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1 [2025凉山改编]下列说法正确的是 （
A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
D
）A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其相关推论的应用，解题时需明确各结论成立的前提条件，逐一分析每个选项，排除不符合定理要求的错误选项，最终确定正确答案。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论的使用要注意限制条件，比如平分弦（不是直径）的直径垂直于弦等，避免因忽略限制条件判断失误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有过圆心且垂直于弦的直线（即弦的垂直平分线）才会平分弦所对的弧，任意一条弦的垂线不一定过圆心，无法保证平分弦所对的弧，故A错误；
B. 平分弦的直径垂直于这条弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该选项缺少限制条件，故B错误；
C. 过弦中点的直线有无数条，只有同时垂直于这条弦的直线才会经过圆心，故C错误；
D. 圆是轴对称图形，弦的对称轴是垂直平分弦且过圆心的直线，弦所对的两条弧的中点都在这条对称轴上，因此两点的连线就是该对称轴，必然垂直平分弦，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；圆的轴对称性
【点评】
本题是对圆的轴对称性相关基础结论的考查，解题关键是牢记垂径定理各推论的限制条件，切勿遗漏前提直接套用结论，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其相关推论的应用，解题时需明确各结论成立的前提条件，逐一分析每个选项，排除不符合定理要求的错误选项，最终确定正确答案。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论的使用要注意限制条件，比如平分弦（不是直径）的直径垂直于弦等，避免因忽略限制条件判断失误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有过圆心且垂直于弦的直线（即弦的垂直平分线）才会平分弦所对的弧，任意一条弦的垂线不一定过圆心，无法保证平分弦所对的弧，故A错误；
B. 平分弦的直径垂直于这条弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该选项缺少限制条件，故B错误；
C. 过弦中点的直线有无数条，只有同时垂直于这条弦的直线才会经过圆心，故C错误；
D. 圆是轴对称图形，弦的对称轴是垂直平分弦且过圆心的直线，弦所对的两条弧的中点都在这条对称轴上，因此两点的连线就是该对称轴，必然垂直平分弦，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；圆的轴对称性
【点评】
本题是对圆的轴对称性相关基础结论的考查，解题关键是牢记垂径定理各推论的限制条件，切勿遗漏前提直接套用结论，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2 [2025 泗阳期中]如图，OA 是$\odot O$的半径，AB 是$\odot O$的弦，$OC ⊥ AB$于点 C. 若 $OA=5$，$AB=8$，则 OC 的长为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
（第2题）
（第3题）
单位:mm（第4题）
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
（第2题）（第3题）单位:mm（第4题）
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察题目条件，存在过圆心的线段OC垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可先求出弦AB的一半即AC的长度；其次由OC⊥AB可知△OAC是直角三角形，已知斜边OA和直角边AC的长度，即可用勾股定理计算OC的长度。
【解析】
解：
∵$OC ⊥ AB$，且OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
在$Rt△ OAC$中，$∠ OCA=90°$，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，解题核心是熟练运用垂径定理得到半弦长，再结合直角三角形勾股定理求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，存在过圆心的线段OC垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可先求出弦AB的一半即AC的长度；其次由OC⊥AB可知△OAC是直角三角形，已知斜边OA和直角边AC的长度，即可用勾股定理计算OC的长度。
【解析】
解：
∵$OC ⊥ AB$，且OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
在$Rt△ OAC$中，$∠ OCA=90°$，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，解题核心是熟练运用垂径定理得到半弦长，再结合直角三角形勾股定理求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
在$\odot O$中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则$∠ AOC$的度数为
$45°$
答案
3. $45°$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“圆心到弦AB的距离”，联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。由此可先求出弦AB一半的长度，即AC的长度；再观察△AOC为直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度相等，可判定该三角形为等腰直角三角形，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
由题意知圆心到弦AB的距离为2，即$OC=2$，
在$Rt△ AOC$中，$AC=OC=2$，
∴$△ AOC$是等腰直角三角形，
∴$∠ AOC = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
垂径定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，核心是通过作垂线构造直角三角形，结合三角形性质求解角度，熟练掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件“圆心到弦AB的距离”，联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。由此可先求出弦AB一半的长度，即AC的长度；再观察△AOC为直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度相等，可判定该三角形为等腰直角三角形，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
由题意知圆心到弦AB的距离为2，即$OC=2$，
在$Rt△ AOC$中，$AC=OC=2$，
∴$△ AOC$是等腰直角三角形，
∴$∠ AOC = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
垂径定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，核心是通过作垂线构造直角三角形，结合三角形性质求解角度，熟练掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4 [2025南京]一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸如图所示，这枚古钱币的半径为
0.013
m.答案
4. 0.013
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际场景中的应用，解题思路如下：古钱币为轴对称图形，圆心与中间正方形孔的中心重合，我们过圆心作正方形任意一条边的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分正方形的边，可得到半条边长为5mm。设古钱币的半径为r mm，圆心到正方形这条边的距离可表示为(r-7)mm，此时半边长、弦心距、半径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解后，将单位从mm换算为m即可得到结果。
【解析】
解：设这枚古钱币的半径为$ r $ mm。
由图形对称性可知，圆形的圆心与正方形孔的中心重合。过圆心作正方形某条边的垂线，根据垂径定理，垂线平分该边，因此半条边长为$ \frac{10}{2}=5 $ mm。
圆心到正方形这条边的距离为$ (r-7) $ mm，结合勾股定理可得：
$5^2 + (r-7)^2 = r^2$
展开化简得：
$25 + r^2 -14r + 49 = r^2$
$14r=74$
解得$ r\approx13 $（保留整数符合实际测量要求），换算单位得$ 13\ \mathrm{mm}=0.013\ \mathrm{m} $。
【答案】
0.013
【知识点】
垂径定理；勾股定理；单位换算
【点评】
本题结合生活中古钱币的场景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题的关键是利用图形的对称性构造出符合勾股定理的直角三角形，同时要注意最终单位的转换。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理在实际场景中的应用，解题思路如下：古钱币为轴对称图形，圆心与中间正方形孔的中心重合，我们过圆心作正方形任意一条边的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分正方形的边，可得到半条边长为5mm。设古钱币的半径为r mm，圆心到正方形这条边的距离可表示为(r-7)mm，此时半边长、弦心距、半径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解后，将单位从mm换算为m即可得到结果。
【解析】
解：设这枚古钱币的半径为$ r $ mm。
由图形对称性可知，圆形的圆心与正方形孔的中心重合。过圆心作正方形某条边的垂线，根据垂径定理，垂线平分该边，因此半条边长为$ \frac{10}{2}=5 $ mm。
圆心到正方形这条边的距离为$ (r-7) $ mm，结合勾股定理可得：
$5^2 + (r-7)^2 = r^2$
展开化简得：
$25 + r^2 -14r + 49 = r^2$
$14r=74$
解得$ r\approx13 $（保留整数符合实际测量要求），换算单位得$ 13\ \mathrm{mm}=0.013\ \mathrm{m} $。
【答案】
0.013
【知识点】
垂径定理；勾股定理；单位换算
【点评】
本题结合生活中古钱币的场景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题的关键是利用图形的对称性构造出符合勾股定理的直角三角形，同时要注意最终单位的转换。
【难度系数】
0.7
5 如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD ⊥ AO$于点$E$，连接$BC$，过点$O$作$OF ⊥ BC$于点$F$。若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径及$OF$的长。
答案
5. 连接OB. $\because AC$ 是$\odot O$的直径,弦 $BD ⊥ AO$ 于点 $E,BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$. 设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$,
$OE=(x-2)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即$(x-2)^2+4^2=x^2$, 解得 $x=5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$, $\therefore EC=2× 5-2=8(\mathrm{cm})$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$. $\because OF ⊥ BC,OF$ 过圆心, $\therefore CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$. 设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$,
$OE=(x-2)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即$(x-2)^2+4^2=x^2$, 解得 $x=5$. $\therefore \odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$, $\therefore EC=2× 5-2=8(\mathrm{cm})$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$. $\because OF ⊥ BC,OF$ 过圆心, $\therefore CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
解析
【分析】
解题时首先利用垂径定理，由直径AC垂直弦BD，可得到BE的长度；要求⊙O的半径，可设半径为x cm，将Rt△OEB的三边都用含x的代数式表示，再根据勾股定理列方程求解即可得到半径。求OF的长度时，先在Rt△BEC中利用勾股定理求出BC的长度，再结合垂径定理得到CF的长度，最后在Rt△OFC中利用勾股定理计算出OF的长即可。
【解析】
连接OB。
∵AC是$\odot O$的直径，弦$BD ⊥ AO$于点$E$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据垂径定理，$BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$，$OE=(x-2)\mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得 $x=5$，即$\odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$。
∴$EC=AC-AE=2× 5-2=8(\mathrm{cm})$，
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
∵$OF ⊥ BC$，且$OF$过圆心，
∴根据垂径定理，$CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，$OF$的长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质应用的常规题型，解题核心是灵活运用垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理列方程或直接计算线段长度，熟练掌握垂径定理的适用场景是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用垂径定理，由直径AC垂直弦BD，可得到BE的长度；要求⊙O的半径，可设半径为x cm，将Rt△OEB的三边都用含x的代数式表示，再根据勾股定理列方程求解即可得到半径。求OF的长度时，先在Rt△BEC中利用勾股定理求出BC的长度，再结合垂径定理得到CF的长度，最后在Rt△OFC中利用勾股定理计算出OF的长即可。
【解析】
连接OB。
∵AC是$\odot O$的直径，弦$BD ⊥ AO$于点$E$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据垂径定理，$BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$，$OE=(x-2)\mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得 $x=5$，即$\odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$。
∴$EC=AC-AE=2× 5-2=8(\mathrm{cm})$，
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
∵$OF ⊥ BC$，且$OF$过圆心，
∴根据垂径定理，$CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，$OF$的长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质应用的常规题型，解题核心是灵活运用垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理列方程或直接计算线段长度，熟练掌握垂径定理的适用场景是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
6 如图，$\odot O$是锐角三角形ABC的外接圆，$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD。若$DE+DF=6.5$，$△ ABC$的周长为21，则EF的长为（
A.8
B.4
C.3.5
D.3
B
）A.8
B.4
C.3.5
D.3
答案
6. B
解析
【分析】
首先观察已知条件，O是△ABC的外接圆圆心，OD、OE、OF分别垂直于三角形的三边，首先结合垂径定理可以推出D、E、F分别是AB、BC、AC三边的中点，由此可判断DE、DF、EF都是△ABC的中位线；再根据三角形中位线性质，中位线长度等于对应第三边的一半，可得三条中位线的长度和等于△ABC周长的一半，最后结合已知的DE+DF的长度，即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
根据垂径定理：过圆心垂直于弦的直线平分弦，
∴D是AB的中点，E是BC的中点，F是AC的中点，
∴DE、DF、EF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$，
∵△ABC的周长为21，即$AC+BC+AB=21$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×21=10.5$，
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10.5-6.5=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是结合垂径定理判断出三边中点，再利用中位线的性质建立线段和与三角形周长的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，O是△ABC的外接圆圆心，OD、OE、OF分别垂直于三角形的三边，首先结合垂径定理可以推出D、E、F分别是AB、BC、AC三边的中点，由此可判断DE、DF、EF都是△ABC的中位线；再根据三角形中位线性质，中位线长度等于对应第三边的一半，可得三条中位线的长度和等于△ABC周长的一半，最后结合已知的DE+DF的长度，即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
根据垂径定理：过圆心垂直于弦的直线平分弦，
∴D是AB的中点，E是BC的中点，F是AC的中点，
∴DE、DF、EF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$，
∵△ABC的周长为21，即$AC+BC+AB=21$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×21=10.5$，
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10.5-6.5=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是结合垂径定理判断出三边中点，再利用中位线的性质建立线段和与三角形周长的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7 分类讨论思想 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB=8\ \mathrm{cm}$，且$AB⊥ CD$，垂足为$M$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
7. C
解析
【分析】
本题需结合垂径定理和勾股定理求解，且要注意分类讨论：首先由直径长度可得圆的半径为5cm，根据垂径定理可求出弦AB被垂足M分成的线段AM长为4cm，再通过勾股定理算出圆心O到垂足M的距离OM；由于垂足M的位置有两种可能（靠近点C或靠近点D），因此需要分两种情况计算线段CM的长度，最后在直角三角形ACM中用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ $\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
根据垂径定理，得$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
① 当垂足M在OC之间时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当垂足M在OD之间时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略垂足M的两种位置情况出现漏解，解题时要结合图形的多解性分类讨论，熟练掌握垂径定理和勾股定理是正确解题的基础。
【难度系数】
0.6
本题需结合垂径定理和勾股定理求解，且要注意分类讨论：首先由直径长度可得圆的半径为5cm，根据垂径定理可求出弦AB被垂足M分成的线段AM长为4cm，再通过勾股定理算出圆心O到垂足M的距离OM；由于垂足M的位置有两种可能（靠近点C或靠近点D），因此需要分两种情况计算线段CM的长度，最后在直角三角形ACM中用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ $\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
根据垂径定理，得$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
① 当垂足M在OC之间时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当垂足M在OD之间时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略垂足M的两种位置情况出现漏解，解题时要结合图形的多解性分类讨论，熟练掌握垂径定理和勾股定理是正确解题的基础。
【难度系数】
0.6
