8 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为$E$，连接$AC$。若$∠ CAB=22.5°$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为cm。
（第8题）

8. $4\sqrt{2}$

【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直弦CD，优先运用垂径定理得到弦CD一半的长度；接下来连接半径OC构造直角三角形，利用同圆半径相等得到等腰△OAC，结合三角形外角的性质求出∠COE的度数，可判断△OCE为等腰直角三角形，最后通过勾股定理即可计算出半径的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴由垂径定理得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD=4\ \mathrm{cm}$，
∵$OA=OC$（同圆的半径相等），
∴$∠ OCA=∠ CAB=22.5°$，
∴$∠ COE=∠ CAB+∠ OCA=45°$，
又
∵$CD⊥ AB$，即$∠ OEC=90°$，
∴$△ OCE$是等腰直角三角形，$OE=CE=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合角度特征判断三角形的形状，将垂径定理和勾股定理结合求解即可。
【难度系数】
0.7

9 [2025重庆改编]如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE，CD交$\odot O$于点F，$AB⊥ CD$，垂足为G.连接AD.若$AG=12$，$GF=5$，则AD的长为.

9. $4\sqrt{13}$

【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到AB是⊙O的直径且垂直于圆的弦CF，根据垂径定理可直接得到CG=GF=5；2. 四边形ACDE是菱形，根据菱形四边相等的性质，CD=AC，先在Rt△AGC中用勾股定理算出AC的长度，即可得到CD的长度；3. 用CD的长度减去CG的长度得到GD的长度，最后在Rt△AGD中利用勾股定理就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CF是⊙O的弦，
∴根据垂径定理可得：$CG=GF=5$。
在$Rt△ AGC$中，$AG=12$，$CG=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
∵四边形ACDE是菱形，
∴$CD=AC=13$，
∴$GD=CD-CG=13-5=8$。
又
∵$AB⊥CD$，即$∠ AGD=90°$，
∴在$Rt△ AGD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AG^2+GD^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的突破口是利用垂径定理求出CG的长度，再结合菱形边长相等的性质求出GD的长度，最后用勾股定理计算即可，解题时要注意挖掘图中的直角三角形条件。
【难度系数】
0.65

10 已知$\odot O$的直径为20，弦AB的长为12，P是弦AB上一动点，则满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置。

10. 5

【分析】
要找出弦AB上满足OP长为整数的点P的个数，首先需确定OP的取值范围：弦上的点到圆心的最短距离是圆心到弦的垂线段长度（垂线段最短），最长距离是弦的端点到圆心的距离（即圆的半径）。先通过垂径定理和勾股定理算出圆心到AB的垂线段长度，得到OP的取值范围后，列举OP的所有整数值，再分别统计每个整数值对应的P点个数，求和即可得到总个数。
【解析】
已知⊙O的直径为20，因此半径$OA=OB=10$。
过点O作$OC⊥AB$于点C，根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△OAC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，因此OP的取值范围为$8≤OP≤10$。
因为OP的长度为整数，所以OP可取8、9、10三个值：
① 当$OP=8$时，仅存在垂足C这1个符合条件的点；
② 当$OP=9$时，由于$8＜9＜10$，在C点的左右两侧各有1个点满足$OP=9$，共2个点；
③ 当$OP=10$时，符合条件的点为弦AB的两个端点A、B，共2个点。
综上，满足条件的点P总共有$1+2+2=5$个。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、线段最值
【点评】
本题重点考察垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是先确定OP的取值范围，再分类讨论不同整数长度对应的点的个数，计数时需注意垂足、端点等特殊点的情况，避免漏算或重复计数。
【难度系数】
0.7

11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点C为圆心、AC长为半径的$\odot C$与AB相交于点D.若$AC=6$,$BC=8$,则AD的长为.

11. $\dfrac{36}{5}$ 【解析】如图,连接 CD,过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H,则$AH=\dfrac{1}{2}AD$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$,即 $\dfrac{1}{2}×6×8=\dfrac{1}{2}×10CH$,得 $CH=\dfrac{24}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中,由勾股定理,得 $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$. $\therefore AD=2AH=\dfrac{36}{5}$.

【分析】
要求弦AD的长，可借助垂径定理求解：过圆心作弦AD的垂线，垂足即为AD的中点，因此只需先求出AD一半的长度AH，再乘2即可得到AD。解题步骤思路如下：第一步先利用勾股定理算出Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出斜边上的高CH；第三步在Rt△ACH中用勾股定理算出AH的长度，进而得到AD的长度。
【解析】
解：如图，连接CD，过点C作$CH ⊥ AB$于点H，根据垂径定理可得$AH=\dfrac{1}{2}AD$。
1. 计算AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 计算CH的长度：
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$，代入数值：
$\dfrac{1}{2}×6×8=\dfrac{1}{2}×10· CH$，解得$CH=\dfrac{24}{5}$。
3. 计算AH及AD的长度：
在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$。
$\therefore AD=2AH=2×\dfrac{18}{5}=\dfrac{36}{5}$。

【答案】
$\dfrac{36}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题核心是利用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，结合面积法求高可以简化计算过程，能有效考查对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

12 新情境 生活实际 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点O，桥下水面的宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4 m。现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

12. 如图,连接 $ON,OB$. $\because OC ⊥ AB$, $\therefore D$ 为 $AB$ 的中点. $\because AB=7.2\ \mathrm{m}$, $\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$. 设 $OB=OC=ON=r\ \mathrm{m}$, 则 $OD=(r-2.4)\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,根据勾股定理,得 $OB^2=OD^2+BD^2$, 即 $r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$, 解得 $r=3.9$. $\because CD=2.4\ \mathrm{m}$, 船舱顶部高出水面 $AB\ 2\ \mathrm{m}$, $\therefore CE=2.4-2=0.4(\mathrm{m})$, $\therefore OE=3.9-0.4=3.5(\mathrm{m})$. 易知 $OC ⊥ MN$, $\therefore MN = 2EN$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEN$ 中, $EN =\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}\ (\mathrm{m})$. $\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}\approx3.44(\mathrm{m})$. $\because 3.44＞3$, $\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥

【分析】
这是垂径定理在实际生活中的应用问题，解题思路分为两步：第一步先求出桥拱所在圆的半径，利用垂径定理可得AB长度的一半，结合CD的高度，设圆的半径为r，将OD用含r的代数式表示，在Rt△BOD中用勾股定理列方程即可求出半径；第二步计算货船顶部对应高度处桥拱的宽度，货船高出水面2m，先求出该高度处到圆心的距离，再用垂径定理和勾股定理算出对应弦长，将弦长和货船宽度3m比较，若弦长更大则货船可以通过。
【解析】
解：如图，连接 $ON,OB$.
$\because OC ⊥ AB$,
$\therefore D$ 为 $AB$ 的中点.
$\because AB=7.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$.
设 $OB=OC=ON=r\ \mathrm{m}$, 则 $OD=(r-2.4)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,根据勾股定理,得 $OB^2=OD^2+BD^2$,
即 $r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$,
解得 $r=3.9$.
$\because CD=2.4\ \mathrm{m}$, 船舱顶部高出水面 $AB\ 2\ \mathrm{m}$,
$\therefore CE=2.4-2=0.4(\mathrm{m})$,
$\therefore OE=3.9-0.4=3.5(\mathrm{m})$.
易知 $OC ⊥ MN$,
$\therefore MN = 2EN$.
在 $\mathrm{Rt}△ OEN$ 中, $EN =\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}\ (\mathrm{m})$.
$\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}\approx3.44(\mathrm{m})$.
$\because 3.44＞3$,
$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥。
【答案】
此货船能顺利通过这座拱桥

【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题结合拱桥通行的生活情境考查圆的性质应用，解题核心是将实际问题转化为圆的弦长计算问题，通过构造直角三角形、利用勾股定理建立方程求解，能有效考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

13 [2025 西宁]如图，AB，AC是$\odot O$的弦，$AB=AC$，半径$OE$，$OF$分别与弦$AB$，$AC$垂直，垂足分别为$G$，$H$，$AM// OF$交$OE$于点$M$，$AN// OE$交$OF$于点$N$，连接$OA$。
（1）求证：$∠ AOE=∠ AOF$；
（2）求证：四边形$AMON$是菱形；
（3）若$AB=16$，$OA=10$，则$OM$的长为。

13. (1) $\because AB=AC$, $\therefore \overgroup{AB}=\overgroup{AC}$. $\because$ 半径 $OE,OF$ 分别与弦 $AB,AC$ 垂直, $\therefore \overgroup{AE}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AB}$, $\overgroup{AF}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AC}$, $\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{AF}$, $\therefore ∠ AOE = ∠ AOF$
(2) $\because AM// OF,AN// OE$, $\therefore$ 四边形 $AMON$ 为平行四边形, $∠ MAO = ∠ AOF$. $\because ∠ AOE = ∠ AOF$, $\therefore ∠ MAO = ∠ AOE$, $\therefore AM=OM$, $\therefore □ AMON$ 为菱形
(3) $\dfrac{25}{3}$ 【解析】 $\because$ 半径 $OE⊥ AB,AB=16$, $\therefore AG=\dfrac{1}{2}AB=8$. $\because OA=10$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中, $OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$. 设 $OM=AM=x$, 则 $MG=OM-OG=x-6$. 在 $\mathrm{Rt}△ AGM$ 中, 由勾股定理, 得 $AG^2+MG^2=AM^2$, 即 $8^2+(x-6)^2=x^2$, 解得 $x=\dfrac{25}{3}$, $\therefore OM=\dfrac{25}{3}$.

【分析】
（1）要证∠AOE=∠AOF，可通过证明两角对应的弧相等推导：已知AB=AC可得对应弧$\overgroup{AB}=\overgroup{AC}$，再结合垂径定理“垂直于弦的半径平分弦所对的弧”，可推出$\overgroup{AE}=\overgroup{AF}$，即可得到对应圆心角相等。
（2）要证四边形AMON是菱形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定其为平行四边形，再结合（1）的角相等结论和平行线的内错角相等，推出一组邻边相等，即可证得平行四边形为菱形。
（3）求OM的长，先由垂径定理求出AG的长度，再在Rt△AOG中用勾股定理算出OG的长，设OM=x，根据菱形性质得AM=x，可得MG=x-OG，最后在Rt△AGM中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB=AC$，$\therefore \overgroup{AB}=\overgroup{AC}$。
$\because$ 半径$OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，
$\therefore \overgroup{AE}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AB}$，$\overgroup{AF}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AC}$，
$\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{AF}$，
$\therefore ∠AOE=∠AOF$。
（2）证明：$\because AM// OF$，$AN// OE$，
$\therefore$ 四边形$AMON$是平行四边形，且$∠MAO=∠AOF$。
由（1）得$∠AOE=∠AOF$，
$\therefore ∠MAO=∠AOE$，
$\therefore AM=OM$，
$\therefore □ AMON$是菱形。
（3）解：$\because OE⊥ AB$，$AB=16$，
$\therefore AG=\dfrac{1}{2}AB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，$OA=10$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$OM=AM=x$，则$MG=x-6$。
在$\mathrm{Rt}△ AGM$中，由勾股定理得$AG^2+MG^2=AM^2$，
即$8^2+(x-6)^2=x^2$，
解得$x=\dfrac{25}{3}$，即$OM=\dfrac{25}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$\dfrac{25}{3}$
【知识点】
垂径定理、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础综合题，前两问侧重对基础定理的直接运用，第三问结合方程思想求解线段长度，是几何题的常见考法，熟练掌握各基础性质和定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.65