8.如图,在等边三角形ABC中,点D在边BC上,过点D作DE//AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:CD=CF.

8.(1)解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE//AB,
∴∠B=∠EDC=60°.
∵DE⊥EF,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB,
∴∠B=∠EDC=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴△DEC是等边三角形,
∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,
∴∠CEF=∠F=30°,
∴EC=CF,
∴CD=CF.

【分析】
(1) 求∠F的度数时，先观察到EF⊥DE，△DEF是直角三角形，∠F与∠EDF互余，因此只需先求∠EDF的度数。已知△ABC是等边三角形可得∠B=60°，结合DE//AB，由平行线的同位角相等即可推出∠EDF=60°，再利用直角三角形两锐角互余就能算出∠F。
(2) 证明CD=CF可通过等量代换推导：首先由DE//AB结合等边△ABC的内角为60°，可证△DEC是等边三角形，得到CD=CE；再利用三角形外角的性质，结合已求出的∠F=30°，可推出∠CEF=∠F，由等角对等边得CE=CF，最终可证CD=CF。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°。
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，即△DEC为等边三角形，
∴CE=CD。
∵∠ECD是△ECF的外角，
∴∠ECD=∠F+∠CEF，
又
∵∠F=30°，
∴∠CEF=60°-30°=30°=∠F，
∴EC=CF，
∴CD=CF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$
(2) 已证$\boldsymbol{CD=CF}$
【知识点】
等边三角形的性质与判定；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是熟练利用平行线的性质得到角的等量关系，结合等边三角形、等腰三角形的判定与性质完成角和边的关系转化，侧重考查对基础几何定理的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

9. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是直线$BC$上一点，以$AD$为一条边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AE=AD$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.
(1)如图，当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，若$∠ BAC=25°$，则$∠ DCE$的度数是.
(2)设$∠ BAC=α$，$∠ DCE=β$.
①当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，$α$与$β$之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点$D$在直线$BC$上(不与$B$，$C$两点重合)移动时，$α$与$β$之间有什么数量关系？请直接写出你的结论.

9.(1)25°
(2)解:①当点D在线段BC的延长线上移动时,α与β之间的数量关系是α=β.理由如下:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠BAC=α,∠DCE=β,
∴α=β.
②当点D在线段BC上时,α+β=180°;当点D在线段BC延长线或反向延长线上时,α=β.

【分析】
(1) 首先观察已知条件，存在两组等边AB=AC、AD=AE，且∠DAE=∠BAC，可通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，用SAS证明△ BAD≌△ CAE得到对应角相等，再结合三角形外角性质即可求出∠DCE的度数。(2) ①和第一问思路一致，通过证全等得到角的等量关系，再利用外角性质代换即可得到α和β的数量关系；②需要分三种情况讨论点D的位置：点D在线段BC上、点D在线段BC的延长线上、点D在线段BC的反向延长线上，分别结合全等性质和角的和差关系推导α与β的数量关系。【解析】(1) 已知∠DAE=∠BAC，则∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△ BAD和△ CAE中：$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$可得$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，因此∠B=∠ACE。根据三角形外角性质，∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，代入∠B=∠ACE，可得∠BAC=∠DCE，已知∠BAC=25°，因此∠DCE=25°。(2) ①当点D在线段BC的延长线上移动时，α=β，理由如下：$\because ∠DAE=∠BAC$，$\therefore ∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD$，即∠BAD=∠CAE。在△ BAD和△ CAE中，$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠B=∠ACE$。$\because ∠ACD$是△ ABC的外角，$\therefore ∠ACD=∠B+∠BAC$，又$\because ∠ACD=∠ACE+∠DCE$，$\therefore ∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE$，将∠B=∠ACE代入，得∠BAC=∠DCE。$\because ∠BAC=α$，∠DCE=β，$\therefore α=β$。②分情况推导：当点D在线段BC上时，同理可证△ BAD≌△ CAE，结合角的和差关系可推得α+β=180°；当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，同①的推导可得α=β。【答案$】(1) \boxed{25°}(2) ①\boxed{α=β}$，理由见解析；②当点D在线段BC上时，$\boxed{α+β=180°}$；当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，$\boxed{α=β}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于动点类几何综合题，核心考查全等三角形的判定和角的等量代换，解题关键是利用角的和差推导等角来证明三角形全等，讨论动点位置时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6