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8 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为$E$，连接$AC$。若$∠ CAB=22.5°$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为
（第8题）
$4\sqrt{2}$
cm。（第8题）答案
8. $4\sqrt{2}$
9 [2025重庆改编]如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE，CD交$\odot O$于点F，$AB⊥ CD$，垂足为G.连接AD.若$AG=12$，$GF=5$，则AD的长为
$4\sqrt{13}$
.答案
9. $4\sqrt{13}$
10 已知$\odot O$的直径为20，弦AB的长为12，P是弦AB上一动点，则满足线段OP的长为整数的点P有
5
处不同的位置。答案
10. 5
11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点C为圆心、AC长为半径的$\odot C$与AB相交于点D.若$AC=6$,$BC=8$,则AD的长为
$\dfrac{36}{5}$
.答案
11. $\dfrac{36}{5}$ 【解析】如图,连接 CD,过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H,则$AH=\dfrac{1}{2}AD$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$,即 $\dfrac{1}{2}×6×8=\dfrac{1}{2}×10CH$,得 $CH=\dfrac{24}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中,由勾股定理,得 $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$. $\therefore AD=2AH=\dfrac{36}{5}$.
12 新情境 生活实际 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点O，桥下水面的宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4 m。现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
答案
12. 如图,连接 $ON,OB$. $\because OC ⊥ AB$, $\therefore D$ 为 $AB$ 的中点. $\because AB=7.2\ \mathrm{m}$, $\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$. 设 $OB=OC=ON=r\ \mathrm{m}$, 则 $OD=(r-2.4)\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,根据勾股定理,得 $OB^2=OD^2+BD^2$, 即 $r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$, 解得 $r=3.9$. $\because CD=2.4\ \mathrm{m}$, 船舱顶部高出水面 $AB\ 2\ \mathrm{m}$, $\therefore CE=2.4-2=0.4(\mathrm{m})$, $\therefore OE=3.9-0.4=3.5(\mathrm{m})$. 易知 $OC ⊥ MN$, $\therefore MN = 2EN$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEN$ 中, $EN =\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}\ (\mathrm{m})$. $\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}\approx3.44(\mathrm{m})$. $\because 3.44＞3$, $\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥
13 [2025 西宁]如图，AB，AC是$\odot O$的弦，$AB=AC$，半径$OE$，$OF$分别与弦$AB$，$AC$垂直，垂足分别为$G$，$H$，$AM// OF$交$OE$于点$M$，$AN// OE$交$OF$于点$N$，连接$OA$。
（1）求证：$∠ AOE=∠ AOF$；
（2）求证：四边形$AMON$是菱形；
（3）若$AB=16$，$OA=10$，则$OM$的长为
（1）求证：$∠ AOE=∠ AOF$；
（2）求证：四边形$AMON$是菱形；
（3）若$AB=16$，$OA=10$，则$OM$的长为
$\dfrac{25}{3}$
。答案
13. (1) $\because AB=AC$, $\therefore \overgroup{AB}=\overgroup{AC}$. $\because$ 半径 $OE,OF$ 分别与弦 $AB,AC$ 垂直, $\therefore \overgroup{AE}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AB}$, $\overgroup{AF}=\dfrac{1}{2}\overgroup{AC}$, $\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{AF}$, $\therefore ∠ AOE = ∠ AOF$
(2) $\because AM// OF,AN// OE$, $\therefore$ 四边形 $AMON$ 为平行四边形, $∠ MAO = ∠ AOF$. $\because ∠ AOE = ∠ AOF$, $\therefore ∠ MAO = ∠ AOE$, $\therefore AM=OM$, $\therefore □ AMON$ 为菱形
(3) $\dfrac{25}{3}$ 【解析】 $\because$ 半径 $OE⊥ AB,AB=16$, $\therefore AG=\dfrac{1}{2}AB=8$. $\because OA=10$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中, $OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$. 设 $OM=AM=x$, 则 $MG=OM-OG=x-6$. 在 $\mathrm{Rt}△ AGM$ 中, 由勾股定理, 得 $AG^2+MG^2=AM^2$, 即 $8^2+(x-6)^2=x^2$, 解得 $x=\dfrac{25}{3}$, $\therefore OM=\dfrac{25}{3}$.
(2) $\because AM// OF,AN// OE$, $\therefore$ 四边形 $AMON$ 为平行四边形, $∠ MAO = ∠ AOF$. $\because ∠ AOE = ∠ AOF$, $\therefore ∠ MAO = ∠ AOE$, $\therefore AM=OM$, $\therefore □ AMON$ 为菱形
(3) $\dfrac{25}{3}$ 【解析】 $\because$ 半径 $OE⊥ AB,AB=16$, $\therefore AG=\dfrac{1}{2}AB=8$. $\because OA=10$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中, $OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$. 设 $OM=AM=x$, 则 $MG=OM-OG=x-6$. 在 $\mathrm{Rt}△ AGM$ 中, 由勾股定理, 得 $AG^2+MG^2=AM^2$, 即 $8^2+(x-6)^2=x^2$, 解得 $x=\dfrac{25}{3}$, $\therefore OM=\dfrac{25}{3}$.
