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9 [2025浙江]现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\frac{4}{9}$
.答案
9. $\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题属于古典概型概率求解问题，解题思路分为三步：第一步先计算两人各出一张卡片的总等可能结果数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，根据乘法原理可得总结果数为3×3=9种；第二步采用枚举法，逐一列出所有配对情况，筛选出甲的卡片数字大于乙的结果数；第三步直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：甲手中卡片为1、4、5，乙手中卡片为2、3、6，两人各随机出一张卡片，所有等可能的配对结果为：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中甲的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲出的卡片数字比乙大})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
3. 等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，解题关键是枚举所有结果时做到不重不漏，准确统计符合条件的结果数量，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题属于古典概型概率求解问题，解题思路分为三步：第一步先计算两人各出一张卡片的总等可能结果数，甲有3张卡片、乙有3张卡片，根据乘法原理可得总结果数为3×3=9种；第二步采用枚举法，逐一列出所有配对情况，筛选出甲的卡片数字大于乙的结果数；第三步直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：甲手中卡片为1、4、5，乙手中卡片为2、3、6，两人各随机出一张卡片，所有等可能的配对结果为：
(1,2)、(1,3)、(1,6)、(4,2)、(4,3)、(4,6)、(5,2)、(5,3)、(5,6)，共9种。
其中甲的卡片数字比乙大的结果有：(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)，共4种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲出的卡片数字比乙大})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
3. 等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，解题关键是枚举所有结果时做到不重不漏，准确统计符合条件的结果数量，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10 [2024苏州]一个不透明的盒子中装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率（请用画树状图或列表的方法求解）.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为
$\frac{1}{4}$
；（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率（请用画树状图或列表的方法求解）.
答案
10. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 列表如下：
|第1张\第2张|春|夏|秋|冬|
|----|----|----|----|----|
|春|—|(春,夏)|(春,秋)|(春,冬)|
|夏|(夏,春)|—|(夏,秋)|(夏,冬)|
|秋|(秋,春)|(秋,夏)|—|(秋,冬)|
|冬|(冬,春)|(冬,夏)|(冬,秋)|—|
由表,可知从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的结果有2种,$\therefore P$(抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
(2) 列表如下：
|第1张\第2张|春|夏|秋|冬|
|----|----|----|----|----|
|春|—|(春,夏)|(春,秋)|(春,冬)|
|夏|(夏,春)|—|(夏,秋)|(夏,冬)|
|秋|(秋,春)|(秋,夏)|—|(秋,冬)|
|冬|(冬,春)|(冬,夏)|(冬,秋)|—|
由表,可知从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的结果有2种,$\therefore P$(抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）第一问属于简单古典概型问题，首先明确所有等可能的抽取结果共4种，其中恰好抽到“夏”的结果只有1种，根据概率公式“$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果总数}$”即可直接计算。
（2）第二问是不放回的两步抽取试验，需要通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，再从中找出恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意不放回抽取时第一次抽到的书签不会在第二次抽取中出现。
【解析】
（1）盒子中共有4张除图案外完全相同的书签，抽取时每张书签被抽到的可能性相等，其中“夏”书签有1张，因此任意抽取1张，恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据不放回抽取的规则，列表如下：
|第1张\第2张|春|夏|秋|冬|
|----|----|----|----|----|
|春|—|(春,夏)|(春,秋)|(春,冬)|
|夏|(夏,春)|—|(夏,秋)|(夏,冬)|
|秋|(秋,春)|(秋,夏)|—|(秋,冬)|
|冬|(冬,春)|(冬,夏)|(冬,秋)|—|
由表格可知，从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，分别为(春,秋)、(秋,春)，因此$P$(抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、不放回抽样概率
【点评】
本题是概率的基础应用题，第一问直接考查简单事件的概率计算，第二问考查用列表法求解两步不放回试验的概率，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于简单古典概型问题，首先明确所有等可能的抽取结果共4种，其中恰好抽到“夏”的结果只有1种，根据概率公式“$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果总数}$”即可直接计算。
（2）第二问是不放回的两步抽取试验，需要通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，再从中找出恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意不放回抽取时第一次抽到的书签不会在第二次抽取中出现。
【解析】
（1）盒子中共有4张除图案外完全相同的书签，抽取时每张书签被抽到的可能性相等，其中“夏”书签有1张，因此任意抽取1张，恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据不放回抽取的规则，列表如下：
|第1张\第2张|春|夏|秋|冬|
|----|----|----|----|----|
|春|—|(春,夏)|(春,秋)|(春,冬)|
|夏|(夏,春)|—|(夏,秋)|(夏,冬)|
|秋|(秋,春)|(秋,夏)|—|(秋,冬)|
|冬|(冬,春)|(冬,夏)|(冬,秋)|—|
由表格可知，从盒子中任意抽取2张书签共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，分别为(春,秋)、(秋,春)，因此$P$(抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、不放回抽样概率
【点评】
本题是概率的基础应用题，第一问直接考查简单事件的概率计算，第二问考查用列表法求解两步不放回试验的概率，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
11 [2025 宿迁]某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供同学选择:A. 文明交通劝导志愿行,B. 乡村教育关爱行,每位同学只能任意选择其中一个项目.
(1) 甲同学选择 A 项目的概率为
(2) 请用画树状图的方法,求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率.
(1) 甲同学选择 A 项目的概率为
$\frac{1}{2}$
;(2) 请用画树状图的方法,求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率.
答案
11. (1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图
所示.由树状图,可知甲、乙、丙三位同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目)$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$解析
【分析】
(1) 总共有A、B2个等可能的选择项目，求甲选A的概率，直接用符合条件的情况数除以总情况数即可。(2) 要计算三位同学恰好选同一项目的概率，可通过画树状图按顺序列举甲、乙、丙三人的所有选择情况，得到所有等可能的结果数，再找出三人选择相同的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
(1) 可供选择的项目共2个，选择A项目的情况有1种，且选择每个项目的可能性相等，因此甲同学选择A项目的概率为$\frac{1}{2}$。
(2) 按照甲、乙、丙的选择顺序画树状图如下：
由树状图可知，甲、乙、丙三位同学选择活动项目共有8种等可能的结果，其中三人恰好选择同一项目的结果有2种，代入概率公式即可求得对应概率。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示.由树状图,可知甲、乙、丙三位同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目)$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查等可能事件的概率公式，难度较低；第二问考查用树状图法求多主体的事件概率，解题关键是按顺序完整列举所有等可能的结果，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
(1) 总共有A、B2个等可能的选择项目，求甲选A的概率，直接用符合条件的情况数除以总情况数即可。(2) 要计算三位同学恰好选同一项目的概率，可通过画树状图按顺序列举甲、乙、丙三人的所有选择情况，得到所有等可能的结果数，再找出三人选择相同的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
(1) 可供选择的项目共2个，选择A项目的情况有1种，且选择每个项目的可能性相等，因此甲同学选择A项目的概率为$\frac{1}{2}$。
(2) 按照甲、乙、丙的选择顺序画树状图如下：
由树状图可知，甲、乙、丙三位同学选择活动项目共有8种等可能的结果，其中三人恰好选择同一项目的结果有2种，代入概率公式即可求得对应概率。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图
所示.由树状图,可知甲、乙、丙三位同学选择活动项目共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果有2种,$\therefore P$(甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目)$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$【知识点】
等可能事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查等可能事件的概率公式，难度较低；第二问考查用树状图法求多主体的事件概率，解题关键是按顺序完整列举所有等可能的结果，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
12 [2025 泗阳一模]某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图.该事件最有可能的是（
A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2
B.从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从中任取一球是红球
D.掷一枚硬币，正面朝上
C
）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2
B.从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从中任取一球是红球
D.掷一枚硬币，正面朝上
答案
12. C
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此先通过折线图判断频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率与频率稳定值最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知：随着试验次数增加，该事件发生的频率逐渐稳定在0.33附近，即$\frac{1}{3}$左右，说明该事件的概率约为$\frac{1}{3}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. 掷正六面体骰子，向上一面点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.17$，不符合；
B. 一副扑克牌共54张，其中红心有13张，任意抽取1张是红心的概率为$\frac{13}{54}\approx0.24$，不符合；
C. 暗箱中共有$1+2=3$个球，任取一球是红球的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合；
D. 掷一枚硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算，折线统计图识读
【点评】
本题解题核心是理解频率与概率的关系：大量重复试验下，频率的稳定值就是事件的概率，结合简单的概率计算就能快速得到答案，是对统计与概率基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
本题考查用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此先通过折线图判断频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率与频率稳定值最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知：随着试验次数增加，该事件发生的频率逐渐稳定在0.33附近，即$\frac{1}{3}$左右，说明该事件的概率约为$\frac{1}{3}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. 掷正六面体骰子，向上一面点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.17$，不符合；
B. 一副扑克牌共54张，其中红心有13张，任意抽取1张是红心的概率为$\frac{13}{54}\approx0.24$，不符合；
C. 暗箱中共有$1+2=3$个球，任取一球是红球的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合；
D. 掷一枚硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算，折线统计图识读
【点评】
本题解题核心是理解频率与概率的关系：大量重复试验下，频率的稳定值就是事件的概率，结合简单的概率计算就能快速得到答案，是对统计与概率基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
13 [2025 沭阳期中]在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外其他均相同的小球.某数学学习小组做摸球试验，将小球搅匀后从中随机摸出一个小球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.试验
进行中的一组统计数据如下表：
（1）上表中的$a=$
（2）“摸到白球”的概率的估计值是
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，估计还有多少个其他颜色的小球.
进行中的一组统计数据如下表：
（1）上表中的$a=$
0.59
，$b=$116
；（2）“摸到白球”的概率的估计值是
0.6
（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，估计还有多少个其他颜色的小球.
答案
13. (1) 0.59 116
(2) 0.6
(3) $12÷0.6-12=8$(个).答:除白球外,估计还有8个其他颜色的小球
(2) 0.6
(3) $12÷0.6-12=8$(个).答:除白球外,估计还有8个其他颜色的小球
解析
【分析】
（1）根据频率的计算公式“频率=频数÷总次数”，求a时，直接将n=100、m=59代入公式计算即可；求b时，可推导得“频数=总次数×频率”，将n=200、频率为0.58代入计算即可。
（2）大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，观察表格中频率的波动趋势，找到稳定的近似值，精确到0.1即可得到概率估计值。
（3）已知白球数量和摸到白球的概率，先根据“总球数=白球数÷摸到白球的概率”求出球的总数量，再减去白球数量，即可得到其他颜色球的数量。
【解析】
（1）计算$a$：$a=\frac{m}{n}=\frac{59}{100}=0.59$；
计算$b$：$b=200×0.58=116$。
（2）观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此“摸到白球”的概率估计值是0.6。
（3）解：可直接列算式计算其他颜色球的数量：
$12÷0.6-12=20-12=8$（个）
答：袋中除了白球外，估计还有8个其他颜色的小球。
【答案】
(1) $0.59$；$116$
(2) $0.6$
(3) $8$个
【知识点】
频率的计算、用频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题结合摸球试验考查统计与概率的基础内容，解题的核心是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率与概率的关系，能灵活运用概率估算总体的数量，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）根据频率的计算公式“频率=频数÷总次数”，求a时，直接将n=100、m=59代入公式计算即可；求b时，可推导得“频数=总次数×频率”，将n=200、频率为0.58代入计算即可。
（2）大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，观察表格中频率的波动趋势，找到稳定的近似值，精确到0.1即可得到概率估计值。
（3）已知白球数量和摸到白球的概率，先根据“总球数=白球数÷摸到白球的概率”求出球的总数量，再减去白球数量，即可得到其他颜色球的数量。
【解析】
（1）计算$a$：$a=\frac{m}{n}=\frac{59}{100}=0.59$；
计算$b$：$b=200×0.58=116$。
（2）观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此“摸到白球”的概率估计值是0.6。
（3）解：可直接列算式计算其他颜色球的数量：
$12÷0.6-12=20-12=8$（个）
答：袋中除了白球外，估计还有8个其他颜色的小球。
【答案】
(1) $0.59$；$116$
(2) $0.6$
(3) $8$个
【知识点】
频率的计算、用频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题结合摸球试验考查统计与概率的基础内容，解题的核心是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率与概率的关系，能灵活运用概率估算总体的数量，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
