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7.（苏州期中）如图，已知$△ ABC≌△ A'BC'$，$AA'// BC$，$∠ ABC=70°$，则$∠ CBC'$的度数是（
A.$40°$
B.$35°$
C.$50°$
D.$20°$
A
）A.$40°$
B.$35°$
C.$50°$
D.$20°$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得$AB=A'B$，$∠ABC=∠A'BC'$，通过角的和差关系可推出待求的$∠CBC'$和$∠ABA'$相等；再结合$AA'// BC$的条件，利用平行线的内错角相等得到$∠A'AB$的度数；最后由$AB=A'B$判断$△ A'AB$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠ABA'$的度数，即可得到$∠CBC'$的度数。
【解析】
$\because △ ABC≌△ A'BC'$，
$\therefore AB=A'B$，$∠ABC=∠A'BC'$，
$\therefore ∠ABC - ∠A'BC = ∠A'BC' - ∠A'BC$，即$∠CBC'=∠ABA'$。
$\because AA'// BC$，
$\therefore ∠A'AB=∠ABC=70°$，
又$\because AB=A'B$，
$\therefore △ A'AB$为等腰三角形，$∠AA'B=∠A'AB=70°$，
在$△ A'AB$中，$∠ABA'=180°-∠A'AB-∠AA'B=180°-70°-70°=40°$，
$\therefore ∠CBC'=∠ABA'=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用全等三角形的性质实现角的等量转化，结合平行线和等腰三角形的性质计算角度，是全等三角形相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得$AB=A'B$，$∠ABC=∠A'BC'$，通过角的和差关系可推出待求的$∠CBC'$和$∠ABA'$相等；再结合$AA'// BC$的条件，利用平行线的内错角相等得到$∠A'AB$的度数；最后由$AB=A'B$判断$△ A'AB$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠ABA'$的度数，即可得到$∠CBC'$的度数。
【解析】
$\because △ ABC≌△ A'BC'$，
$\therefore AB=A'B$，$∠ABC=∠A'BC'$，
$\therefore ∠ABC - ∠A'BC = ∠A'BC' - ∠A'BC$，即$∠CBC'=∠ABA'$。
$\because AA'// BC$，
$\therefore ∠A'AB=∠ABC=70°$，
又$\because AB=A'B$，
$\therefore △ A'AB$为等腰三角形，$∠AA'B=∠A'AB=70°$，
在$△ A'AB$中，$∠ABA'=180°-∠A'AB-∠AA'B=180°-70°-70°=40°$，
$\therefore ∠CBC'=∠ABA'=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用全等三角形的性质实现角的等量转化，结合平行线和等腰三角形的性质计算角度，是全等三角形相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
8.(宜兴月考改编)如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到$△ DEF$的位置.若$AB=10,DO=4$,平移的距离为6,则阴影部分的面积为
48
.答案
8.48
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的两个图形全等，面积相等。观察图形可知，△ABC和△DEF有公共部分△OEC，两个三角形同时减去公共部分的面积，剩余部分面积相等，因此可以把难以直接计算的阴影部分面积转化为梯形ABEO的面积计算。接下来确定梯形的各参数：平移距离为6，即梯形的高BE=6；DE和AB相等为10，已知DO=4，可求出梯形上底OE的长度，最后代入梯形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：根据平移的性质可得：△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=10，
∴ $ S_{△ ABC}=S_{△ DEF} $
∵ $ S_{△ ABC}-S_{△ OEC}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC} $
∴ $ S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABEO} $
又
∵ $ OE=DE-DO=10-4=6 $
根据梯形面积公式：
$ S_{\mathrm{梯形}ABEO}=\frac{(OE+AB)× BE}{2}=\frac{(6+10)×6}{2}=48 $
【答案】
48
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，面积等量代换
【点评】
本题是平移类面积计算的典型题，核心是利用平移前后图形全等的性质，通过等量代换将不规则阴影部分的面积转化为规则梯形的面积求解，这种转化思想是几何面积计算中的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的两个图形全等，面积相等。观察图形可知，△ABC和△DEF有公共部分△OEC，两个三角形同时减去公共部分的面积，剩余部分面积相等，因此可以把难以直接计算的阴影部分面积转化为梯形ABEO的面积计算。接下来确定梯形的各参数：平移距离为6，即梯形的高BE=6；DE和AB相等为10，已知DO=4，可求出梯形上底OE的长度，最后代入梯形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：根据平移的性质可得：△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=10，
∴ $ S_{△ ABC}=S_{△ DEF} $
∵ $ S_{△ ABC}-S_{△ OEC}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC} $
∴ $ S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}ABEO} $
又
∵ $ OE=DE-DO=10-4=6 $
根据梯形面积公式：
$ S_{\mathrm{梯形}ABEO}=\frac{(OE+AB)× BE}{2}=\frac{(6+10)×6}{2}=48 $
【答案】
48
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，面积等量代换
【点评】
本题是平移类面积计算的典型题，核心是利用平移前后图形全等的性质，通过等量代换将不规则阴影部分的面积转化为规则梯形的面积求解，这种转化思想是几何面积计算中的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9.(2024·工业园区二模)如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°,∠D=25°.
(1)求AE的长度;
(2)求∠AED的度数.
(1)求AE的长度;
(2)求∠AED的度数.
答案
9.解:(1)$\because△ ABC≌△ DEB,\therefore BE=BC=3$,
$\therefore AE=AB-BE=6-3=3$.
(2)$\because△ ABC≌△ DEB$,
$\therefore∠ A=∠ D=25°,∠ DBE=∠ C=55°$,
$\therefore∠ AED=∠ DBE+∠ D=55°+25°=80°$.
$\therefore AE=AB-BE=6-3=3$.
(2)$\because△ ABC≌△ DEB$,
$\therefore∠ A=∠ D=25°,∠ DBE=∠ C=55°$,
$\therefore∠ AED=∠ DBE+∠ D=55°+25°=80°$.
解析
【分析】
(1) 要求AE的长度，已知AB的长度，只需先求出BE的长度即可。由已知△ABC≌△DEB，根据全等三角形对应边相等的性质，可得BE与BC是对应边，即BE=BC，代入BC的数值算出BE后，用AB减去BE就能得到AE的长度。
(2) 要求∠AED的度数，观察图形可知∠AED是△DEB的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，因此需要先得到∠D和∠DBE的度数。利用全等三角形对应角相等的性质，可直接得到对应角的度数，相加即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1) $\because △ ABC≌△ DEB$，根据全等三角形对应边相等，$\therefore BE=BC=3$，
又$\because AB=6$，$\therefore AE=AB-BE=6-3=3$。
(2) $\because △ ABC≌△ DEB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠ A=∠ D=25°$，$∠ DBE=∠ C=55°$，
$\because ∠ AED$是$△ DEB$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ DBE+∠ D=55°+25°=80°$。
【答案】
(1) $3$
(2) $80°$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合线段和差关系、三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
(1) 要求AE的长度，已知AB的长度，只需先求出BE的长度即可。由已知△ABC≌△DEB，根据全等三角形对应边相等的性质，可得BE与BC是对应边，即BE=BC，代入BC的数值算出BE后，用AB减去BE就能得到AE的长度。
(2) 要求∠AED的度数，观察图形可知∠AED是△DEB的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，因此需要先得到∠D和∠DBE的度数。利用全等三角形对应角相等的性质，可直接得到对应角的度数，相加即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1) $\because △ ABC≌△ DEB$，根据全等三角形对应边相等，$\therefore BE=BC=3$，
又$\because AB=6$，$\therefore AE=AB-BE=6-3=3$。
(2) $\because △ ABC≌△ DEB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠ A=∠ D=25°$，$∠ DBE=∠ C=55°$，
$\because ∠ AED$是$△ DEB$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ DBE+∠ D=55°+25°=80°$。
【答案】
(1) $3$
(2) $80°$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合线段和差关系、三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
10.(宜兴月考)如图,点A,B,C在同一直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC. (1)若AB=2,BC=3,求DE的长; (2)判断AD与CE所在直线的位置关系,并说明理由. 
第10题图
第10题图答案
10.解:(1)$\because△ ABD≌△ EBC$,
$\therefore BE=AB=2,BD=BC=3$.
$\because$点E在BD上,$\therefore DE=BD-BE=3-2=1$.
(2)$AD⊥ CE$.理由如下：
$\because$点A,B,C在同一直线上,且$△ ABD≌△ EBC$,
$\therefore∠ ABD=∠ EBC=90°,\therefore$将$△ ABD$绕点B顺时针旋转$90°$得到$△ EBC$,$\therefore AD$绕点B顺时针旋转$90°$得到EC,$\therefore AD⊥ CE$.
$\therefore BE=AB=2,BD=BC=3$.
$\because$点E在BD上,$\therefore DE=BD-BE=3-2=1$.
(2)$AD⊥ CE$.理由如下：
$\because$点A,B,C在同一直线上,且$△ ABD≌△ EBC$,
$\therefore∠ ABD=∠ EBC=90°,\therefore$将$△ ABD$绕点B顺时针旋转$90°$得到$△ EBC$,$\therefore AD$绕点B顺时针旋转$90°$得到EC,$\therefore AD⊥ CE$.
解析
【分析】
(1) 求DE的长度可先分析线段关系：DE=BD-BE，因此只需先求出BD、BE的长。已知△ABD≌△EBC，根据全等三角形对应边相等的性质，可直接得到BE与AB相等、BD与BC相等，代入已知AB、BC的长度后做差即可算出DE。
(2) 判断两条直线的位置关系，结合图形可初步猜测为垂直。首先由A、B、C三点共线可得∠ABD+∠EBC=180°，再结合全等三角形对应角相等的性质，可推出∠ABD=∠EBC=90°，说明△EBC是△ABD绕点B顺时针旋转90°得到的，对应边AD、CE的夹角等于旋转角90°，即可判断两直线垂直。
【解析】
(1) $\because △ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore$ 全等三角形对应边相等，即$BE=AB=2$，$BD=BC=3$，
$\because$ 点E在BD上，
$\therefore DE=BD-BE=3-2=1$。
(2) $AD ⊥ CE$，理由如下：
$\because$ 点A、B、C在同一直线上，且$△ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC$，又$∠ ABD + ∠ EBC = 180°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC = 90°$，
即$△ ABD$绕点B顺时针旋转$90°$可得到$△ EBC$，
$\therefore$ 对应边AD绕点B顺时针旋转$90°$得到EC，
$\therefore AD ⊥ CE$。
【答案】
(1) $DE=1$；
(2) $AD ⊥ CE$
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，既考查了利用全等性质计算线段长度的方法，也考查了结合图形特征判断直线位置关系的能力，解题核心是准确找到全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8
(1) 求DE的长度可先分析线段关系：DE=BD-BE，因此只需先求出BD、BE的长。已知△ABD≌△EBC，根据全等三角形对应边相等的性质，可直接得到BE与AB相等、BD与BC相等，代入已知AB、BC的长度后做差即可算出DE。
(2) 判断两条直线的位置关系，结合图形可初步猜测为垂直。首先由A、B、C三点共线可得∠ABD+∠EBC=180°，再结合全等三角形对应角相等的性质，可推出∠ABD=∠EBC=90°，说明△EBC是△ABD绕点B顺时针旋转90°得到的，对应边AD、CE的夹角等于旋转角90°，即可判断两直线垂直。
【解析】
(1) $\because △ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore$ 全等三角形对应边相等，即$BE=AB=2$，$BD=BC=3$，
$\because$ 点E在BD上，
$\therefore DE=BD-BE=3-2=1$。
(2) $AD ⊥ CE$，理由如下：
$\because$ 点A、B、C在同一直线上，且$△ ABD ≌ △ EBC$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC$，又$∠ ABD + ∠ EBC = 180°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ EBC = 90°$，
即$△ ABD$绕点B顺时针旋转$90°$可得到$△ EBC$，
$\therefore$ 对应边AD绕点B顺时针旋转$90°$得到EC，
$\therefore AD ⊥ CE$。
【答案】
(1) $DE=1$；
(2) $AD ⊥ CE$
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，既考查了利用全等性质计算线段长度的方法，也考查了结合图形特征判断直线位置关系的能力，解题核心是准确找到全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8
11.如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1=140°，∠2=25°，求∠α和∠DAE的度数。
答案
11.解:$\because∠1=140°,∠2=25°,\therefore∠ ACB=15°$.
$\because△ ABE≌△ ADC≌△ ABC$,
$\therefore∠ EBA=∠2=25°,∠ ACD=∠ ACB=15°$,
$\therefore∠ EBC=50°,∠ BCD=30°$,
$\therefore$由三角形外角性质可得$∠α=∠ EBC+∠ BCD=80°$.
$\because∠ BAE=∠ CAD=∠1=140°$,
$\therefore∠ DAE=∠ BAE+∠ CAD+∠1-360°=3×140°-360°=60°$.
$\because△ ABE≌△ ADC≌△ ABC$,
$\therefore∠ EBA=∠2=25°,∠ ACD=∠ ACB=15°$,
$\therefore∠ EBC=50°,∠ BCD=30°$,
$\therefore$由三角形外角性质可得$∠α=∠ EBC+∠ BCD=80°$.
$\because∠ BAE=∠ CAD=∠1=140°$,
$\therefore∠ DAE=∠ BAE+∠ CAD+∠1-360°=3×140°-360°=60°$.
解析
【分析】
解题时首先在△ABC中，利用三角形内角和为180°求出未知角∠ACB的度数；再结合全等三角形对应角相等的性质，推导得到与∠α相关的角的度数，借助三角形外角的性质即可求出∠α；最后根据全等三角形对应角相等得到∠BAE、∠CAD与∠1的等量关系，结合周角为360°的性质，通过角度和差运算求出∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，已知∠1=140°，∠2=25°，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-140°-25°=15°
∵△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠EBA=∠2=25°，∠ACD=∠ACB=15°，∠BAE=∠CAD=∠1=140°
∴∠EBC=∠EBA+∠2=25°+25°=50°，∠BCD=∠ACD+∠ACB=15°+15°=30°
根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，可得：
∠α=∠EBC+∠BCD=50°+30°=80°
∵围绕点A的所有角之和为周角360°，即∠BAE+∠CAD+∠1+∠DAE=3×140°+∠DAE=360°+∠DAE
∴∠DAE=3×140°-360°=420°-360°=60°
【答案】
∠α=80°，∠DAE=60°
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，结合三角形角的相关性质完成推导，计算时注意理清角度之间的和差关系，避免混淆对应角。
【难度系数】
0.7
解题时首先在△ABC中，利用三角形内角和为180°求出未知角∠ACB的度数；再结合全等三角形对应角相等的性质，推导得到与∠α相关的角的度数，借助三角形外角的性质即可求出∠α；最后根据全等三角形对应角相等得到∠BAE、∠CAD与∠1的等量关系，结合周角为360°的性质，通过角度和差运算求出∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，已知∠1=140°，∠2=25°，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-140°-25°=15°
∵△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠EBA=∠2=25°，∠ACD=∠ACB=15°，∠BAE=∠CAD=∠1=140°
∴∠EBC=∠EBA+∠2=25°+25°=50°，∠BCD=∠ACD+∠ACB=15°+15°=30°
根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，可得：
∠α=∠EBC+∠BCD=50°+30°=80°
∵围绕点A的所有角之和为周角360°，即∠BAE+∠CAD+∠1+∠DAE=3×140°+∠DAE=360°+∠DAE
∴∠DAE=3×140°-360°=420°-360°=60°
【答案】
∠α=80°，∠DAE=60°
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，结合三角形角的相关性质完成推导，计算时注意理清角度之间的和差关系，避免混淆对应角。
【难度系数】
0.7
