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14 [2025 广东]如图,在直径 BC 为 $2\sqrt{2}$ 的圆内有一个圆心角为 $90°$ 的扇形 ABC. 随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形 ABC 内的概率为 (
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
14. D
解析
【分析】
这是一道几何概型的概率计算题，所求概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值，因此我们只需要分别计算出两个面积再求比值即可。首先根据已知的圆的直径计算出圆的半径和面积，再结合等腰直角三角形的性质求出扇形ABC的半径，代入扇形面积公式算出扇形面积，最后用扇形面积除以圆的面积得到概率。
【解析】
1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=2\sqrt{2}÷2=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式$S_{圆}=π R^2$，可得$S_{圆}=π× (\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
由题意可知$△ ABC$是等腰直角三角形（$∠ BAC=90°$，$AB=AC$为扇形半径），$BC$为斜边长$2\sqrt{2}$，设$AB=AC=r$，
根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得$2r^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$r^2=4$，即$r=2$。
已知扇形圆心角为$90°$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{n}{360°}π r^2$（$n$为圆心角度数），可得：
$S_{扇}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=\frac{1}{4}×4π=π$。
3. 计算投米落在扇形内的概率：
$P=\frac{S_{扇}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何概率应用题，解题核心是明确几何概率的计算逻辑为对应区域面积的比值，同时需要熟练掌握勾股定理、圆与扇形的面积公式，只要理清各图形的参数关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道几何概型的概率计算题，所求概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值，因此我们只需要分别计算出两个面积再求比值即可。首先根据已知的圆的直径计算出圆的半径和面积，再结合等腰直角三角形的性质求出扇形ABC的半径，代入扇形面积公式算出扇形面积，最后用扇形面积除以圆的面积得到概率。
【解析】
1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=2\sqrt{2}÷2=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式$S_{圆}=π R^2$，可得$S_{圆}=π× (\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
由题意可知$△ ABC$是等腰直角三角形（$∠ BAC=90°$，$AB=AC$为扇形半径），$BC$为斜边长$2\sqrt{2}$，设$AB=AC=r$，
根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得$2r^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$r^2=4$，即$r=2$。
已知扇形圆心角为$90°$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{n}{360°}π r^2$（$n$为圆心角度数），可得：
$S_{扇}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=\frac{1}{4}×4π=π$。
3. 计算投米落在扇形内的概率：
$P=\frac{S_{扇}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型计算，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何概率应用题，解题核心是明确几何概率的计算逻辑为对应区域面积的比值，同时需要熟练掌握勾股定理、圆与扇形的面积公式，只要理清各图形的参数关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
15 [2025宿城期中]如图所示为一个边长为10 cm的正方形二维码，为了估计图中黑、白两部分的面积，在正方形区域内随机掷点。经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为
45
cm²。答案
15. 45
解析
【分析】
要估算黑色部分的总面积，首先先求出正方形二维码的总面积，再根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，可得黑色部分的面积占正方形总面积的比例约等于点落入黑色部分的频率0.45，最后用总面积乘以该占比即可得到黑色部分的面积。
【解析】
首先计算正方形二维码的总面积：
已知正方形边长为10cm，根据正方形面积公式$S=a^2$，得总面积$S_{总}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
根据频率估计概率的相关知识，当试验次数足够多时，点落入黑色部分的频率稳定在0.45，说明黑色部分面积占正方形总面积的比例约为0.45。
因此黑色部分的总面积为：$S_{黑}=100×0.45=45\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
45
【知识点】
频率估计概率，正方形面积计算
【点评】
本题结合生活常见的二维码场景，考查了频率估计概率的实际应用，解题的核心是理解大量重复试验下稳定的频率可以近似对应部分占整体的比例，是概率知识在实际生活中的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
要估算黑色部分的总面积，首先先求出正方形二维码的总面积，再根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，可得黑色部分的面积占正方形总面积的比例约等于点落入黑色部分的频率0.45，最后用总面积乘以该占比即可得到黑色部分的面积。
【解析】
首先计算正方形二维码的总面积：
已知正方形边长为10cm，根据正方形面积公式$S=a^2$，得总面积$S_{总}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
根据频率估计概率的相关知识，当试验次数足够多时，点落入黑色部分的频率稳定在0.45，说明黑色部分面积占正方形总面积的比例约为0.45。
因此黑色部分的总面积为：$S_{黑}=100×0.45=45\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
45
【知识点】
频率估计概率，正方形面积计算
【点评】
本题结合生活常见的二维码场景，考查了频率估计概率的实际应用，解题的核心是理解大量重复试验下稳定的频率可以近似对应部分占整体的比例，是概率知识在实际生活中的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
16 [2025成都]从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
.(第15题)答案
16. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先明确这是等可能事件的概率问题，需先列出从三个数中任取两个分别作为a、b的所有有序等可能结果（a为二次项系数，b为一次项系数，二者位置不同属于不同情况）；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0（本题给出的三个数均不为0，无需额外排除）且判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即Δ=b²-4a≥0，逐个验证所有结果是否满足该条件；第三步，用概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有有序等可能结果，共6种：
(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合条件。
综上，符合条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是一元二次方程与概率的综合基础题，解题的关键是要注意a、b为不同位置的参数，取数是有序的，避免漏算或多算等可能结果，再结合根的判别式准确筛选符合条件的情况即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先明确这是等可能事件的概率问题，需先列出从三个数中任取两个分别作为a、b的所有有序等可能结果（a为二次项系数，b为一次项系数，二者位置不同属于不同情况）；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0（本题给出的三个数均不为0，无需额外排除）且判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即Δ=b²-4a≥0，逐个验证所有结果是否满足该条件；第三步，用概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有有序等可能结果，共6种：
(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合条件。
综上，符合条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是一元二次方程与概率的综合基础题，解题的关键是要注意a、b为不同位置的参数，取数是有序的，避免漏算或多算等可能结果，再结合根的判别式准确筛选符合条件的情况即可求解。
【难度系数】
0.7
17 新情境 学科融合 [2025绵阳]水是生命之源.水分子的化学式为$\ce{H_{2}O}$,即1个水分子$\ce{H_{2}O}$由2个氢原子H和1个氧原子O组成.现有形状大小完全相同的4张卡片,分别有H,H,O,O图案,小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张,则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
17. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算抽取的3张卡片能组成水分子化学式的概率，需遵循“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步，先明确4张卡片的构成（2张H、2张O），列举出从4张中随机取3张的所有等可能结果；第二步，找出满足“2个H和1个O”（即能组成$\ce{H_{2}O}$）的结果数；第三步，代入概率公式计算即可。
【解析】
我们将两张H卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$，两张O卡片分别标记为$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
从4张卡片中随机任取3张，所有等可能的结果共有4种，分别为：
①$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$；②$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$；③$\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$；④$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
其中能组成水分子化学式（即含2个H和1个O）的结果有2种，为结果①和②。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题结合水分子化学式的跨学科情境考查概率计算，解题的核心是准确列举所有等可能的事件结果，再筛选出符合要求的结果代入公式计算，情境新颖但难度不高，侧重对基础概率知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算抽取的3张卡片能组成水分子化学式的概率，需遵循“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步，先明确4张卡片的构成（2张H、2张O），列举出从4张中随机取3张的所有等可能结果；第二步，找出满足“2个H和1个O”（即能组成$\ce{H_{2}O}$）的结果数；第三步，代入概率公式计算即可。
【解析】
我们将两张H卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$，两张O卡片分别标记为$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
从4张卡片中随机任取3张，所有等可能的结果共有4种，分别为：
①$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$；②$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$；③$\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$；④$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
其中能组成水分子化学式（即含2个H和1个O）的结果有2种，为结果①和②。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题结合水分子化学式的跨学科情境考查概率计算，解题的核心是准确列举所有等可能的事件结果，再筛选出符合要求的结果代入公式计算，情境新颖但难度不高，侧重对基础概率知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
18 先后掷两枚质地均匀的正六面体骰子.
（1）两枚骰子的点数相同的概率为
（2）两枚骰子的点数之和为5的概率为
（3）求第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除的概率.
（1）两枚骰子的点数相同的概率为
$\frac{1}{6}$
；（2）两枚骰子的点数之和为5的概率为
$\frac{1}{9}$
；（3）求第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除的概率.
答案
18. (1) $\frac{1}{6}$
(2) $\frac{1}{9}$
(3) 列表如下：
|第一枚\第二枚|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|(1,5)|(1,6)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|(2,5)|(2,6)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|(3,5)|(3,6)|
|4|(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|(4,5)|(4,6)|
|5|(5,1)|(5,2)|(5,3)|(5,4)|(5,5)|(5,6)|
|6|(6,1)|(6,2)|(6,3)|(6,4)|(6,5)|(6,6)|
由表,可知共有36种等可能的结果,其中(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)这14种结果满足第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除,$\therefore P$(第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除)$=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$
(2) $\frac{1}{9}$
(3) 列表如下：
|第一枚\第二枚|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|(1,5)|(1,6)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|(2,5)|(2,6)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|(3,5)|(3,6)|
|4|(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|(4,5)|(4,6)|
|5|(5,1)|(5,2)|(5,3)|(5,4)|(5,5)|(5,6)|
|6|(6,1)|(6,2)|(6,3)|(6,4)|(6,5)|(6,6)|
由表,可知共有36种等可能的结果,其中(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)这14种结果满足第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除,$\therefore P$(第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除)$=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$
解析
【分析】
这是古典概型的概率计算问题，先后掷两枚质地均匀的骰子，总共有$6×6=36$种等可能的结果，解决每一问的核心是先准确找出对应条件下符合要求的结果数，再根据概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。对于计数较复杂的第(3)问，可通过列表法清晰呈现所有结果，避免漏数、多数。
【解析】
先后掷两枚质地均匀的正六面体骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
(1) 两枚骰子点数相同的结果有：$(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)$，共6种，
$\therefore P$(两枚点数相同)$=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
(2) 两枚骰子点数之和为5的结果有：$(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)$，共4种，
$\therefore P$(点数和为5)$=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
(3) 列表呈现所有结果如下：
|第一枚\第二枚|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|(1,5)|(1,6)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|(2,5)|(2,6)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|(3,5)|(3,6)|
|4|(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|(4,5)|(4,6)|
|5|(5,1)|(5,2)|(5,3)|(5,4)|(5,5)|(5,6)|
|6|(6,1)|(6,2)|(6,3)|(6,4)|(6,5)|(6,6)|
由表可知，满足“第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除”的结果有：$(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)$，共14种，
$\therefore P$(第一枚点数能被第二枚整除)$=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $\frac{1}{9}$；(3) $\frac{7}{18}$
【知识点】
古典概型计算，列表法求概率，列举计数
【点评】
本题是概率基础应用类题目，核心是明确古典概型的两个特点：所有结果等可能、结果总数有限，解题时借助列表法可以直观呈现所有等可能结果，有效降低计数时漏数、重复数的错误率。
【难度系数】
0.7
这是古典概型的概率计算问题，先后掷两枚质地均匀的骰子，总共有$6×6=36$种等可能的结果，解决每一问的核心是先准确找出对应条件下符合要求的结果数，再根据概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。对于计数较复杂的第(3)问，可通过列表法清晰呈现所有结果，避免漏数、多数。
【解析】
先后掷两枚质地均匀的正六面体骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
(1) 两枚骰子点数相同的结果有：$(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)$，共6种，
$\therefore P$(两枚点数相同)$=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
(2) 两枚骰子点数之和为5的结果有：$(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)$，共4种，
$\therefore P$(点数和为5)$=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
(3) 列表呈现所有结果如下：
|第一枚\第二枚|1|2|3|4|5|6|
|----|----|----|----|----|----|----|
|1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|(1,5)|(1,6)|
|2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|(2,5)|(2,6)|
|3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|(3,5)|(3,6)|
|4|(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|(4,5)|(4,6)|
|5|(5,1)|(5,2)|(5,3)|(5,4)|(5,5)|(5,6)|
|6|(6,1)|(6,2)|(6,3)|(6,4)|(6,5)|(6,6)|
由表可知，满足“第一枚骰子上的点数能被第二枚骰子上的点数整除”的结果有：$(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)$，共14种，
$\therefore P$(第一枚点数能被第二枚整除)$=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $\frac{1}{9}$；(3) $\frac{7}{18}$
【知识点】
古典概型计算，列表法求概率，列举计数
【点评】
本题是概率基础应用类题目，核心是明确古典概型的两个特点：所有结果等可能、结果总数有限，解题时借助列表法可以直观呈现所有等可能结果，有效降低计数时漏数、重复数的错误率。
【难度系数】
0.7
