1 如图，AC，BE是$\odot O$的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，BD，CF，DE。下列三角形中，外心不是点O的为 （）

A.$△ ABE$
B.$△ ACF$
C.$△ ABD$
D.$△ ADE$
（第1题）

1. B

【分析】
要判断三角形的外心是否为点O，首先明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。本题中⊙O的半径都相等，若三角形的三个顶点都在⊙O上，则该三角形的外接圆就是⊙O，外心就是点O，因此只需判断各选项中三角形的三个顶点是否都在⊙O上即可。
【解析】
三角形的外心是其外接圆的圆心，若三角形的三个顶点均在⊙O上，则其外心为点O：
选项A：△ABE的顶点A、B、E都在⊙O上，因此外心是点O；
选项B：△ACF的顶点F是弦AD与BE的交点，F不在⊙O上，因此△ACF的三个顶点不都在⊙O上，外心不是点O；
选项C：△ABD的顶点A、B、D都在⊙O上，因此外心是点O；
选项D：△ADE的顶点A、D、E都在⊙O上，因此外心是点O。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形外心定义
2. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形外心的概念，解题的关键是理解外心与三角形三个顶点的位置关系，结合圆上点到圆心距离等于半径的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8

2 [2025宿城段考]如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为A(0,3),B(2,1),C(2,−3),则△ABC 的外心的坐标是 ()

A.(−2,−2)
B.(−2,−1)
C.(−1,−2)
D.(−1,−1)

2. B

【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时先观察点B、C的坐标特征：两点横坐标相同，可知BC为竖直线段，先求出BC的垂直平分线，外心必在这条垂直平分线上，再结合外心到A、B两点距离相等列方程，即可求出外心坐标。
【解析】
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(2,1)，C(2,-3)，两点横坐标相同，因此BC是垂直于x轴的竖直线段。
BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$，竖直线段的垂直平分线为水平线，因此BC的垂直平分线解析式为$y=-1$，外心在直线$y=-1$上。
2. 设外心坐标为$P(x,-1)$，根据外心性质$PA=PB$，结合两点间距离公式列方程：
$PA^2=(x-0)^2+(-1-3)^2=x^2+16$
$PB^2=(x-2)^2+(-1-1)^2=(x-2)^2+4$
令$PA^2=PB^2$，得：
$x^2+16=(x-2)^2+4$
展开化简：$x^2+16=x^2-4x+4+4$，解得$x=-2$。
因此外心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心定义；垂直平分线性质；两点间距离公式
【点评】
本题解题的关键是先利用特殊位置的边简化计算，先确定外心所在的一条直线，再结合距离相等列方程求解，可有效减少计算量，属于基础的几何性质应用题。
【难度系数】
0.7

3 [2025 泗阳期中]已知一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为。

3. 5

【分析】
要计算直角三角形的外接圆半径，首先回忆三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，因此外接圆的直径长度等于斜边的长度。所以解题思路分两步：第一步用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，第二步将斜边长度除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
① 根据勾股定理计算斜边长度：
斜边$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $
② 由直角三角形外接圆的性质可知，外接圆的直径等于斜边的长度，因此外接圆半径$ R = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} × 10 = 5 $
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；三角形外接圆概念
【点评】
本题是基础型考题，解题的核心是熟记直角三角形外接圆直径与斜边的等量关系，结合勾股定理即可快速算出结果，注意不要混淆外接圆和内切圆的相关性质。
【难度系数】
0.8

4 如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外，还能经过的格点的个数为。

4. 5

【分析】要解决这个问题，首先根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点的圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点（即外心）。我们可以先通过求AB、BC的垂直平分线找到圆心，计算出圆的半径，再逐一排查网格中到圆心距离等于半径的格点，排除A、B、C三点后统计剩余格点的数量即可。
【解析】设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得A(1,3)，B(2,4)，C(5,3)。
1. 求外接圆圆心：
① AB的中点为(1.5,3.5)，AB的斜率为1，因此AB的垂直平分线斜率为-1，方程为$y=-x+5$；
② BC的中点为(3.5,3.5)，BC的斜率为$-\frac{1}{3}$，因此BC的垂直平分线斜率为3，方程为$y=3x-7$；
③ 联立两个方程$\begin{cases}y=-x+5\\y=3x-7\end{cases}$，解得$x=3,y=2$，即圆心$O$的坐标为$(3,2)$。
2. 计算半径：$OA=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{5}$，即圆上的点到$O$的距离均为$\sqrt{5}$，满足$(x-3)^2+(y-2)^2=5$。
3. 统计符合条件的格点：
方程的整数解对应的格点分别为$(1,3)$（点A）、$(2,4)$（点B）、$(5,3)$（点C）、$(1,1)$、$(2,0)$、$(4,4)$、$(5,1)$、$(4,0)$，排除A、B、C三点后，剩余5个符合要求的格点。
【答案】5
【知识点】确定圆的条件；外心的性质；两点间距离计算
【点评】本题解题核心是先确定过三点的圆的圆心位置，再结合半径判断其余格点是否在圆上，需要熟练掌握垂直平分线的性质和网格中距离的计算方法，考查数形结合的能力。
【难度系数】0.6

5 如图，AD既是$△ ABC$的中线，又是$∠ BAC$的平分线.
（1）判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论；
（2）判断AD是否过$△ ABC$的外接圆的圆心，并证明你的结论.

5. (1) $△ ABC$ 是等腰三角形 如图，过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$，$DF⊥ AC$ 于点 $F$。$\because AD$ 是$∠ BAC$的平分线，$\therefore DE=DF$。又$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线，$\therefore BD=CD$。在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，$\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF,\therefore ∠ B=∠ C,\therefore AB=AC$，即$△ ABC$ 是等腰三角形 (2) $AD$ 过 $△ ABC$ 的外接圆的圆心
$\because AB=AC$，$AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，$\therefore AD⊥ BC$。又$\because BD=CD$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线，$\therefore AD$ 过$△ ABC$ 的外接圆的圆心

【分析】
（1）要判断$△ ABC$的形状，已知AD是角平分线和中线，首先结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可过D作AB、AC的垂线段，得到两条相等的垂线段；再结合中线性质得到$BD=CD$，即可证明两个直角三角形全等，推出$∠ B=∠ C$，进而得到$AB=AC$，判断三角形形状。
（2）要判断AD是否过外接圆圆心，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需证明AD是BC的垂直平分线即可：结合（1）得到的等腰三角形结论，利用等腰三角形三线合一的性质，可证AD垂直平分BC，即可推出AD过外接圆圆心。
【解析】
（1）$△ ABC$是等腰三角形，证明如下：
如图，过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$。
又$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，$\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
（2）$AD$过$△ ABC$的外接圆的圆心，证明如下：
$\because AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
又$\because BD=CD$，
$\therefore AD$是$BC$的垂直平分线。
$\because$三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，
$\therefore AD$过$△ ABC$的外接圆的圆心。
【答案】
(1) $△ ABC$ 是等腰三角形，证明见解析；
(2) $AD$ 过 $△ ABC$ 的外接圆的圆心，证明见解析。

【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外心的性质
【点评】
本题是基础综合题，综合考查了角平分线、全等三角形、等腰三角形、三角形外接圆的相关知识，解题的关键是合理构造辅助线证明全等，再结合等腰三角形性质和外心的特征推导结论，能有效巩固基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

6 [2025南京]下列图形中，一定有外接圆的是（）

A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形

6. A

【分析】
解题时首先明确多边形有外接圆的核心要求：所有顶点都在同一个圆上。结合确定圆的条件逐一分析选项：先回忆“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，判断三角形的情况；再思考边数≥4的多边形，除前三个顶点确定的圆外，剩余顶点不一定落在这个圆上，因此不一定存在外接圆，即可得出正确结论。
【解析】
首先明确外接圆的定义：经过多边形所有顶点的圆叫做该多边形的外接圆。
1. 分析选项A：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”，可知所有三角形都存在经过三个顶点的外接圆，符合要求。
2. 分析选项B、C、D：四边形、五边形、六边形属于边数≥4的多边形，只有特殊的圆内接多边形（如矩形、正五边形等）才有外接圆，普通的这类多边形无法保证所有顶点都在同一个圆上，因此不一定有外接圆，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；多边形外接圆的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记任意三角形都有外接圆，边数大于等于4的多边形只有满足所有顶点共圆时才有外接圆。
【难度系数】
0.9

7 [2025 沭阳段考]如图，点 O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中点 E 在△ABC 的外部，下列说法不正确的是 （）

A.点 O 是以 A，E，B 为顶点的三角形的外心
B.点 O 是以 B，E，C 为顶点的三角形的外心
C.点 O 是以 A，E，C 为顶点的三角形的外心
D.点 O 是以 A，D，B 为顶点的三角形的外心

7. D

【分析】
要判断点O是不是某个三角形的外心，根据外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，只需验证点O到该三角形三个顶点的距离是否都相等即可。首先由O是△ABC的外心得OA=OB=OC，再结合正方形的性质得OC=OE，而OD是正方形的对角线，故OD≠OC，即OA=OB=OC=OE≠OD，最后逐一验证四个选项即可。
【解析】
解：
∵点O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC。
∵四边形OCDE为正方形，
∴OC=OE，OD为正方形的对角线，OD=√2 OC，
∴OA=OB=OC=OE≠OD。
A选项：OA=OB=OE，即O到A、E、B三点距离相等，故O是△AEB的外心，该说法正确，不符合题意；
B选项：OB=OC=OE，即O到B、E、C三点距离相等，故O是△BEC的外心，该说法正确，不符合题意；
C选项：OA=OC=OE，即O到A、E、C三点距离相等，故O是△AEC的外心，该说法正确，不符合题意；
D选项：OA=OB≠OD，即O到A、D、B三点距离不相等，故O不是△ADB的外心，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
外心的判定，正方形的性质
【点评】
本题解题核心是掌握外心的判定依据：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，结合正方形边与对角线的长度关系推导各线段的等量关系，逐一分析选项即可得出结论，解题时注意不要混淆正方形的边和对角线的长度关系。
【难度系数】
0.7