8 [2024 凉山]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下:在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D,交$\overset{\frown}{AB}$于点 C,测出$AB=40\ \mathrm{cm},CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为cm.
（第8题）

8. 25

9 如图,在$5×7$的网格中,各小正方形的边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外,外心也是点$O$的三角形为________.

9. $△ ABD,△ ACD,△ BCD$

10 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长均为1，A，O两点均在格线的交点上。若在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得$△ ABC$的外心为点O，则BC的长为。

10. $2\sqrt{5}$

11 [2025泗阳期中]若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-m,m²-6)能确定一个圆，则m的取值范围是。

11. $m≠4$ 且 $m≠-2$ 【解析】设直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，则有 $\begin{cases} k+b=0,\\ b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=2. \end{cases}$ $\therefore y=-2x+2$。若点 $A,B,C$ 在一条直线上，则不能构成圆。把 $C(-m,m^2-6)$ 代入，得 $2m+2=m^2-6$，解得 $m_1=4,m_2=-2$，$\therefore$ 当 $m≠4$ 且 $m≠-2$ 时，点 $A,B,C$ 能确定一个圆。

12 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$EF$是$AC$的垂直平分线，交$AB$，$AD$，$AC$于点$E$，$O$，$F$。若$AB=4$，$OF=1$，求$△ ABC$的外接圆的面积。

12. $\because AB=AC,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形。又 $\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。$\because EF$ 垂直平分 $AC$，$\therefore$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 的外心，$\therefore OA$ 是 $△ ABC$ 的外接圆的半径。在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$AF=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}AB=2,OF=1,\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore △ ABC$ 的外接圆的面积为 $(\sqrt{5})^2×π=5π$

13 分类讨论思想 [2025上海改编]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$\odot O$经过$B$，$C$两点，且$AO=3$，求$\odot O$的半径。（第13题）

13. 如图，过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$。$\because AB=AC=5,AD⊥ BC$，$BC=6$，$\therefore$ 易得点 $O$ 在直线 $AD$ 上，$BD=\dfrac{1}{2}BC=3$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$。当点 $O_1$ 在 $AD$ 的反向延长线上时，连接 $O_1B$。$\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_1BD$ 中，$O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$。当点 $O_2$ 在线段 $AD$ 上时，连接 $O_2B$。$\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_2BD$ 中，$O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。综上所述，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$