1 [2025宿迁开学]如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOB=50°$，则$∠ COD$的度数为（）

A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$

1. D

【分析】
解题时先结合已知弧相等的条件，利用弧的和差性质推导待求角对应的弧与已知角对应的弧的关系：首先将$\overset{\frown}{AC}$拆为$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{BD}$拆为$\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$，两个相等的弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{BC}$，可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再根据同圆中等弧所对的圆心角相等的性质，即可得出$∠ COD$的度数。
【解析】
已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据弧的和差关系可得：
$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
根据同圆中，等弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ COD=∠ AOB=50°$。
【答案】
D
【知识点】
1. 弧的和差运算
2. 等弧对等圆心角
【点评】
本题是基础题型，核心考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题的突破口是通过弧的和差推导得到等弧，再对应到相等的圆心角，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2 下列说法中，正确的是 （）

A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等

2. B

【分析】
本题属于圆的相关概念辨析题，解题核心是明确弧、弦、圆心角相关定理的适用条件和基本定义。首先回忆核心知识点：①等弧的定义是能够完全重合的弧，需同时满足长度相等、弧度相等两个条件；②弧、弦、圆心角的对应关系定理，成立的前提均为“在同圆或等圆中”；③弧分为优弧、劣弧、半圆，分析弧与弦的对应关系时要区分弧的类型。之后逐一排查每个选项的表述是否符合上述要求，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧弧度不一定相同，不能称为等弧，故A错误；
B选项：在同圆或等圆中，相等的弧能够完全重合，因此所对的圆心角一定相等，表述符合定理要求，故B正确；
C选项：在同圆或等圆中，弧分为优弧和劣弧，例如长度更长的优弧所对的弦，可能比长度更短的劣弧所对的弦更短（如同圆中300°的优弧和60°的劣弧对应同一条弦，远短于120°劣弧对应的弦），未明确弧的类型时该表述不成立，故C错误；
D选项：相等的圆心角所对的弧相等的前提是“在同圆或等圆中”，缺少该前提时，半径不同的圆中圆心角相等，弧长并不相等，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等弧的定义；弧、弦、圆心角的关系；圆的相关性质
【点评】
本题侧重考查基础概念和定理的细节辨析，解题的关键是牢记相关定理成立的前提条件，同时注意区分优弧、劣弧的差异，避免因忽略前提或考虑不全面出现错选。
【难度系数】
0.7

3 如图，AB是半圆O的直径，E是半圆O上一点，且OE⊥AB，C为$\overset{\frown}{BE}$的中点，则∠A=°。

3. 22.5

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先由OE⊥AB得到圆心角∠EOB的度数，再根据弧中点的性质得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，最后利用圆周角定理计算圆周角∠A的度数。①先利用垂直性质确定∠EOB=90°；②弧中点对应等分圆心角，因此∠BOC是∠EOB的一半；③同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠A。
【解析】
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵C为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{EC}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠EOB=$\frac{1}{2}×90°=45°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
22.5
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，垂直的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用类题目，核心是掌握弧、圆心角、圆周角三者的对应关系，结合已知垂直条件逐步推导角度即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

4 已知$\odot O$的一条弦$AB$把圆的周长分成$1:4$的两部分，则弦$AB$所对的圆心角的度数为.

4. 72°

【分析】
解题时首先要明确：整个圆的圆心角是周角360°，同圆中弧的长度比等于弧所对圆心角的度数比。已知弦AB把圆周长分为1:4的两部分，说明弦AB所对的两条弧的度数比为1:4，两个圆心角之和为360°，按比例分配即可求出弦AB所对的圆心角（无特殊说明时默认求劣弧对应的圆心角）。
【解析】
解：
∵整个圆周对应的圆心角为360°，弦AB把圆的周长分成1:4的两部分，
∴弦AB所对的劣弧对应的圆心角占周角的比例为$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$，
∴弦AB所对的圆心角的度数为$360°×\frac{1}{5}=72°$。
【答案】
72°
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 按比例分配计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是理解圆中弧长与对应圆心角的比例关系，注意若无特殊说明，弦所对的圆心角一般指劣弧对应的圆心角，避免误算优弧对应的288°。
【难度系数】
0.9

5 [2025 泗洪期中]如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,$CD⊥ OA$于点$D$,$CE⊥ OB$于点$E$,求证:$OD=OE$.

5. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠ AOC=∠ BOC. \because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB, \therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°.在△ CDO 和△ CEO 中,\begin{cases}∠ DOC=∠ EOC,\\∠ CDO=∠ CEO,\\OC=OC,\end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS}).\therefore OD=OE$

【分析】
要证明$OD=OE$，可通过证明$OD$、$OE$所在的$△ CDO$与$△ CEO$全等来推导。首先根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$得到$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$得到两个直角相等，加上公共边$OC$相等，即可利用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$。
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB, \therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中,
$\begin{cases}∠ DOC=∠ EOC,\\∠ CDO=∠ CEO,\\OC=OC,\end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$
【答案】
$OD=OE$
【知识点】
等弧对等圆心角、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合圆的性质与三角形全等的知识进行考查，解题的关键是先通过等弧得到相等的圆心角，再结合垂直条件找到三角形全等的判定条件，进而推导线段相等。
【难度系数】
0.8

6 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数为 ()

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
（第6题）
（第7题）

6. A

【分析】
解题时首先根据圆的半径相等，得到$△ OAB$为等腰三角形，结合已知$∠ A$的度数，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求出圆心角$∠ AOB$的度数；再根据弧中点的性质，可知$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$相等，结合同圆中等弧所对的圆心角相等，即可得到$∠ BOC$是$∠ AOB$的一半，代入计算即可得出结果。
【解析】
解：$\because OA$、$OB$都是$\odot O$的半径
$\therefore OA=OB$，即$△ OAB$是等腰三角形
$\therefore ∠ B=∠ A=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$
$\because C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\because$在同圆中，等弧所对的圆心角相等
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$
故选：A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；弧与圆心角的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，将圆的半径相等的特点和等腰三角形、圆心角与弧的对应关系结合考查，解题关键是明确等弧对等圆心角的性质。
【难度系数】
0.8

，AB和DE是$\odot O$的直径，弦$AC// DE$.若弦$BE=3$，则弦$CE$的长为.

7. 3

【分析】
解题时我们可以结合已知条件，从弧的等量关系入手推导：首先根据“平行弦所夹的弧相等”，由AC//DE得到弧AD和弧CE相等；再结合AB、DE是直径，对顶角相等可得对应的弧AD和弧BE相等；通过等量代换得到弧CE和弧BE相等，最后根据同圆中等弧对等弦即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵AC//DE，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$（平行弦所夹的弧相等），
∵AB和DE是$\odot O$的直径，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∵在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}$（等量代换），
∵在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴CE=BE=3。
【答案】
3
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 平行弦的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心是通过平行和对顶角的性质找到相等的弧，再利用弧与弦的对应关系求解，熟练掌握圆中各元素的等量转换规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

8如图，AB是$\odot O$的直径，C，D为半圆O的三等分点，$CE⊥ AB$于点E，连接AC，OD，则$∠ ACE$的度数为.

8. 30°

【分析】
解题时先根据半圆三等分点的性质求出对应圆心角的度数：半圆的圆心角为180°，三等分后每段弧对应的圆心角为60°，可得∠AOC=60°；再结合OA=OC（同圆半径相等），可判定△AOC为等边三角形，得到∠CAB的度数；最后根据CE⊥AB得到直角三角形AEC，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，C、D为半圆O的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}×180°=60°$。
又
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴△AOC是等边三角形，
∴$∠ CAB=60°$。
∵CE⊥AB，
∴$∠ AEC=90°$，
在Rt△AEC中，$∠ ACE + ∠ CAB=90°$，
∴$∠ ACE=90° - 60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的关键是抓住三等分点的特征求出对应圆心角，再结合特殊三角形的性质计算角度，是圆相关角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7