可知$ AC=BC=\sqrt{13}-3 $，因为A在C左侧，所以A对应的数为$ 3 - (\sqrt{13} - 3) = 6 - \sqrt{13} $。
【答案】
C
【知识点】
实数与数轴，线段中点性质
【点评】
本题是数轴与中点性质结合的基础题，解题核心是抓住中点的等量关系，既可以用中点坐标公式列方程求解，也可以通过两点距离相等计算，方法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用数轴上线段中点的性质求解，首先明确：若点C是线段AB的中点，则C到A、C到B的距离相等，或中点对应的数是线段两端点对应数的平均值。我们可以先设点A表示的数为x，再根据中点的等量关系列方程，最后解方程即可得到A表示的数。
【解析】
设点A表示的数为$ x $。
因为数轴上点C是AB的中点，C对应的数为3，B对应的数为$ \sqrt{13} $，根据中点坐标的性质，中点对应的数等于两端点对应数的平均数，可得：
$\frac{x + \sqrt{13}}{2} = 3$
等式两边同时乘2得：
$ x + \sqrt{13} = 6 $
移项得：
$ x = 6 - \sqrt{13} $
也可通过距离计算：先算线段BC的长度为$ \sqrt{13} - 3 $，由C是中点可知$ AC=BC=\sqrt{13}-3 $，因为A在C左侧，所以A对应的数为$ 3 - (\sqrt{13} - 3) = 6 - \sqrt{13} $。
【答案】
C
【知识点】
实数与数轴，线段中点性质
【点评】
本题是数轴与中点性质结合的基础题，解题核心是抓住中点的等量关系，既可以用中点坐标公式列方程求解，也可以通过两点距离相等计算，方法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如图，正方形ABCD的边长为1，以点A为圆心，AC的长为半径画弧与数轴相交，则交点对应的数是（
A.$-1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-1-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$\pm\sqrt{2}$
C
）A.$-1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-1-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$\pm\sqrt{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确三个关键点：①先根据正方形边长，用勾股定理求出半径AC的长度；②确定圆心A在数轴上对应的数值；③圆与数轴相交会产生两个交点，分别位于点A的左侧和右侧，再根据数轴上点的平移规律“左减右加”，分别计算两个交点对应的数即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴在Rt△ADC中，AD=DC=1，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
由数轴可知点A对应的数是-1，
以A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于两点：
当交点在点A右侧时，对应的数为：$-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$；
当交点在点A左侧时，对应的数为：$-1-\sqrt{2}$；
∴交点对应的数是$-1-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，正方形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题时要注意圆与直线相交存在两个交点，避免漏解，解题的核心是正确求出半径长度，以及明确圆心在数轴上对应的数值。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确三个关键点：①先根据正方形边长，用勾股定理求出半径AC的长度；②确定圆心A在数轴上对应的数值；③圆与数轴相交会产生两个交点，分别位于点A的左侧和右侧，再根据数轴上点的平移规律“左减右加”，分别计算两个交点对应的数即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴在Rt△ADC中，AD=DC=1，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
由数轴可知点A对应的数是-1，
以A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于两点：
当交点在点A右侧时，对应的数为：$-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$；
当交点在点A左侧时，对应的数为：$-1-\sqrt{2}$；
∴交点对应的数是$-1-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，正方形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题时要注意圆与直线相交存在两个交点，避免漏解，解题的核心是正确求出半径长度，以及明确圆心在数轴上对应的数值。
【难度系数】
0.7
3.(2024春·江阴月考)根据下列条件,不能判定$△ ABC$是直角三角形的是 （
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
D
）A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
答案
3.D
解析
【分析】
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的内角。我们已知三角形内角和为180°，因此可将每个选项给出的角的数量关系与内角和定理联立，计算最大内角的度数，若最大内角为90°则是直角三角形，反之则不是。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项B：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，即$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项C：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项D：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°＜90°$，不能判定是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形形状的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合给出的角的关系求解内角的度数，属于基础题型，计算时注意比例类条件设未知数列式的方法即可。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的内角。我们已知三角形内角和为180°，因此可将每个选项给出的角的数量关系与内角和定理联立，计算最大内角的度数，若最大内角为90°则是直角三角形，反之则不是。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项B：已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，即$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项C：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意；
选项D：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°＜90°$，不能判定是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形形状的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合给出的角的关系求解内角的度数，属于基础题型，计算时注意比例类条件设未知数列式的方法即可。
【难度系数】
0.8
4.无理数$\sqrt{13}$的值介于 （
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
B
）A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
4.B
解析
【分析】
要确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。首先找到与13相邻的两个完全平方数，也就是两个连续正整数的平方，使得其中一个小于13，另一个大于13，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{13}$的范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$3^2=9$，$4^2=16$
因为$9＜13＜16$，根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$
化简后得到$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的值介于3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查无理数大小的估算方法，熟练记忆常见正整数的平方值，能快速锁定相邻的完全平方数，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。首先找到与13相邻的两个完全平方数，也就是两个连续正整数的平方，使得其中一个小于13，另一个大于13，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{13}$的范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$3^2=9$，$4^2=16$
因为$9＜13＜16$，根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$
化简后得到$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的值介于3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查无理数大小的估算方法，熟练记忆常见正整数的平方值，能快速锁定相邻的完全平方数，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5.将3.046精确到百分位，所得的近似数为
3.05
。答案
5.3.05
解析
【分析】
要解决将小数精确到百分位的问题，首先需明确：精确到百分位就是保留小数点后两位，此时需要观察小数点后第三位（千分位）的数字，按照四舍五入的规则判断是否进位。若千分位数字≥5，则向百分位进1；若＜5，则直接舍去千分位及后面的数字，最后注意保留到指定数位，不能随意省略对应数位上的数字。
【解析】
首先确定3.046的数位：小数点后第1位是十分位（数字0），第2位是百分位（数字4），第3位是千分位（数字6）。
题目要求精确到百分位，需观察千分位数字6，因为6≥5，符合四舍五入的进位条件，因此向百分位进1，百分位的4加1后变为5，舍去千分位的6，最终得到近似数3.05。
【答案】
3.05
【知识点】
1.近似数的精确度
2.四舍五入法取近似值
【点评】
本题是近似数相关的基础题，核心考查四舍五入规则的应用，易错点在于部分同学可能看错精确到的数位，或进位后错误修改更高位的数字，做题时先定位要精确的数位，再判断下一位数字的舍入情况即可。
【难度系数】
0.9
要解决将小数精确到百分位的问题，首先需明确：精确到百分位就是保留小数点后两位，此时需要观察小数点后第三位（千分位）的数字，按照四舍五入的规则判断是否进位。若千分位数字≥5，则向百分位进1；若＜5，则直接舍去千分位及后面的数字，最后注意保留到指定数位，不能随意省略对应数位上的数字。
【解析】
首先确定3.046的数位：小数点后第1位是十分位（数字0），第2位是百分位（数字4），第3位是千分位（数字6）。
题目要求精确到百分位，需观察千分位数字6，因为6≥5，符合四舍五入的进位条件，因此向百分位进1，百分位的4加1后变为5，舍去千分位的6，最终得到近似数3.05。
【答案】
3.05
【知识点】
1.近似数的精确度
2.四舍五入法取近似值
【点评】
本题是近似数相关的基础题，核心考查四舍五入规则的应用，易错点在于部分同学可能看错精确到的数位，或进位后错误修改更高位的数字，做题时先定位要精确的数位，再判断下一位数字的舍入情况即可。
【难度系数】
0.9
6.(2024秋·锡山区期中)如图,某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=2 m,当人体进入感应范围内时,感应门就会自动打开,一个身高1.5 m的学生CD刚走到离门间距CB=1.2 m的地方时,感应门自动打开,则该感应器的感应长度AD为
1.3
m.答案
6.1.3
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际生活中的应用，解题思路如下：首先我们需要通过作辅助线构造直角三角形，将已知的长度转化为直角三角形的边长。已知AB是感应器离地高度，CD是学生身高，水平距离CB是学生到门的距离，过D作AB的垂线后，可得到直角三角形ADE，其中竖直方向的直角边长度为AB与CD的差，水平方向的直角边长度等于CB，最后利用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵DE⊥AB，AB⊥CB，CD⊥CB，
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=CB=1.2m，BE=CD=1.5m，
∴AE=AB - BE=2 - 1.5=0.5m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，
∴$AD=\sqrt{1.69}=1.3$（m）。
【答案】
1.3
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的感应门场景考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际生活中的应用，解题思路如下：首先我们需要通过作辅助线构造直角三角形，将已知的长度转化为直角三角形的边长。已知AB是感应器离地高度，CD是学生身高，水平距离CB是学生到门的距离，过D作AB的垂线后，可得到直角三角形ADE，其中竖直方向的直角边长度为AB与CD的差，水平方向的直角边长度等于CB，最后利用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵DE⊥AB，AB⊥CB，CD⊥CB，
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=CB=1.2m，BE=CD=1.5m，
∴AE=AB - BE=2 - 1.5=0.5m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，
∴$AD=\sqrt{1.69}=1.3$（m）。
【答案】
1.3
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的感应门场景考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
7.如图，化简$|a-\sqrt{3}|-|b+\sqrt{3}|$的结果是
$-a-b$
。答案
7.$-a-b$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定各数的大小关系：$b＜0＜a＜\sqrt{3}$，且b的绝对值小于$\sqrt{3}$，由此判断绝对值内两个代数式的正负性；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得：$b ＜ 0 ＜ a ＜ \sqrt{3}$，且$|b| ＜ \sqrt{3}$，
∴ $a - \sqrt{3} ＜ 0$，$b + \sqrt{3} ＞ 0$，
根据绝对值的性质：
$|a - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - a$，$|b + \sqrt{3}| = b + \sqrt{3}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a - \sqrt{3}| - |b + \sqrt{3}|&=(\sqrt{3} - a) - (b + \sqrt{3})\\&=\sqrt{3} - a - b - \sqrt{3}\\&=-a - b\end{aligned}$
【答案】
$-a - b$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题属于基础化简题，将数轴与绝对值化简结合考查，解题的核心是通过数轴准确判断绝对值内代数式的正负，再灵活运用绝对值的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定各数的大小关系：$b＜0＜a＜\sqrt{3}$，且b的绝对值小于$\sqrt{3}$，由此判断绝对值内两个代数式的正负性；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得：$b ＜ 0 ＜ a ＜ \sqrt{3}$，且$|b| ＜ \sqrt{3}$，
∴ $a - \sqrt{3} ＜ 0$，$b + \sqrt{3} ＞ 0$，
根据绝对值的性质：
$|a - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - a$，$|b + \sqrt{3}| = b + \sqrt{3}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a - \sqrt{3}| - |b + \sqrt{3}|&=(\sqrt{3} - a) - (b + \sqrt{3})\\&=\sqrt{3} - a - b - \sqrt{3}\\&=-a - b\end{aligned}$
【答案】
$-a - b$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题属于基础化简题，将数轴与绝对值化简结合考查，解题的核心是通过数轴准确判断绝对值内代数式的正负，再灵活运用绝对值的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
8.(1)计算：$\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}-2026^0$；(2)求$x$的值：$3x^2=12$。
答案
8.解:(1)原式$=3-2-1=0$.
(2)由$3x^2=12$,得$x^2=4$,$\therefore x=\pm2$.
(2)由$3x^2=12$,得$x^2=4$,$\therefore x=\pm2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，(1)是实数混合运算，解题时先分别算出算术平方根、立方根、零指数幂的数值，再按从左到右的顺序做加减运算即可；(2)是含平方的一元二次方程求解，先把方程的二次项系数化为1得到x²的值，再根据平方根的定义开平方求x，注意正数有两个互为相反数的平方根，不能漏解。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，结果为-2；非零数的0次幂为1，因此$2026^0=1$。代入原式计算：
原式$=3-2-1=0$
(2) 求解方程$3x^2=12$：
第一步，方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2=4$；
第二步，4的平方根为±2，因此$x=\pm2$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{x=\pm2}$
【知识点】
1. 实数的运算
2. 零指数幂的性质
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察基础运算规则的掌握情况。第一问要牢记常见开方运算的结果以及零指数幂的性质，第二问要注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根失分。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，(1)是实数混合运算，解题时先分别算出算术平方根、立方根、零指数幂的数值，再按从左到右的顺序做加减运算即可；(2)是含平方的一元二次方程求解，先把方程的二次项系数化为1得到x²的值，再根据平方根的定义开平方求x，注意正数有两个互为相反数的平方根，不能漏解。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，结果为-2；非零数的0次幂为1，因此$2026^0=1$。代入原式计算：
原式$=3-2-1=0$
(2) 求解方程$3x^2=12$：
第一步，方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2=4$；
第二步，4的平方根为±2，因此$x=\pm2$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{x=\pm2}$
【知识点】
1. 实数的运算
2. 零指数幂的性质
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察基础运算规则的掌握情况。第一问要牢记常见开方运算的结果以及零指数幂的性质，第二问要注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根失分。
【难度系数】
0.9
