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9 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍,则AB
＜
2CD(填“＞”“＜”或“=”).答案
9. $＜$
解析
【分析】
要比较AB和2CD的大小，可结合弧的倍数关系构造等弧，将2CD转化为两条等长弦的和，再利用三角形三边关系判断大小。首先根据$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$的2倍，取$\overset{\frown}{AB}$的中点，即可得到两段与$\overset{\frown}{CD}$度数相等的弧，对应弦长也等于CD，再将这两条弦和AB放在同一个三角形中，利用两边之和大于第三边即可得出结论。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$。
∵ $\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 在同圆中，等弧对等弦，
∴ $AE=BE=CD$，
在$△ AEB$中，由三角形三边关系可得：$AE+BE＞AB$，
将$AE=BE=CD$代入得：$CD+CD＞AB$，即$AB＜2CD$。
【答案】
$＜$
【知识点】
同圆弧弦关系、三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题的关键是通过作弧中点的辅助线，将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，再结合三角形三边关系完成大小比较，巧妙体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要比较AB和2CD的大小，可结合弧的倍数关系构造等弧，将2CD转化为两条等长弦的和，再利用三角形三边关系判断大小。首先根据$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$的2倍，取$\overset{\frown}{AB}$的中点，即可得到两段与$\overset{\frown}{CD}$度数相等的弧，对应弦长也等于CD，再将这两条弦和AB放在同一个三角形中，利用两边之和大于第三边即可得出结论。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$。
∵ $\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 在同圆中，等弧对等弦，
∴ $AE=BE=CD$，
在$△ AEB$中，由三角形三边关系可得：$AE+BE＞AB$，
将$AE=BE=CD$代入得：$CD+CD＞AB$，即$AB＜2CD$。
【答案】
$＜$
【知识点】
同圆弧弦关系、三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题的关键是通过作弧中点的辅助线，将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，再结合三角形三边关系完成大小比较，巧妙体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
10 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点M，且$OM=CM$.若$\overset{\frown}{AD}=x\overset{\frown}{BC}$，则x的值为
3
.答案
10. 3 【解析】连接OC,OD. $\because OC=OD,\therefore ∠ ODC=∠ OCD.$
$\because OM=CM,\therefore ∠ OCD=∠ BOC,\therefore ∠ ODC=∠ BOC,\therefore ∠ OMD=∠ OCD+∠ BOC=2∠ BOC,\therefore ∠ AOD = ∠ OMD + ∠ ODC = 3∠ BOC,\therefore \overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC},即x=3.$
$\because OM=CM,\therefore ∠ OCD=∠ BOC,\therefore ∠ ODC=∠ BOC,\therefore ∠ OMD=∠ OCD+∠ BOC=2∠ BOC,\therefore ∠ AOD = ∠ OMD + ∠ ODC = 3∠ BOC,\therefore \overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC},即x=3.$
解析
【分析】
要解决弧的倍数关系问题，根据同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，可将问题转化为求弧AD和弧BC所对圆心角的倍数关系。首先连接OC、OD构造圆心角，再结合已知的OM=CM、OC=OD（同圆半径相等），利用等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导∠AOD与∠BOC的数量关系，即可得到x的值。
【解析】
连接OC、OD。
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，
∴ $∠ODC=∠OCD$。
∵ $OM=CM$，
∴ $△ OMC$为等腰三角形，
∴ $∠OCD=∠BOC$。
等量代换得：$∠ODC=∠BOC$。
∵ $∠OMD$是$△ OMC$的外角，
∴ $∠OMD=∠OCD+∠BOC=∠BOC+∠BOC=2∠BOC$。
又
∵ $∠AOD$是$△ OMD$的外角，
∴ $∠AOD=∠OMD+∠ODC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC$。
∵ 同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数是$\overset{\frown}{BC}$度数的3倍，即$\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC}$，故$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形角度计算的综合题，解题的突破口是连接半径构造等腰三角形，把弧的关系转化为圆心角的关系求解，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决弧的倍数关系问题，根据同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，可将问题转化为求弧AD和弧BC所对圆心角的倍数关系。首先连接OC、OD构造圆心角，再结合已知的OM=CM、OC=OD（同圆半径相等），利用等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导∠AOD与∠BOC的数量关系，即可得到x的值。
【解析】
连接OC、OD。
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，
∴ $∠ODC=∠OCD$。
∵ $OM=CM$，
∴ $△ OMC$为等腰三角形，
∴ $∠OCD=∠BOC$。
等量代换得：$∠ODC=∠BOC$。
∵ $∠OMD$是$△ OMC$的外角，
∴ $∠OMD=∠OCD+∠BOC=∠BOC+∠BOC=2∠BOC$。
又
∵ $∠AOD$是$△ OMD$的外角，
∴ $∠AOD=∠OMD+∠ODC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC$。
∵ 同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数是$\overset{\frown}{BC}$度数的3倍，即$\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC}$，故$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形角度计算的综合题，解题的突破口是连接半径构造等腰三角形，把弧的关系转化为圆心角的关系求解，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
11 如图,在$\odot O$中,C 是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,D,E 分别是OA,OB 上的点,且$AD=BE$,弦 CM,CN 分别过点 D,E. 求证:
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
11. (1) 如图,连接OC. $\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠ COD=∠ COE. \because OA=OB,AD=BE,\therefore OD=OE. 又\because OC=OC,\therefore △ COD≌△ COE,\therefore CD=CE$
(2) 如图,连接OM,ON.
$\because △ COD≌△ COE,\therefore ∠ CDO=∠ CEO,∠ OCD=∠ OCE. \because OC=OM=ON,\therefore ∠ OCM=∠ M,∠ OCN=∠ N,\therefore ∠ M=∠ N.$
$\because ∠ CDO=∠ M+∠ MOD,∠ CEO=∠ N+∠ NOE,\therefore ∠ MOD=∠ NOE,\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明$CD=CE$，可通过证明包含两条线段的三角形全等实现。首先连接$OC$，由$C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点可得对应圆心角$∠ COD=∠ COE$；结合$OA=OB$、$AD=BE$可推出$OD=OE$，加上公共边$OC$，即可证明$△ COD≌△ COE$，得到$CD=CE$。
(2) 要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据弧与圆心角的对应关系，只需证明二者对应的圆心角$∠ AOM=∠ BON$即可。首先连接$OM$、$ON$，利用第一问全等的结论得到角相等，再结合同圆半径相等、等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角的性质，即可推出$∠ MOD=∠ NOE$，得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$
$\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore ∠ COD=∠ COE$
$\because OA=OB,AD=BE$，$\therefore OA-AD=OB-BE$，即$OD=OE$
又$\because OC=OC$
$\therefore △ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=CE$
(2) 证明：连接$OM$、$ON$
$\because △ COD≌△ COE$
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO,∠ OCD=∠ OCE$
$\because OC=OM=ON$（同圆的半径相等）
$\therefore ∠ OCM=∠ M,∠ OCN=∠ N$
$\therefore ∠ M=∠ N$
$\because ∠ CDO=∠ M+∠ MOD,∠ CEO=∠ N+∠ NOE$（三角形外角等于不相邻两个内角的和）
$\therefore ∠ MOD=∠ NOE$
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
【答案】
(1) 如图,连接OC. $\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠ COD=∠ COE. \because OA=OB,AD=BE,\therefore OD=OE. 又\because OC=OC,\therefore △ COD≌△ COE,\therefore CD=CE$
(2) 如图,连接OM,ON.
$\because △ COD≌△ COE,\therefore ∠ CDO=∠ CEO,∠ OCD=∠ OCE. \because OC=OM=ON,\therefore ∠ OCM=∠ M,∠ OCN=∠ N,\therefore ∠ M=∠ N.$
$\because ∠ CDO=∠ M+∠ MOD,∠ CEO=∠ N+∠ NOE,\therefore ∠ MOD=∠ NOE,\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，结合圆的基本性质、几何全等定理和三角形外角性质逐步推导，侧重考查学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明$CD=CE$，可通过证明包含两条线段的三角形全等实现。首先连接$OC$，由$C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点可得对应圆心角$∠ COD=∠ COE$；结合$OA=OB$、$AD=BE$可推出$OD=OE$，加上公共边$OC$，即可证明$△ COD≌△ COE$，得到$CD=CE$。
(2) 要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据弧与圆心角的对应关系，只需证明二者对应的圆心角$∠ AOM=∠ BON$即可。首先连接$OM$、$ON$，利用第一问全等的结论得到角相等，再结合同圆半径相等、等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角的性质，即可推出$∠ MOD=∠ NOE$，得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$
$\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore ∠ COD=∠ COE$
$\because OA=OB,AD=BE$，$\therefore OA-AD=OB-BE$，即$OD=OE$
又$\because OC=OC$
$\therefore △ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=CE$
(2) 证明：连接$OM$、$ON$
$\because △ COD≌△ COE$
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO,∠ OCD=∠ OCE$
$\because OC=OM=ON$（同圆的半径相等）
$\therefore ∠ OCM=∠ M,∠ OCN=∠ N$
$\therefore ∠ M=∠ N$
$\because ∠ CDO=∠ M+∠ MOD,∠ CEO=∠ N+∠ NOE$（三角形外角等于不相邻两个内角的和）
$\therefore ∠ MOD=∠ NOE$
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
【答案】
(1) 如图,连接OC. $\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠ COD=∠ COE. \because OA=OB,AD=BE,\therefore OD=OE. 又\because OC=OC,\therefore △ COD≌△ COE,\therefore CD=CE$
(2) 如图,连接OM,ON.
$\because △ COD≌△ COE,\therefore ∠ CDO=∠ CEO,∠ OCD=∠ OCE. \because OC=OM=ON,\therefore ∠ OCM=∠ M,∠ OCN=∠ N,\therefore ∠ M=∠ N.$
$\because ∠ CDO=∠ M+∠ MOD,∠ CEO=∠ N+∠ NOE,\therefore ∠ MOD=∠ NOE,\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，结合圆的基本性质、几何全等定理和三角形外角性质逐步推导，侧重考查学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图，AB，DE为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，连接BE，CE，AC，AD。
（1）BE与CE之间有什么数量关系？为什么？
（2）若$∠ BOE=60°$，则四边形OACE是什么特殊四边形？请说明理由。
（第12题）
（1）BE与CE之间有什么数量关系？为什么？
（2）若$∠ BOE=60°$，则四边形OACE是什么特殊四边形？请说明理由。
（第12题）答案
12. (1) $BE=CE$ $\because ∠ BOE=∠ AOD,\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}. \because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE},$
$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE},\therefore BE=CE$
(2) 四边形OACE是菱形 理由:如图,连接OC. $\because BE=CE,\therefore ∠ BOE=∠ COE=60°. 又\because OE=OC,$
$\therefore △ OCE$ 为等边三角形, $\therefore CE=OE. \because ∠ BOE+∠ COE+∠ AOC=180°,\therefore ∠ AOC=∠ COE=60°,\therefore AC=CE,\therefore OE=CE=AC=OA,\therefore$ 四边形OACE是菱形.
解析
【分析】
（1）要判断BE和CE的数量关系，在同圆中相等的弧所对的弦相等，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先利用对顶角相等得到∠BOE=∠AOD，推出$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}$，再结合题中给出的$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，通过等量代换得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，即可得到弦相等的结论。
（2）要判断四边形OACE的形状，先连接辅助线OC，结合（1）的结论可得等弦对应的圆心角相等，推出∠COE=∠BOE=60°，先证明△OCE是等边三角形得到CE=OE，再计算出∠AOC=60°，证明AC=OA，最终得到四边形OACE的四条边都相等，即可判定其为菱形。
【解析】
（1）$BE=CE$，理由如下：
∵AB、DE为$\odot O$的直径，
∴$∠ BOE=∠ AOD$（对顶角相等），
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}$（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$BE=CE$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
（2）四边形OACE是菱形，理由如下：
如图，连接OC。
∵$BE=CE$，
∴$∠ BOE=∠ COE=60°$（同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）。
∵$OE=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OCE$为等边三角形，
∴$CE=OE$。
∵$∠ BOE+∠ COE+∠ AOC=180°$，
∴$∠ AOC=180°-60°-60°=60°$，
又
∵$OA=OC$，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$AC=OA$。
∵$OA=OE$（都是$\odot O$的半径），
∴$OE=CE=AC=OA$，
∴四边形OACE是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
(1) $BE=CE$，理由见解析；
(2) 四边形OACE是菱形，理由见解析。
【知识点】
弧弦圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题主要考查圆的基本性质，结合了特殊三角形与特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
（1）要判断BE和CE的数量关系，在同圆中相等的弧所对的弦相等，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先利用对顶角相等得到∠BOE=∠AOD，推出$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}$，再结合题中给出的$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，通过等量代换得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，即可得到弦相等的结论。
（2）要判断四边形OACE的形状，先连接辅助线OC，结合（1）的结论可得等弦对应的圆心角相等，推出∠COE=∠BOE=60°，先证明△OCE是等边三角形得到CE=OE，再计算出∠AOC=60°，证明AC=OA，最终得到四边形OACE的四条边都相等，即可判定其为菱形。
【解析】
（1）$BE=CE$，理由如下：
∵AB、DE为$\odot O$的直径，
∴$∠ BOE=∠ AOD$（对顶角相等），
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}$（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$BE=CE$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
（2）四边形OACE是菱形，理由如下：
如图，连接OC。
∵$BE=CE$，
∴$∠ BOE=∠ COE=60°$（同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）。
∵$OE=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OCE$为等边三角形，
∴$CE=OE$。
∵$∠ BOE+∠ COE+∠ AOC=180°$，
∴$∠ AOC=180°-60°-60°=60°$，
又
∵$OA=OC$，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$AC=OA$。
∵$OA=OE$（都是$\odot O$的半径），
∴$OE=CE=AC=OA$，
∴四边形OACE是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
(1) $BE=CE$，理由见解析；
(2) 四边形OACE是菱形，理由见解析。
【知识点】
弧弦圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题主要考查圆的基本性质，结合了特殊三角形与特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
