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1 从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：第一步，根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即众数；第二步，明确随机抽取一个数的所有等可能结果数，以及抽中众数的结果数，再利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
首先确定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字5共出现2次，出现次数最多，因此该组数据的众数为5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选到众数5的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 众数的判定
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将统计中的众数概念与概率计算结合考查，解题的关键是准确识别众数，再代入概率公式计算即可，主要检验学生对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解决本题需分两步思考：第一步，根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即众数；第二步，明确随机抽取一个数的所有等可能结果数，以及抽中众数的结果数，再利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
首先确定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字5共出现2次，出现次数最多，因此该组数据的众数为5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选到众数5的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 众数的判定
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将统计中的众数概念与概率计算结合考查，解题的关键是准确识别众数，再代入概率公式计算即可，主要检验学生对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2 如图，任意将图中的某一白色方块涂灰后，能使所有灰色方块构成的图形是轴对称图形的概率为 （
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步先确定总共有多少种等可能的涂色情况，也就是数出图中白色方块的总数量；第二步结合轴对称图形的定义（沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合），逐个判断把每个白色方块涂灰后，所有灰色方块组成的图形是否为轴对称图形，统计出符合要求的涂色情况数；第三步根据概率公式“概率=符合要求的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先计算总情况数：题图是3×3的方格，总共有9个小方块，其中现有灰色方块3个，因此白色方块共有$9-3=6$个，即总共有6种等可能的涂色情况。
接下来判断符合要求的情况数：逐个将白色方块涂灰，结合轴对称图形的定义验证，可得共有4种涂法可使灰色方块构成轴对称图形。
最后计算概率：所求概率为符合要求的情况数除以总情况数，即$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别、简单概率计算
【点评】
本题是轴对称图形与概率计算的结合题型，解题的核心是准确计数，既要数对总涂色情况，也要避免漏数或多数满足轴对称的涂色情况，是考查基础知识点综合应用的典型题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步先确定总共有多少种等可能的涂色情况，也就是数出图中白色方块的总数量；第二步结合轴对称图形的定义（沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合），逐个判断把每个白色方块涂灰后，所有灰色方块组成的图形是否为轴对称图形，统计出符合要求的涂色情况数；第三步根据概率公式“概率=符合要求的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先计算总情况数：题图是3×3的方格，总共有9个小方块，其中现有灰色方块3个，因此白色方块共有$9-3=6$个，即总共有6种等可能的涂色情况。
接下来判断符合要求的情况数：逐个将白色方块涂灰，结合轴对称图形的定义验证，可得共有4种涂法可使灰色方块构成轴对称图形。
最后计算概率：所求概率为符合要求的情况数除以总情况数，即$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别、简单概率计算
【点评】
本题是轴对称图形与概率计算的结合题型，解题的核心是准确计数，既要数对总涂色情况，也要避免漏数或多数满足轴对称的涂色情况，是考查基础知识点综合应用的典型题。
【难度系数】
0.7
3 新情境 数学文化 [2024 湖北]小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是
$\frac{1}{5}$
。答案
3. $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
这是一道考查等可能事件概率计算的基础题，解题思路如下：首先明确随机选取时每位数学家被选中的可能性相等，属于等可能事件；第一步统计所有等可能的结果总数，本题共有5位数学家，总结果数为5；第二步统计符合“选到赵爽”这一条件的结果数，只有1种；最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
已知共有祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶5位数学家，随机选取1位时，共有5种等可能的结果，其中选到赵爽的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$ P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，可得选到赵爽的概率为$ \frac{1}{5} $。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
简单概率计算；等可能事件
【点评】
本题结合我国古代数学家的数学文化背景出题，既考查了基础的概率计算能力，又能引导学生了解数学史，题目考查内容基础，立意较好。
【难度系数】
0.9
这是一道考查等可能事件概率计算的基础题，解题思路如下：首先明确随机选取时每位数学家被选中的可能性相等，属于等可能事件；第一步统计所有等可能的结果总数，本题共有5位数学家，总结果数为5；第二步统计符合“选到赵爽”这一条件的结果数，只有1种；最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
已知共有祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶5位数学家，随机选取1位时，共有5种等可能的结果，其中选到赵爽的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$ P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，可得选到赵爽的概率为$ \frac{1}{5} $。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
简单概率计算；等可能事件
【点评】
本题结合我国古代数学家的数学文化背景出题，既考查了基础的概率计算能力，又能引导学生了解数学史，题目考查内容基础，立意较好。
【难度系数】
0.9
4 在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2),B(-3,4),C(-2,-3),D(4,3),E(2,-3),从中任选一个点恰好在第一象限的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
4. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
这是一道结合平面直角坐标系知识的简单概率计算题，解题思路分三步：第一步回忆等可能事件的概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的总情况数}$；第二步确定总情况数：从5个点中任选1个，共有5种等可能的结果；第三步判断第一象限的点的坐标特征（横坐标＞0，纵坐标＞0），逐个核对5个点，统计出符合条件的点的数量，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从5个点中任选1个点，共有5种等可能的结果。
第一象限内点的坐标特征为：横坐标＞0，纵坐标＞0，逐一判断各点：
$A(1,2)$：横、纵坐标均为正，在第一象限；
$B(-3,4)$：横坐标为负，不在第一象限；
$C(-2,-3)$：横、纵坐标均为负，不在第一象限；
$D(4,3)$：横、纵坐标均为正，在第一象限；
$E(2,-3)$：纵坐标为负，不在第一象限。
因此符合“在第一象限”的结果共有2种，
则任选一个点恰好在第一象限的概率$P=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 各象限内点的坐标特征
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将平面直角坐标系的基础知识点和概率计算相结合，难度较低，只要牢记各象限点的坐标符号规律、掌握简单概率的计算方法就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是一道结合平面直角坐标系知识的简单概率计算题，解题思路分三步：第一步回忆等可能事件的概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的总情况数}$；第二步确定总情况数：从5个点中任选1个，共有5种等可能的结果；第三步判断第一象限的点的坐标特征（横坐标＞0，纵坐标＞0），逐个核对5个点，统计出符合条件的点的数量，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从5个点中任选1个点，共有5种等可能的结果。
第一象限内点的坐标特征为：横坐标＞0，纵坐标＞0，逐一判断各点：
$A(1,2)$：横、纵坐标均为正，在第一象限；
$B(-3,4)$：横坐标为负，不在第一象限；
$C(-2,-3)$：横、纵坐标均为负，不在第一象限；
$D(4,3)$：横、纵坐标均为正，在第一象限；
$E(2,-3)$：纵坐标为负，不在第一象限。
因此符合“在第一象限”的结果共有2种，
则任选一个点恰好在第一象限的概率$P=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 各象限内点的坐标特征
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，将平面直角坐标系的基础知识点和概率计算相结合，难度较低，只要牢记各象限点的坐标符号规律、掌握简单概率的计算方法就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
5 [2025沭阳段考]如图，$\odot O$内切于正方形$ABCD$，随机地往正方形$ABCD$内投一粒米，落在涂色部分的概率是
（第5题）
$\frac{4-π}{4}$
。（第5题）答案
5. $\frac{4-π}{4}$
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，解题思路如下：① 随机投米落在正方形内任意位置的可能性相等，因此米粒落在涂色区域的概率等于涂色区域面积与正方形总面积的比值；② 已知圆是正方形的内切圆，可得圆的直径等于正方形的边长，我们可以设正方形边长为参数，分别表示出正方形面积、内切圆面积，进而求出涂色部分面积；③ 代入概率公式计算即可，计算过程中参数会被约去，不需要求出边长的具体值。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$a$，
∵ $\odot O$内切于正方形$ABCD$，
∴ 内切圆的直径等于正方形的边长，即圆的半径$r=\frac{a}{2}$。
正方形的面积$S_{\mathrm{正}}=a^2$，
内切圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π · ( \frac{a}{2} )^2=\frac{π a^2}{4}$，
涂色部分的面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{正}}-S_{\mathrm{圆}}=a^2-\frac{π a^2}{4}=\frac{(4-π)a^2}{4}$，
根据几何概型概率公式，米粒落在涂色部分的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{正}}}=\frac{\frac{(4-π)a^2}{4}}{a^2}=\frac{4-π}{4}$。
【答案】
$\frac{4-π}{4}$
【知识点】
几何概型计算，正方形内切圆性质，图形面积计算
【点评】
本题是几何概型的常规考题，核心是理解几何概型的概率为对应区域的面积之比，结合正方形与内切圆的面积关系即可求解，计算时引入的边长参数会自行消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
本题属于几何概型问题，解题思路如下：① 随机投米落在正方形内任意位置的可能性相等，因此米粒落在涂色区域的概率等于涂色区域面积与正方形总面积的比值；② 已知圆是正方形的内切圆，可得圆的直径等于正方形的边长，我们可以设正方形边长为参数，分别表示出正方形面积、内切圆面积，进而求出涂色部分面积；③ 代入概率公式计算即可，计算过程中参数会被约去，不需要求出边长的具体值。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$a$，
∵ $\odot O$内切于正方形$ABCD$，
∴ 内切圆的直径等于正方形的边长，即圆的半径$r=\frac{a}{2}$。
正方形的面积$S_{\mathrm{正}}=a^2$，
内切圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π · ( \frac{a}{2} )^2=\frac{π a^2}{4}$，
涂色部分的面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{正}}-S_{\mathrm{圆}}=a^2-\frac{π a^2}{4}=\frac{(4-π)a^2}{4}$，
根据几何概型概率公式，米粒落在涂色部分的概率：
$P=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{正}}}=\frac{\frac{(4-π)a^2}{4}}{a^2}=\frac{4-π}{4}$。
【答案】
$\frac{4-π}{4}$
【知识点】
几何概型计算，正方形内切圆性质，图形面积计算
【点评】
本题是几何概型的常规考题，核心是理解几何概型的概率为对应区域的面积之比，结合正方形与内切圆的面积关系即可求解，计算时引入的边长参数会自行消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
6 一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，它们除颜色外其他都相同.
（1）求从袋中摸出1个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，从袋中摸出1个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，则至少取出了多少个黑球？
（1）求从袋中摸出1个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，从袋中摸出1个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，则至少取出了多少个黑球？
答案
6. (1) $P$(摸出1个球是黄球)$=\frac{5}{5+13+22}=\frac{1}{8}$
(2) 设取出了$x$个黑球.根据题意,得$\frac{5+x}{5+13+22}≥ \frac{1}{3}$,解得$x≥ \frac{25}{3}$.$\therefore x$的最小正整数值是9,$\therefore$ 至少取出了9个黑球
(2) 设取出了$x$个黑球.根据题意,得$\frac{5+x}{5+13+22}≥ \frac{1}{3}$,解得$x≥ \frac{25}{3}$.$\therefore x$的最小正整数值是9,$\therefore$ 至少取出了9个黑球
解析
【分析】
（1）计算简单随机事件的概率可直接用概率公式：随机事件的概率=事件对应结果数÷所有等可能结果的总数，先求出袋中球的总个数，再代入黄球的数量计算即可。
（2）设取出黑球的数量为x个，取出x个黑球的同时放入x个黄球，因此黄球数量变为(5+x)个，袋中总球数保持不变；结合“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”的要求，根据概率公式列出不等式，求解后结合x为正整数的实际意义，取最小的符合条件的x值即可。
【解析】
（1）袋中球的总个数为$5+13+22=40$个，其中黄球有5个，
$\therefore P$(摸出1个球是黄球)$=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
（2）设取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时黄球个数为$(5+x)$个，袋中总球数仍为40个。
根据题意列不等式：
$\frac{5+x}{40}≥ \frac{1}{3}$
不等式两边同乘40得：$5+x≥\frac{40}{3}$
移项计算得：$x≥\frac{25}{3}$
$\because x$为正整数，
$\therefore x$的最小正整数值是9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) $\frac{1}{8}$；(2) 9个
【知识点】
概率公式，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合摸球场景考查概率计算与不等式的实际应用，解题的关键是明确取放球过程中总球数不变，准确表示出变化后黄球的数量，结合概率要求列不等式求解，最后注意取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）计算简单随机事件的概率可直接用概率公式：随机事件的概率=事件对应结果数÷所有等可能结果的总数，先求出袋中球的总个数，再代入黄球的数量计算即可。
（2）设取出黑球的数量为x个，取出x个黑球的同时放入x个黄球，因此黄球数量变为(5+x)个，袋中总球数保持不变；结合“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”的要求，根据概率公式列出不等式，求解后结合x为正整数的实际意义，取最小的符合条件的x值即可。
【解析】
（1）袋中球的总个数为$5+13+22=40$个，其中黄球有5个，
$\therefore P$(摸出1个球是黄球)$=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
（2）设取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时黄球个数为$(5+x)$个，袋中总球数仍为40个。
根据题意列不等式：
$\frac{5+x}{40}≥ \frac{1}{3}$
不等式两边同乘40得：$5+x≥\frac{40}{3}$
移项计算得：$x≥\frac{25}{3}$
$\because x$为正整数，
$\therefore x$的最小正整数值是9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1) $\frac{1}{8}$；(2) 9个
【知识点】
概率公式，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合摸球场景考查概率计算与不等式的实际应用，解题的关键是明确取放球过程中总球数不变，准确表示出变化后黄球的数量，结合概率要求列不等式求解，最后注意取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
7 [2025兰州]现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）。若小明分别从甲、乙两个盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
7. A
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率计算问题，属于古典概型范畴。解题思路如下：首先明确从甲、乙两盒抽卡片的结果都是等可能的，我们先计算所有可能的抽取结果总数，再找到能拼成“德”字读音的结果数，最后利用概率公式计算即可。首先，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，总结果数为两者的乘积；其次，“德”的读音为de，只有抽到甲盒的d和乙盒的e才符合要求，仅1种符合条件的结果，代入公式就能得到概率。
【解析】
解：从甲、乙两个盒子中各随机抽取1张卡片，所有等可能的结果如下：
(d,a)、(d,e)、(d,i)、(t,a)、(t,e)、(t,i)、(l,a)、(l,e)、(l,i)，共9种。
“德”字的拼音为dé，即需要抽到声母d和韵母e，符合条件的结果只有(d,e)1种。
根据古典概型概率公式：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题结合汉语拼音的生活化情境考查概率的基本计算，解题的核心是准确枚举所有等可能结果，找准符合要求的事件对应的结果数，只要细心就不易出错。
【难度系数】
0.8
本题是两步随机事件的概率计算问题，属于古典概型范畴。解题思路如下：首先明确从甲、乙两盒抽卡片的结果都是等可能的，我们先计算所有可能的抽取结果总数，再找到能拼成“德”字读音的结果数，最后利用概率公式计算即可。首先，甲盒有3种抽取结果，乙盒有3种抽取结果，总结果数为两者的乘积；其次，“德”的读音为de，只有抽到甲盒的d和乙盒的e才符合要求，仅1种符合条件的结果，代入公式就能得到概率。
【解析】
解：从甲、乙两个盒子中各随机抽取1张卡片，所有等可能的结果如下：
(d,a)、(d,e)、(d,i)、(t,a)、(t,e)、(t,i)、(l,a)、(l,e)、(l,i)，共9种。
“德”字的拼音为dé，即需要抽到声母d和韵母e，符合条件的结果只有(d,e)1种。
根据古典概型概率公式：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题结合汉语拼音的生活化情境考查概率的基本计算，解题的核心是准确枚举所有等可能结果，找准符合要求的事件对应的结果数，只要细心就不易出错。
【难度系数】
0.8
8 [2025 宁夏]为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动.现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
8. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题默认三个社团学生人数相等，抽取的学生属于任意一个社团的概率均等，属于古典概型概率计算问题。解题时可通过列表或树状图法枚举所有等可能的抽取结果，再统计出“两名学生恰好参加同一社团”的符合条件的结果数，最后代入概率公式P=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数计算即可，枚举时注意不要漏算或重复计算结果。
【解析】
将器乐、舞蹈、声乐三个社团分别记为A、B、C，由题可知抽取的每名学生属于三个社团的概率均等。
随机抽取两名学生，所有等可能的结果共有3×3=9种，分别为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中满足“两人恰好参加同一社团”的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得所求概率为：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 枚举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查对概率意义的理解和等可能事件的枚举能力，解题的关键是准确梳理所有可能的情况，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
本题默认三个社团学生人数相等，抽取的学生属于任意一个社团的概率均等，属于古典概型概率计算问题。解题时可通过列表或树状图法枚举所有等可能的抽取结果，再统计出“两名学生恰好参加同一社团”的符合条件的结果数，最后代入概率公式P=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数计算即可，枚举时注意不要漏算或重复计算结果。
【解析】
将器乐、舞蹈、声乐三个社团分别记为A、B、C，由题可知抽取的每名学生属于三个社团的概率均等。
随机抽取两名学生，所有等可能的结果共有3×3=9种，分别为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中满足“两人恰好参加同一社团”的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得所求概率为：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 枚举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查对概率意义的理解和等可能事件的枚举能力，解题的关键是准确梳理所有可能的情况，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
