8 [2024 凉山]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下:在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D,交$\overset{\frown}{AB}$于点 C,测出$AB=40\ \mathrm{cm},CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为cm.
（第8题）

8. 25

【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，首先根据垂径定理的推论，AB的垂直平分线CD必过圆心，因此可将圆心设在CD上，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。具体思考步骤：1. 设半径为R，确定圆心位置在CD上；2. 明确直角三角形各边的长度：AB的一半为20cm，圆心到AB的距离为(R-10)cm，半径为直角三角形的斜边；3. 代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设该圆形工件的圆心为O，半径为$ R\ \mathrm{cm} $，连接$ OA $。
∵ $ CD $是$ AB $的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线$ CD $上，$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm} $，$ ∠ ODA=90° $。
又
∵ $ CD=10\ \mathrm{cm} $，
∴ $ OD=OC - CD=(R - 10)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $，
代入数据得$ R^2=20^2+(R - 10)^2 $，
展开得$ R^2=400+R^2-20R+100 $，
移项化简得$ 20R=500 $，
解得$ R=25 $。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是利用“弦的垂直平分线过圆心”确定圆心位置，将问题转化为直角三角形边长计算问题，通过列方程求解，渗透了方程思想。
【难度系数】
0.7

9 如图,在$5×7$的网格中,各小正方形的边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外,外心也是点$O$的三角形为________.

9. $△ ABD,△ ACD,△ BCD$

【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，核心性质是外心到三角形三个顶点的距离相等。因此本题解题思路为：首先利用勾股定理计算OA、OB、OC的长度，再计算点D、E到点O的距离，筛选出所有到O的距离与OA相等的点，最后将这些点两两组合成除△ABC外的三角形即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
1. 计算OA、OB、OC的长度：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 计算D、E到O的长度：
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$；
可得点A、B、C、D均在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，这四点中任意三点组成的三角形外心均为O。四点共可组成4个三角形：$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$，排除$△ ABC$，剩余的即为所求。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题重点考查外心性质的灵活运用，将找外心为O的三角形转化为找到O距离相等的点是解题的突破口，注意不要漏记符合条件的三角形组合。
【难度系数】
0.7

10 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长均为1，A，O两点均在格线的交点上。若在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得$△ ABC$的外心为点O，则BC的长为。

10. $2\sqrt{5}$

【分析】
解题首先要利用三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，即$OA=OB=OC$。第一步先计算$OA$的长度，第二步在格点中找到到$O$的距离等于$OA$的点$B$、$C$，第三步用勾股定理计算$BC$的长度即可。
【解析】
设点$O$为坐标原点$(0,0)$，根据方格纸的位置，可得点$A$的坐标为$(1,3)$。
根据勾股定理，$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
因为$O$是$△ ABC$的外心，所以$OB=OC=OA=\sqrt{10}$，即格点$B$、$C$到$O$的距离为$\sqrt{10}$，横、纵坐标的平方和为$10$，符合条件的整数坐标有$(±1,±3)$、$(±3,±1)$。
取点$B(3,1)$、$C(-1,3)$（其他符合条件的点计算结果一致），则：
$BC=\sqrt{[3-(-1)]^2+(1-3)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，网格坐标应用
【点评】
本题需要结合外心性质和勾股定理解题，核心是通过外心到顶点距离相等的性质确定$OB$、$OC$的长度，再结合格点特征找到对应点计算线段长，考查了对性质的灵活应用能力和作图分析能力。
【难度系数】
0.6

11 [2025泗阳期中]若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-m,m²-6)能确定一个圆，则m的取值范围是。

11. $m≠4$ 且 $m≠-2$ 【解析】设直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，则有 $\begin{cases} k+b=0,\\ b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=2. \end{cases}$ $\therefore y=-2x+2$。若点 $A,B,C$ 在一条直线上，则不能构成圆。把 $C(-m,m^2-6)$ 代入，得 $2m+2=m^2-6$，解得 $m_1=4,m_2=-2$，$\therefore$ 当 $m≠4$ 且 $m≠-2$ 时，点 $A,B,C$ 能确定一个圆。

【分析】
要判断三个点能否确定一个圆，核心依据是：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。因此本题可转化为求点C不在直线AB上时m的取值，解题思路分为三步：首先用待定系数法求出直线AB的函数解析式，其次计算点C在直线AB上时m的取值，最后排除这两个取值，即可得到三点能确定圆时m的范围。
【解析】
设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$，将A(1,0)、B(0,2)代入解析式，得：
$\begin{cases} k+b=0\\ b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2\\ b=2 \end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
若A、B、C三点共线，则三点不能确定圆，此时点$C(-m,m^2-6)$在直线AB上，将其代入解析式得：
$m^2 - 6 = -2×(-m) + 2$
整理得$m^2 - 2m - 8 = 0$，因式分解为$(m-4)(m+2)=0$，解得$m_1=4$，$m_2=-2$。
因此当三点不共线，即能确定一个圆时，m的取值为$m≠4$且$m≠-2$。
【答案】
$m≠4$且$m≠-2$
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的解法
【点评】
本题将几何中确定圆的条件与代数中一次函数、一元二次方程的知识相结合，解题的关键是将三点能否确定圆的问题转化为三点是否共线的问题，考查了知识的综合运用能力，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7

12 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$EF$是$AC$的垂直平分线，交$AB$，$AD$，$AC$于点$E$，$O$，$F$。若$AB=4$，$OF=1$，求$△ ABC$的外接圆的面积。

12. $\because AB=AC,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形。又 $\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。$\because EF$ 垂直平分 $AC$，$\therefore$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 的外心，$\therefore OA$ 是 $△ ABC$ 的外接圆的半径。在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$AF=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}AB=2,OF=1,\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore △ ABC$ 的外接圆的面积为 $(\sqrt{5})^2×π=5π$

【分析】
解题时先利用等腰三角形三线合一的性质，判断出AD是BC的垂直平分线；再结合EF是AC的垂直平分线，根据三角形外心为三边垂直平分线的交点，确定点O是△ABC的外心，即OA为外接圆半径；接着由垂直平分线的性质得到AF的长度，在Rt△AOF中用勾股定理求出半径OA，最后根据圆的面积公式计算外接圆面积即可。
【解析】
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$ 是等腰三角形。
又
∵$AD$ 平分 $∠ BAC$，
∴$AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线（等腰三角形三线合一）。
∵$EF$ 垂直平分 $AC$，
∴点$O$是$△ABC$三边垂直平分线的交点，即点$O$是$△ABC$的外心，$OA$是$△ABC$的外接圆的半径。
∵$EF$垂直平分$AC$，$AC=AB=4$，
∴$AF=\dfrac{1}{2}AC=2$，
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$AF=2$，$OF=1$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴$△ ABC$ 的外接圆的面积为$π · OA^2=π× (\sqrt{5})^2=5π$。
【答案】
$5π$
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、线段垂直平分线和三角形外接圆的相关知识，解题的关键是准确判断出三角形外接圆的圆心位置，再结合勾股定理求出半径，对几何基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

13 分类讨论思想 [2025上海改编]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$\odot O$经过$B$，$C$两点，且$AO=3$，求$\odot O$的半径。（第13题）

13. 如图，过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$。$\because AB=AC=5,AD⊥ BC$，$BC=6$，$\therefore$ 易得点 $O$ 在直线 $AD$ 上，$BD=\dfrac{1}{2}BC=3$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$。当点 $O_1$ 在 $AD$ 的反向延长线上时，连接 $O_1B$。$\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_1BD$ 中，$O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$。当点 $O_2$ 在线段 $AD$ 上时，连接 $O_2B$。$\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_2BD$ 中，$O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。综上所述，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$

【分析】
本题要求过B、C两点且满足AO=3的圆的半径，首先根据圆的性质，过B、C两点的圆的圆心必在BC的垂直平分线上；结合△ABC是等腰三角形，可知BC的垂直平分线是过A作的BC边上的高AD所在直线，因此圆心O在直线AD上；接下来分类讨论圆心O的位置：一种是O在点A的上方（AD的反向延长线上），另一种是O在线段AD上，两种情况分别计算O到D的距离，再在直角三角形OBD中用勾股定理即可求出半径OB的长度。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
$\because AB=AC=5,AD⊥ BC$，$BC=6$，
$\therefore$ 圆心$O$在$BC$的垂直平分线$AD$所在直线上，$BD=\dfrac{1}{2}BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
分两种情况讨论：
1. 当点$O_1$在$AD$的反向延长线上时，连接$O_1B$：
$\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ O_1BD$中，$O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$，即此时$\odot O$的半径为$\sqrt{58}$。
2. 当点$O_2$在线段$AD$上时，连接$O_2B$：
$\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ O_2BD$中，$O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即此时$\odot O$的半径为$\sqrt{10}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\sqrt{58}$或$\sqrt{10}$

【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是明确过弦两端点的圆的圆心在弦的垂直平分线上，进而确定圆心所在直线，需要注意分类讨论圆心相对于点A的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6