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19 某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字路口,她可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性相同.
(1) 求嘉淇走到十字路口 A 向北走的概率；
(2) 补全如图②所示的树状图,并分析嘉淇经过两个十字路口后向哪个方向参观的概率较大.
(1) 求嘉淇走到十字路口 A 向北走的概率；
(2) 补全如图②所示的树状图,并分析嘉淇经过两个十字路口后向哪个方向参观的概率较大.
答案
19. (1) $\because$ 当嘉淇走到十字路口 A 时,有直行、向左转、向右转3种等可能的走向,其中只有向右转为向北走,$\therefore P$(向北走)$=\frac{1}{3}$
(2) 补全树状图如图
所示.由树状图,可知嘉淇经过两个十字路口后的走向共有9种等可能的结果,其中向西参观的结果有3种,向南参观的结果有2种,向北参观的结果有2种,向东参观的结果有2种,$\therefore P$(向西参观)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$P$(向南参观)$=P$(向北参观)$=P$(向东参观)$=\frac{2}{9}$.$\because \frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$,$\therefore$ 嘉淇经过两个十字路口后向西参观的概率较大解析
【分析】
(1) 首先明确嘉淇走到路口A时初始朝向为西，此时她有直行、左转、右转3种等可能的选择，先判断三种选择对应的朝向：直行朝西、左转朝南、右转朝北，其中向北走只有右转1种情况，根据概率公式即可计算对应概率。
(2) 补全树状图时，需对第一步的三种选择（直、左、右）分别延伸出第二步的三种转向（直、左、右），再逐一判断每种路径对应的最终朝向；之后统计所有等可能的结果数，以及向各个方向参观的结果数，根据概率公式分别计算各方向的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 嘉淇走到十字路口A时，共有直行、向左转、向右转3种等可能的走向，结合初始朝向为西可知：直行朝向西，左转朝向南，右转朝向北，其中只有向右转对应向北走，因此向北走的概率为：
$P(\mathrm{向北走})=\frac{\mathrm{向北走的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 补全树状图后，所有可能的路径如下：
第一步选“直”时，第二步选“直”朝向西、选“左”朝向南、选“右”朝向北；
第一步选“左”时，第二步选“直”朝向南、选“左”朝向东、选“右”朝向西；
第一步选“右”时，第二步选“直”朝向北、选“左”朝向西、选“右”朝向东。
由上述分析可知，嘉淇经过两个十字路口后的走向共有9种等可能的结果，其中向西参观的结果有3种，向南、向北、向东参观的结果各有2种。
计算各方向概率：
$P(\mathrm{向西参观})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
$P(\mathrm{向南参观})=P(\mathrm{向北参观})=P(\mathrm{向东参观})=\frac{2}{9}$。
比较概率大小：$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，因此向西参观的概率更大。
【答案】
(1) $P$(向北走)$=\frac{1}{3}$；
(2) 补全树状图如图所示，嘉淇经过两个十字路口后向西参观的概率较大。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，方向判断
【点评】
本题结合生活参观场景考查概率的相关计算，解题时需要先结合方向规则明确不同转向对应的实际朝向，再通过树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，最后利用概率公式计算并比较概率大小，能有效考查学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确嘉淇走到路口A时初始朝向为西，此时她有直行、左转、右转3种等可能的选择，先判断三种选择对应的朝向：直行朝西、左转朝南、右转朝北，其中向北走只有右转1种情况，根据概率公式即可计算对应概率。
(2) 补全树状图时，需对第一步的三种选择（直、左、右）分别延伸出第二步的三种转向（直、左、右），再逐一判断每种路径对应的最终朝向；之后统计所有等可能的结果数，以及向各个方向参观的结果数，根据概率公式分别计算各方向的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 嘉淇走到十字路口A时，共有直行、向左转、向右转3种等可能的走向，结合初始朝向为西可知：直行朝向西，左转朝向南，右转朝向北，其中只有向右转对应向北走，因此向北走的概率为：
$P(\mathrm{向北走})=\frac{\mathrm{向北走的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 补全树状图后，所有可能的路径如下：
第一步选“直”时，第二步选“直”朝向西、选“左”朝向南、选“右”朝向北；
第一步选“左”时，第二步选“直”朝向南、选“左”朝向东、选“右”朝向西；
第一步选“右”时，第二步选“直”朝向北、选“左”朝向西、选“右”朝向东。
由上述分析可知，嘉淇经过两个十字路口后的走向共有9种等可能的结果，其中向西参观的结果有3种，向南、向北、向东参观的结果各有2种。
计算各方向概率：
$P(\mathrm{向西参观})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
$P(\mathrm{向南参观})=P(\mathrm{向北参观})=P(\mathrm{向东参观})=\frac{2}{9}$。
比较概率大小：$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，因此向西参观的概率更大。
【答案】
(1) $P$(向北走)$=\frac{1}{3}$；
(2) 补全树状图如图
所示，嘉淇经过两个十字路口后向西参观的概率较大。【知识点】
树状图法求概率，概率公式，方向判断
【点评】
本题结合生活参观场景考查概率的相关计算，解题时需要先结合方向规则明确不同转向对应的实际朝向，再通过树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，最后利用概率公式计算并比较概率大小，能有效考查学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
20 [2024 沭阳段考]如图,有两个可以自由转动的转盘 A,B.转盘 A 被平均分成 4 份,分别标上-2,2,6,8 四个数;转盘 B 被平均分成 3 份,分别标上-1,-2,3 三个数.小贝和小晶用以上两个转盘做游戏,规则如下:自由转动转盘 A 与 B,转盘停止后,指针各指向一个数(指向分界线时重新转),把 A 转盘指针指的数作为被除数,B 转盘指针指的数作为除数,计算这两个数的商.若商为负整数,则小贝赢;若商为正数,则小晶赢.你认为该游戏公平吗?请你用画树状图或列表的方法,说明是否公平;如果不公平,请你修改游戏规则,使游戏公平.
答案
20. 该游戏不公平 画树状图如图
所示.由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中商为负整数的结果有6种,商为正数的结果有5种,$\therefore P$(小贝赢)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,$P$(小晶赢)$=\frac{5}{12}$.$\because \frac{1}{2}≠ \frac{5}{12}$,$\therefore$ 该游戏不公平.修改规则不唯一,如若这两数的商为负整数,则小贝赢;否则,小晶赢解析
【分析】要判断游戏是否公平，核心是对比小贝和小晶的获胜概率，概率相等则公平，否则不公平。解题时先通过树状图或列表法枚举出两个转盘数字组合的所有等可能结果，再分别筛选出“商为负整数”“商为正数”的结果数，结合概率公式计算两人的获胜概率，比较概率大小即可判断公平性；若游戏不公平，修改规则时只需保证双方获胜概率相等即可。
【解析】解：该游戏不公平，理由如下：
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中商为负整数的结果有6种，商为正数的结果有5种，
∴$P$(小贝赢)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P$(小晶赢)$=\frac{5}{12}$，
∵$\frac{1}{2}≠\frac{5}{12}$，两人获胜的概率不相等，
∴该游戏不公平。
修改规则示例：若这两个数的商为负整数，则小贝赢；否则，小晶赢。（修改规则不唯一，只要保证双方获胜概率相等即可）
【答案】该游戏不公平 画树状图如图所示.由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中商为负整数的结果有6种,商为正数的结果有5种,$\therefore P$(小贝赢)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,$P$(小晶赢)$=\frac{5}{12}$.$\because \frac{1}{2}≠ \frac{5}{12}$,$\therefore$ 该游戏不公平.修改规则不唯一,如若这两数的商为负整数,则小贝赢;否则,小晶赢
【知识点】树状图法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】本题考查概率的实际应用，解题关键是能通过树状图不重不漏地列出所有等可能的结果，准确计算对应事件的概率；修改规则类问题答案开放，只要满足双方获胜概率相等即为合理规则。
【难度系数】0.7
【解析】解：该游戏不公平，理由如下：
画树状图如图
所示：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中商为负整数的结果有6种，商为正数的结果有5种，
∴$P$(小贝赢)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P$(小晶赢)$=\frac{5}{12}$，
∵$\frac{1}{2}≠\frac{5}{12}$，两人获胜的概率不相等，
∴该游戏不公平。
修改规则示例：若这两个数的商为负整数，则小贝赢；否则，小晶赢。（修改规则不唯一，只要保证双方获胜概率相等即可）
【答案】该游戏不公平 画树状图如图
所示.由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中商为负整数的结果有6种,商为正数的结果有5种,$\therefore P$(小贝赢)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,$P$(小晶赢)$=\frac{5}{12}$.$\because \frac{1}{2}≠ \frac{5}{12}$,$\therefore$ 该游戏不公平.修改规则不唯一,如若这两数的商为负整数,则小贝赢;否则,小晶赢【知识点】树状图法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】本题考查概率的实际应用，解题关键是能通过树状图不重不漏地列出所有等可能的结果，准确计算对应事件的概率；修改规则类问题答案开放，只要满足双方获胜概率相等即为合理规则。
【难度系数】0.7
